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单击此处编辑母版标题样式,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第八章 函数,主要内容,函数定义与性质,函数定义,函数性质,函数运算,函数逆,函数合成,双射函数与集合基数,1/60,1,8.1,函数定义与性质,主要内容,函数定义与相关概念,函数定义,函数相等,从,A,到,B,函数,f,:,A,B,B,A,函数像与完全原像,函数性质,单射、满射、双射函数定义与实例,结构双射函数,一些主要函数,2/60,2,函数定义,定义8.1,设,F,为二元关系,若,x,dom,F,都存在唯一,y,ran,F,使,xFy,成立,则称,F,为,函数,对于函数,F,假如有,xFy,则记作,y,=,F,(,x,),并称,y,为,F,在,x,值,.,例,F,1,=,F,2,=,F,1,是函数,F,2,不是函数 ,定义8.2,设,F,G,为函数,则 ,F,=,G,F,G,G,F,假如两个函数,F,和,G,相等,一定满足下面两个条件：,(1)dom,F,=dom,G,(2),x,dom,F,=dom,G,都有,F,(,x,)=,G,(,x,),函数,F,(,x,)=(,x,2,1)/(,x,+1),G,(,x,)=,x,1不相等,因为 dom,F,dom,G,.,3/60,3,从,A,到,B,函数,定义8.3,设,A,B,为集合,假如,f,为函数,dom,f,=,A,ran,f,B,则称,f,为,从,A,到,B,函数,记作,f,：,A,B,.,例,f,：NN,f,(,x,)=2,x,是从N到N函数,g,：NN,g,(,x,)=2 也是从N到N函数.,定义8.4,全部从,A,到,B,函数集合记作,B,A,符号化表示为,B,A,=,f,|,f,：,A,B,|,A,|=,m,|,B,|=,n,且,m,n,0,|,B,A,|=,n,m,A,=,则,B,A,=,B,=,A,且,B,=,则,B,A,=,A,=,4/60,4,实例,例1,设,A,=1,2,3,B,=,a,b,求,B,A,.,解,B,A,=,f,0,f,1,f,7,其中,f,0,=,f,1,=,f,2,=,f,3,=,f,4,=,f,5,=,f,6,=,f,7,=,5/60,5,函数像和完全原像,定义8.5,设函数,f,：,A,B,A,1,A,B,1,B,(1),A,1,在,f,下像,f,(,A,1,)=,f,(,x,)|,x,A,1,函数像,f,(,A,),(2),B,1,在,f,下完全原像,f,1,(,B,1,)=,x,|,x,A,f,(,x,),B,1,注意：,函数值与像区分：函数值,f,(,x,),B,像,f,(,A,1,),B,普通说来,f,1,(,f,(,A,1,),A,1,不过,A,1,f,1,(,f,(,A,1,),例 设,f,：NN,且,令,A,=0,1,B,=2,那么有,f,(,A,)=,f,(0,1)=,f,(0),f,(1)=0,2,f,1,(,B,)=,f,1,(2)=1,4,6/60,6,函数性质,定义8.6,设,f,：,A,B,(1)若 ran,f,=,B,则称,f,:,A,B,是,满射,(2)若,y,ran,f,都存在唯一,x,A,使得,f,(,x,)=,y,则称,f,:,A,B,是,单射,(3)若,f,:,A,B,既是满射又是单射,则称,f,:,A,B,是,双射,例2,判断下面函数是否为单射,满射,双射,为何?,(1),f,:RR,f,(,x,)=,x,2,+2,x,1,(2),f,:Z,+,R,f,(,x,)=ln,x,Z,+,为正整数集,(3),f,:RZ,f,(,x,)=,x,(,4),f,:R,R,f,(,x,)=2,x,+1,(5),f,:R,+,R,+,f,(,x,)=(,x,2,+1)/,x,其中R,+,为正实数集.,7/60,7,例题解答,解,(1),f,:RR,f,(,x,)=,x,2,+2,x,1,在,x,=1取得极大值0.既不是单射也不是满射,(2),f,:Z,+,R,f,(,x,)=ln,x,是单调上升,是单射.但不满射,ran,f,=ln1,ln2,.,(3),f,:RZ,f,(,x,)=,x,是满射,但不是单射,比如,f,(1.5)=,f,(1.2)=1,(4),f,:RR,f,(,x,)=2,x,+1,是满射、单射、双射,因为它是单调函数而且ran,f,=R,(5),f,:R,+,R,+,f,(,x,)=(,x,2,+1)/,x,有极小值,f,(1)=2.该函数既不是单射也不是满射,8/60,8,实例,例3,对于给定集合,A,和,B,结构双射函数,f,:,A,B,(1),A,=,P,(1,2,3),B,=0,11,2,3,(2),A,=0,1,B,=1/4,1/2,(3),A,=Z,B,=N,(4),B,=,1,1,9/60,9,解答,(1),A,=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.,B,=,f,0,f,1,f,7,其中,f,0,=,f,1,=,f,2,=,f,3,=,f,4,=,f,5,=,f,6,=,f,7,=,.,令,f,:,A,B,f,(,)=,f,0,f,(1)=,f,1,f,(2)=,f,2,f,(3)=,f,3,f,(1,2)=,f,4,f,(1,3)=,f,5,f,(2,3)=,f,6,f,(1,2,3)=,f,7,10/60,10,(2)令,f,:0,11/4,1/2,f,(,x,)=(,x,+1)/4,(4),令,f,:,/2,3,/2,1,1,f,(,x,)=sin,x,解答,(3)将Z中元素以以下次序排列并与N中元素对应：Z：0,11,2 2,3 3 ,N：0 1 2 3 4 5 6 这种对应所表示函数是：,11/60,11,一些主要函数,定义8.7,(1)设,f,:,A,B,假如存在,c,B,使得对全部,x,A,都有,f,(,x,)=,c,则称,f,:,A,B,是,常函数,.,(2)称,A,上恒等关系,I,A,为,A,上,恒等函数,对全部,x,A,都,有,I,A,(,x,)=,x,.,(3)设,为偏序集，,f,:,A,B,，假如对任意,x,1,x,2,A,x,1,x,2,就有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),则称,f,为,单调递增,；如,果对任意,x,1,x,2,A,x,1,x,2,就有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),则称,f,为,严,格单调递增,.类似也能够定义单调递减和严格单调递,减函数,12/60,12,(4)设,A,为集合,对于任意,A,A,A,特征函数,A,:,A,0,1定义为,A,(,a,)=1,a,A,A,(,a,)=0,a,A,A,(5)设,R,是,A,上等价关系,令,g,:,A,A,/,R,g,(,a,)=,a,a,A,称,g,是从,A,到商集,A,/,R,自然映射,一些主要函数,13/60,13,实例,例4,(1)偏序集,R,为包含关系,为,普通小于等于关系,令,f,:,P,(,a,b,)0,1,f,(,)=,f,(,a,)=,f,(,b,)=0,f,(,a,b,)=1,f,是单调递增,但不是严格单调递增,(3)不一样等价关系确定不一样自然映射,恒等关系确定自然映射是双射,其它自然映射普通来说只是满射.比如,A,=1,2,3,R,=,I,A,g,:,A,A,/,R,g,(1)=,g,(2)=1,2,g,(3)=3,(2),A,每一个子集,A,都对应于一个特征函数,不一样子集对,应于不一样特征函数.比如,A,=,a,b,c,则有,=,，,a,b,=,14/60,14,8.2,函数复合与反函数,主要内容,复合函数基本定理,函数复合运算与函数性质,反函数存在条件,反函数性质,15/60,15,复合函数基本定理,定理8.1,设,F,G,是函数,则,F,G,也是函数,且满足,(1)dom(,F,G,)=,x,|,x,dom,F,F,(,x,)dom,G,(2),x,dom(,F,G,)有,F,G,(,x,)=,G,(,F,(,x,),证 先证实,F,G,是函数.,因为,F,G,是关系,所以,F,G,也是关系.若对某个,x,dom(,F,G,)有,xF,Gy,1,和,xF,Gy,2,则,F,G,F,G,t,1,(,F,G,),t,2,(,F,G,),t,1,t,2,(,t,1,=,t,2,G,G,（,F,为函数）,y,1,=,y,2,（,G,为函数）,所以,F,G,为函数,16/60,16,证实,任取,x,x,dom(,F,G,),t,y,(,F,G,),t,(,x,dom,F,t,=,F,(,x,),t,dom,G,),x,x,|,x,dom,F,F,(,x,)dom,G,任取,x,x,dom,F,F,(,x,)dom,G,F,G,F,G,x,dom(,F,G,),F,G,(,x,),G,(,F,(,x,),所以(1)和(2)得证,17/60,17,推论,推论1,设,F,G,H,为函数,则(,F,G,),H,和,F,(,G,H,)都是函数,且,(,F,G,),H,=,F,(,G,H,),证 由上述定理和运算满足结合律得证.,推论2,设,f,:,A,B,g,:,B,C,则,f,g,:,A,C,且,x,A,都有,f,g,(,x,)=,g,(,f,(,x,),证 由上述定理知,f,g,是函数,且,dom(,f,g,)=,x,|,x,dom,f,f,(,x,)dom,g,=,x,|,x,A,f,(,x,),B,=,A,ran(,f,g,),ran,g,C,所以,f,g,:,A,C,且,x,A,有,f,g,(,x,)=,g,(,f,(,x,),18/60,18,函数复合与函数性质,定理8.2,设,f,:,A,B,g,:,B,C,(1)假如,f,:,A,B,g,:,B,C,是满射,则,f,g,:,A,C,也是满射,(2)假如,f,:,A,B,g,:,B,C,是单射,则,f,g,:,A,C,也是单射,(3)假如,f,:,A,B,g,:,B,C,是双射,则,f,g,:,A,C,也是双射,证,(1)任取,c,C,由,g,:,B,C,满射性,b,B,使得,g,(,b,)=,c,.,对于这个,b,由,f,:,A,B,满射性，,a,A,使得,f,(,a,)=,b,.,由合成定理有,f,g,(,a,)=,g,(,f,(,a,)=,g,(,b,)=,c,从而证实了,f,g,:,A,C,是满射,19/60,19,证实,(2)假设存在,x,1,x,2,A,使得,f,g,(,x,1,)=,f,g,(,x,2,),由合成定理有,g,(,f,(,x,1,)=,g,(,f,(,x,2,),因为,g,:,B,C,是单射,故,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,).又因为,f,:,A,B,是单射,所,以,x,1,=,x,2,.从而证实,f,g,:,A,C,是单射.,(3)由(1)和(2)得证.,注意：定理逆命题不为真,即假如,f,g,:,A,C,是单射(或满射、双,射),不一定有,f,:,A,B,和,g,:,B,C,都是单射(或满射、双射).,定理,8.3,设,f,:,A,B,则,f,=,f,I,B,=,I,A,f,（证实略）,20/60,20,实例,考虑集合,A,=,a,1,a,2,a,3,B,=,b,1,b,2,b,3,b,4,C,=,c,1,c,2,c,3,.令,f,=,g,=,f,g,=,那么,f,:,A,B,和,f,g,:,A,C,是单射,但,g,:,B,C,不是单射.,考虑集合,A,=,a,1,a,2,a,3,B,=,b,1,b,2,b,3,C,=,c,1,c,2,.令,f,=,g,=,f,g,=,那么,g,:,B,C,和,f,g,:,A,C,是满射,但,f,:,A,B,不是满射.,21/60,21,反函数,反函数存在条件,(1)任给函数,F,它逆,F,1,不一定是函数,只是一个二元关系.,(2)任给单射函数,f,:,A,B,则,f,1,是函数,且是从ran,f,到,A,双,射函数,但不一定是从,B,到,A,双射函数,(3)对于双射函数,f,:,A,B,f,1,:,B,A,是从,B,到,A,双射函数.,定理8.4,设,f,:,A,B,是双射,则,f,1,:,B,A,也是双射.,证实思绪：,先证实,f,1,:,B,A,，即,f,1,是函数，且dom,f,1,=,B,ran,f,1,=,A,.,再证实,f,1,:,B,A,双射性质.,22/60,22,证实,证 因为,f,是函数,所以,f,1,是关系,且,dom,f,1,=ran,f,=,B,ran,f,1,=dom,f,=,A,对于任意,x,B,=dom,f,1,假设有,y,1,y,2,A,使得 ,f,1,f,1,成立,则由逆定义有,f,f,依据,f,单射性可得,y,1,=,y,2,从而证实了,f,1,是函数，且是满射.,若存在,x,1,x,2,B,使得,f,1,(,x,1,)=,f,1,(,x,2,)=,y,从而有 ,f,1,f,1,f,f,x,1,=,x,2,对于双射函数,f,:,A,B,称,f,1,:,B,A,是它,反函数,.,23/60,23,反函数性质,定理8.5,(1)设,f,:,A,B,是双射,则,f,1,f,=,I,B,f,f,1,=,I,A,(2)对于双射函数,f,:,A,A,有,f,1,f,=,f,f,1,=,I,A,证实思绪：,依据定理可知,f,1,:,B,A,也是双射,由合成基本定理可知,f,1,f,:,B,B,f,f,1,:,A,A,，且它们都是恒等函数.,例5,设,求,f,g,g,f,.假如,f,和,g,存在反函数,求出它们反函数.,24/60,24,解,f,:RR不是双射,不存在反函数.,g,:RR是双射,它反函数是,g,1,:RR,g,1,(,x,)=,x,2,求解,25/60,25,8.3,双射函数与集合基数,主要内容,集合等势及其性质,主要等势或不等势结果,集合优势及其性质,集合基数,可数集,26/60,26,则,f,是Z到N双射函数.从而证实了ZN.,集合等势,集合等势实例,例6,(1)ZN.,定义8.8,设,A,B,是集合,假如存在着从,A,到,B,双射函数,就称,A,和,B,是,等势,记作,A,B,.假如,A,不与,B,等势,则记作,A,B,.,27/60,27,集合等势实例:,NNN,NNN.NN中全部元素排成有序图形,28/60,28,-2/1,5,-1/1,4,-3/1,18,2/1,10,3/1,11,0/1,0,1/1,1,-2/2,-1/2,3,-3/2,17,2/2,3/2,12,0/2,1/2,2,-2/3,6,-1/3,7,-3/3,2/3,9,3/3,0/3,1/3,8,-2/4,-1/4,15,-3/4,16,2/4,3/4,13,0/4,1/4,14,PLAY,NQ.双射函数,f,:NQ,其中,f,(,n,)是,n,下方有理数.,集合等势实例:,NQ,29/60,29,对任何,a,b,R,a,b,0,1,a,b,，,双射函数,f,:0,1,a,b,f,(,x,)=(,b,a,),x,+,a,类似地能够证实,对任何,a,b,R,a,b,有(0,1)(,a,b,).,(4)(0,1)R.其中实数区间(0,1)=,x,|,x,R,0,x,1.令,(5)0,1(0,1).其中(0,1)和0,1分别为实数开区间和闭区间.令,f,:0,1,(0,1),实数集合等势,30/60,30,实例,例7,设,A,为任意集合,则,P,(,A,)0,1,A,.,证 以下结构从,P,(,A,)到 0,1,A,函数,f,:,P,(,A,)0,1,A,f,(,A,)=,A,A,P,(,A,).,其中,A,是集合,A,特征函数.易证,f,是单射.,对于任意,g,0,1,A,那么有,g,:,A,0,1.令,B,=,x,|,x,A,g,(,x,)=1,则,B,A,且,B,=,g,即,B,P,(,A,),f,(,B,)=,g,.从而证实了,f,是满射.,由等势定义得,P,(,A,)0,1,A,.,31/60,31,等势性质,定理8.6,设,A,B,C,是任意集合，,(1),A,A,(2)若,A,B,，则,B,A,(3),若,A,B,，,B,C,，则,A,C,.,证实思绪：利用等势等义.,(1),IA,是从,A,到,A,双射,(2)若,f,:,A,B,是双射，则,f,1,:,B,A,是从,B,到,A,双射.,(3)若,f,:,A,B,，,g,:,B,C,是双射，则,f,g,:,A,C,是从,A,到,C,双射,32/60,32,相关势主要结果,等势结果,N Z Q NN,任何实数区间都与实数集合R等势,不等势结果:,定理8.7,(康托定理),(1)N R；,(2),对任意集合,A,都有,A,P,(,A,),证实思绪：,(1)只需证实任何函数,f,:N0,1都不是满射.,任取函数,f,:N0,1,列出,f,全部函数值，然后结构一个0,1区间小数,b,，使得,b,与全部函数值都不相等.,(2)任取函数,f,:,A,P,(,A,)，结构,B,P,(,A,)，使得,B,与,f,任何函,数值都不等.,33/60,33,Cantor,定理证实,证(1)要求0,1中数表示.对任意,x,0,1,令,x,=0.,x,1,x,2,0,x,i,9,要求在,x,表示式中不允许在某位后有没有数个1情况.,设,f,:N0,1是任何函数，列出,f,全部函数值：,f,(0)=0.,a,1,(1),a,2,(1),f,(1)=0.,a,1,(2),a,2,(2),f,(,n,1)=0.,a,1,(,n,),a,2,(,n,),令,y,表示式为0.,b,1,b,2,而且满足,b,i,a,i,(,i,),i,=1,2,那么,y,0,1,且,y,与上面列出任何函数值都不相等.这就推出,y,ran,f,即,f,不是满射.,34/60,34,(2)我们将证实任何函数,g,:,A,P,(,A,)都不是满射.,设,g,:,A,P,(,A,)是从,A,到,P,(,A,)函数,以下结构集合,B,：,B,=,x,|,x,A,x,g,(,x,),则,B,P,(,A,),但对任意,x,A,都有,x,B,x,g,(,x,),从而证实了对任意,x,A,都有,B,g,(,x,).即,B,ran,g,.,注意：依据Cantor定理能够知道N,P,(N)，N0,1,N,.,Cantor,定理证实,35/60,35,集合优势,定义8.9,(1)设,A,B,是集合,假如存在从,A,到,B,单射函数,就,称,B,优势于,A,记作,A,B,.假如,B,不是优势于,A,则记作,A,B,.,(2)设,A,B,是集合,若,A,B,且,A,B,则称,B,真优势于,A,记作,A,B,.假如,B,不是真优势于,A,则记作,A,B,.,实例 N,N,N,R,A,P,(A),R,N,N,R,A,P,(A),但N,N,定理8.8,设,A,B,C,是任意集合,则,(1),A,A,(2)若,A,B,且,B,A,则,A,B,(3)若,A,B,且,B,C,则,A,C,36/60,36,应用：证实等势,证 设,x,0,1),0.,x,1,x,2,是,x,二进制表示.要求表示式中不,允许出现连续无数个1.对于,x,，以下定义,f,:0,1)0,1,N,f,(,x,)=,t,x,且,t,x,:N0,1,t,x,(,n,)=,x,n,+1,n,=0,1,2,比如,x,=0.1 0 1 1 0 1 0 0,则对应于,x,函数,t,x,是：,n,0 1 2 3 4 5 6 7,t,x,(,n,)1 0 1 1 0 1 0 0,t,x,0,1,N,且对于,x,y,0,1),x,y,必有,t,x,t,y,即,f,(,x,),f,(,y,).,这就证实了,f,:0,1)0,1,N,是单射.,例8,证实 0,1,N,0,1).,37/60,37,考虑,t,0,1,N,其中,t,(0)=0,t,(,n,)=1,n,=1,2,.,按照,f,定义,只有,x,=0.011 才能满足,f,(,x,)=,t,.但依据要求,这个数,x,记为0.100,所以根本不存在,x,0,1),满足,f,(,x,)=,t,.,定义函数,g,:0,1,N,0,1).,g,映射法则恰好与,f,相反.即,t,0,1,N,t,：N0,1,g,(,t,)=0.,x,1,x,2,其中,x,n,+1,=,t,(,n,).,将0.,x,1,x,2,看作数,x,十进制表示.这么就防止了形如,0.0111和0.1000.在二进制表示中对应了同一个数情,况，从而确保了,g,单射性.,依据定理有0,1,N,0,1).再使用等势传递性得0,1,N,R,.,结构另一个单射,38/60,38,自然数集合定义,定义8.10,设,a,为集合,称,a,a,为,a,后继,记作,a,+,即,a,+,=,a,a,.,以下定义自然数：,0=,1=0,+,=,+,=,=0,2=1,+,=,+,=,=,=0,1,3=2,+,=,+,=,=0,1,2 ,n,=0,1,n,1,自然数相等与大小，即对任何自然数,n,和,m,，,有,m,=,n,m,n，,m,n,m,n,39/60,39,有穷集和无穷集,定义8.11,(1)一个集合是,有穷,当且仅当它与某个自然数等势；,(2)假如一个集合不是有穷,就称作,无穷集,.,实例：,(1),a,b,c,是有穷集,因为3=0,1,2,且 ,a,b,c,0,1,2=3,(2)N和R都是无穷集,因为没有自然数与N和R等势,利用自然数性质能够证实：任何有穷集只与惟一自然数,等势.,40/60,40,集合基数定义,定义8.12,(1)对于有穷集合,A,称与,A,等势那个惟一自然数为,A,基数,记作card,A,(也能够记作|,A,|),card,A,=,n,A,n,(2)自然数集合N基数记作,0,即,cardN,=,0,(3)实数集R基数记作,即 cardR,=,41/60,41,基数相等和大小,定义8.13,设,A,B,为集合,则,(1)card,A,=card,B,A,B,(2)card,A,card,B,A,B,(3)card,A,card,B,card,A,card,B,card,A,card,B,依据上一节关于势讨论不难得到：card Z,=card Q=card NN,=,0,card,P,(N)=card 2,N,=card,a,b,=card(,c,d,)=,0,card,A,card,P,(,A,),其中2,N,=0,1,N,42/60,42,基数大小,不存在最大基数.将已知基数按从小到大次序排列就,得到：,0,1,2,n,0,其中：,0,1,2,n,是全体自然数,是有穷基数.,0,是无穷基数,0,是最小无穷基数,后面还,有更大基数,如card,P,(R)等.,43/60,43,可数集,定义8.14,设,A,为集合,若card,A,0,则称,A,为,可数集,或,可列集,.,实例：,a,b,c,5,整数集Z,有理数集Q,NN等都是可数集,实数集 R不是可数集,与R等势集合也不是可数集.,对于任何可数集,它元素都能够排列成一个有序图形.换,句话说,都能够找到一个“数遍”集合中全体元素次序.,可数集性质：,可数集任何子集都是可数集.,两个可数集并是可数集.,两个可数集笛卡儿积是可数集.,可数个可数集笛卡儿积仍是可数集.,无穷集,A,幂集,P,(,A,)不是可数集,44/60,44,实例,解 (1)由,T,=,B,A,S,E,L,知 card,T,=5,(2)由,B,=,可知 card,B,=0.,(3)由|,A,|=4 可知 card,C,=card,P,(,A,)=|,P,(,A,)|=24=16.,例9,求以下集合基数,(1),T,=,x,|,x,是单词“,BASEBALL,”中字母,(2),B,=,x,|,x,R,x,2=92,x,=8,(3),C,=,P,(,A,),A,=1,3,7,11,45/60,45,例10,设,A,B,为集合,且 card,A,=,0,card,B,=,n,n,是自然数,n,0.,求card,A,B,.,实例,解 方法一 结构双射函数,由card,A,=,0,card,B,=,n,可知,A,B,都是可数集.令,A,=,a,0,a,1,a,2,B,=,b,0,b,1,b,2,b,n,1,对任意,A,B,有 =,i,=,k,j,=,l,定义函数 ,f,:,A,B,N ,f,()=,in,+,j,i,=0,1,j,=0,1,n,1,易见,f,是,A,B,到N双射函数,所以 card,A,B,=card,N=,0,46/60,46,方法二 直接使用可数集性质求解.,因为 card,A,=,0,card,B,=,n,所以,A,B,都是可数集.,依据性质(3)可知,A,B,也是可数集,所以,card,A,B,0,显然当,B,时,card,A,card,A,B,这就推出,0,card,A,B,综合上述得到,card,A,B,=,0,.,实例,47/60,47,第八章,习题课,主要内容,函数，,从,A,到,B,函数,f,:,A,B,，,B,A,，函数像与完全原像,函数性质：单射、满射、双射函数,主要函数：恒等函数、常函数、单调函数、集合特征函 数、自然映射,集合等势定义与性质,集合优势定义与性质,主要集合等势以及优势结果,可数集与不可数集,集合基数定义,48/60,48,基本要求,给定,f,A,B,判别,f,是否为从,A,到,B,函数,判别函数,f,:,A,B,性质（单射、满射、双射）,熟练计算函数值、像、复合以及反函数,证实函数,f,:,A,B,性质（单射、满射、双射）,给定集合,A,B,，结构双射函数,f,:,A,B,能够证实两个集合等势,能够证实一个集合优势于另一个集合,知道什么是可数集与不可数集,会求一个简单集合基数,49/60,49,练习,1,1给定,A,B,和,f,判断是否组成函数,f,:,A,B,.假如是,说明该,函数是否为单射、满射、双射.并依据要求进行计算.,(1),A,=1,2,3,4,5,B,=6,7,8,9,10,f,=,.,(2),A,B,同(1),f,=,.,(3),A,B,同(1),f,=,.,(4),A,=,B,=R,f,(,x,)=,x,3,(5),A,=,B,=R,+,f,(,x,)=,x,/(,x,2+1).,(6),A,=,B,=RR,f,()=,令,L,=|,x,y,R,y,=,x,+1,计算,f,(,L,).,(7),A,=NN,B,=N,f,()=|,x,2,y,2,|.计算,f,(N0),f,1,(0),50/60,50,解,解答,(1)能组成,f,:,A,B,f,:,A,B,既不是单射也不是满射,因为,f,(3)=,f,(5)=9,且7,ran,f,.,(2)不组成,f,:,A,B,因为,f,不是函数.,f,且,f,与函,数定义矛盾,(3)不组成,f,:,A,B,因为dom,f,=1,2,3,4,A,(4)能组成,f,:,A,B,且,f,:,A,B,是双射,(5)能组成,f,:,A,B,f,:,A,B,既不是单射也不是满射.因为该,函数在,x,=1取极大值,f,(1)=1/2.函数不是单调,且ran,f,R,+,.,(6)能组成,f,:,A,B,且,f,:,A,B,是双射.,f,(,L,)=|,x,R=R,1,(7)能组成,f,:,A,B,f,:,A,B,既不是单射也不是满射.因为,f,()=,f,()=0,2,ran,f,.,f,(N0)=,n,2,0,2,|,n,N=,n,2,|,n,N,f,1,(0)=|,n,N,51/60,51,练习,2,2.设,f,1,f,2,f,3,f,4,R,R,，且,令,E,i,是由,f,i,导出等价关系，,i,=1,2,3,4，即,xE,i,y,f,i,(,x,)=,f,i,(,y,),(1)画出偏序集哈斯图，其中,T,是加细关系：,T,x,(,x,R,/,E,i,y,(,y,R,/,E,j,x,y,),(2),g,i,:R,R,/,Ei,是自然映射，求,g,i,(0),i,=1,2,3,4.,(3)对每个,i,说明,g,i,性质（单射、满射、双射）.,52/60,52,(1)哈斯图以下,(2),g,1,(0)=,x,|,x,R,x,0,g,2,(0)=0,g,3,(0)=Z,g,4,(0)=R,(3),g,1,g,3,g,4,是满射；,g,2,是双射.,解,图1,解答,53/60,53,练习,3,3对于以下集合,A,和,B,，结构从,A,到,B,双射函数,f,:,A,B,(1),A,=1,2,3，,B,=,a,b,c,(2),A,=(0,1)，,B,=(0,2),(3),A,=,x,|,x,Z,x,0，,B,=N,(4),A,=R，,B,=R,+,解,(1),f,=,(2),f,:,A,B,f,(,x,)=2,x,(3),f,:,A,B,f,(,x,)=,x,1,(4),f,:,A,B,f,(,x,)=e,x,54/60,54,4.设,证实,f,既是满射，也是单射.,证 任取,R,R,，存在,使得,练习,4,所以,f,是满射,对于任意,R,R,有,所以,f,是单射.,55/60,55,证实方法,1.证实,f,:,A,B,是满射方法:任取,y,B,找到,x,(即给出,x,表示)或者证实存在,x,A,，使得,f,(,x,)=,y,.,2.证实,f,:,A,B,是单射方法,方法一,x,1,x,2,A,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,),x,1,=,x,2,推理前提 推理过程 推理结论,方法二,x,1,x,2,A,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),推理前提 推理过程 推理结论,3.证实,f,:,A,B,不是满射方法：找到,y,B,y,ran,f,4.证实,f,:,A,B,不是单射方法：找到,x,1,x,2,A,x,1,x,2,且,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,),56/60,56,5.设,A,B,为二集合,证实：假如,A,B,则,P,(,A,),P,(,B,),练习,5,证 因为,A,B,，存在双射函数,f,:,A,B,，反函数,f,1,:,B,A,结构函数,g,:,P,(,A,),P,(,B,),g,(,T,)=,f,(,T,)，,T,A,（,f,(,T,)是,T,在函数,f,像）,证实,g,满射性.对于任何,S,B,存在,f,1,(,S,),A,且,g,(,f,1,(,S,)=,f,f,1,(,S,)=,S,证实,g,单射性.,g,(,T,1,)=,g,(,T,2,),f,(,T,1,)=,f,(,T,2,),f,1,(,f,(,T,1,)=,f,1,(,f,(,T,2,),I,A,(,T,1,)=,I,A,(,T,2,),T,1,=,T,2,综合上述得到,P,(,A,),P,(,B,).,57/60,57,证实集合,A,与,B,等势方法,方法一：直接结构从,A,到,B,双射,即定义一个从,A,到,B,函数,f,:,A,B，,证实,f,满射性，证实,f,单射性,方法二：利用定理8.8，结构两个单射,f,:,A,B,和,g,:,B,A,.即,定义函数,f,和,g,，证实,f,和,g,单射性,方法三：利用等势传递性,方法四：直接计算,A,与,B,基数，得到card,A,=card,B,.,注意：,以上方法中最主要是方法一.,证实集合,A,与自然数集合N等势通常方法是：找到一个“数遍”,A,中元素次序.,58/60,58,练习,6,6已知,A,=,n,7,|,n,N,B,=,n,109,|,n,N,求以下各题：,(1)Card,A,(2)Card,B,(3)card(,A,B,),(4)card(,A,B,),解(1)结构双射函数,f,:N,A,f,(,n,)=,n,7,所以 card,A,=,0,(2)结构双射函数,g,:N,A,g,(,n,)=,n,109,所以card,B,=,0,(3)可数集并依旧是可数集，所以card(,A,B,),0,不过 card(,A,B,),card,A,=,0,从而得到,card(,A,B,)=,0,.,(4)因为7与109互素，card(,A,B,)=,n,7,109,|,n,N,，,与(1)类似得到 card(,A,B,)=,0,59/60,59,7.已知card,A,=,0,且card,B,card,A,求card(,A,B,),练习,7,解 由,A,B,A,得到 card(,A,B,),card,A,即,card(,A,B,),0,由 card,B,card,A,可知,B,为有穷集，即存在自然数,n,使得,card,B,=,n,.,假设card(,A,B,),0,，那么存在自然数,m,，使得,card(,A,B,)=,m,从而得到,card,A,=card(,A,B,),B,),n,+,m,，,与card,A,=,0,矛盾.所以，,card(,A,B,)=,0,.,60/60,60,