计算重积分的一般截面法.pdf

收稿日期2 0 2 1-1 0-2 8;修改日期2 0 2 3-0 1-0 6 基金项目湖北工业大学校内资助项目(3 3 7/1 8 7)作者简介陈坤(1 9 9 7-),男,硕士在读,电子信息专业.E-m a i l:2 6 9 0 3 8 2 1 9 9q q.c o m 通讯作者罗志刚(1 9 8 1-),男,博士,讲师,从事数学物理、经典分析、非标准分析研究.E-m a i l:l u o z g p k u.e d u.c n第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3计算重积分的一般截面法陈 坤,罗志刚(湖北工业大学 理学院,武汉4 3 0 0 6 8)摘 要将通常求重积分的截面法推广到了一般情况:用曲面族(对二重积分是曲线族)去截积分区域,先在截得的曲面片上完成积分,然后对曲面族参数积分,就可以求出重积分的值.用微分形式的计算技巧完成了相关定理的证明,并举了若干例子来说明该定理的具体应用.关键词重积分;截面法;微分形式 中图分类号O 1 7 2.2 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 8 3-0 51 引 言本文中出现的函数,都在所论及的区域上具有连续的一阶偏导数.截面法是计算重积分的一种重要方法.考虑三重积分f(x,y,z)dxdydz,用垂直于z轴的平面族去截积分区域,则有f(x,y,z)dxdydz=badzDzf(x,y,z)dxdy,(1)其中,DZ是截得的平面片.如果将积分看作对被积式在区域的每个点上的值在某种意义上“求和”(这种说法自然没有任何严格性可言),那么上式的直观意义就是:为了得到这个“求和值”,可以先对截面DZ上的每个点完成“求和”,然后再将所有截面的贡献“求和”起来.然而,具体计算重积分时,常常要顾及到被积函数的形式以及积分区域的形状,用垂直于坐标轴的平面去截积分区域并非总是最好的办法.某些情况下,或许应该考虑用更一般的曲面族(比如不垂直于坐标轴的平面)去截积分区域.如果参数从增加到,曲面族(x,y,z;)=0正好覆盖了区域,根据上面对积分的直观解释,类比(1)式,此种情况下,有望得到f(x,y,z)dxdydz=dS()dS,(2)其中S是曲面族(x,y,z;)=0在上截得的曲面片(可称为“截曲面”),dS是S上的面积元.一旦确定了(2)中的被积式,就将通常的截面法(1)进行了推广,不妨称之为一般截面法.2 主要结果上述问题的答案包含在以下定理中:定理1 若曲面族(x,y,z;)=0覆盖了区域,其中,则有f(x,y,z)dxdydz=dSf(x,y,z)dS2x+2y+2z,(3)其中,S是截曲面,dS是S上的面积元.证 对(x,y,z;)=0两边微分,得到d+xdx+ydy+zdz=0,在区域上x,y,z不能都为零,不妨设z0,所以dz=-zd-xzdx-yzdy.(4)为了将积分变量z替换成,采用文献1 中描述的方法.考虑外积dxdydz,利用(4)式,有dxdydz=-zddxdy,从而dxdydz=dxdydz=zddxdy=zddxdy,得到f(x,y,z)dxdydz=f(x,y,z)zddxdy,这就完成了积分变量替换.化累次积分后f(x,y,z)dxdydz=dSf(x,y,z)zdxdy,(5)其中的(第一类)曲面积分在截曲面S上进行.另一方面,S上的面积元2dS=(dydz)2+(dzdx)2+(dxdy)2,(6)因为暂时固定,d=0,式(4)成为dz=-xzdx-yzdy,代入到式(6)中,得到dS=1z2x+2y+2zdxdy=1z2x+2y+2zdxdy,从而有Sf(x,y,z)zdxdy=Sf(x,y,z)dS2x+2y+2z.(7)这就证明了定理.当曲面族可以写成=(x,y,z),即参数可以显式解出来时,得到上述定理的特殊情形:推论 如果曲面族=(x,y,z)覆盖了区域,则有f(x,y,z)dxdydz=dSf(x,y,z)dS2x+2y+2z,(8)其中,S是截曲面,dS是S上的面积元.证 取(x,y,z;)=-(x,y,z),代入到(3)中即得.文献3 也讨论了本文的问题,但只就此推论提到的特殊情形作了简单说明(没有应用本文的证明方法).需要指出的是,因为外微分形式可以应用到任何维空间,所以这里给出的证明方法可以毫无困难地推广到任意重(包括二重)积分上去.如此,得到最一般的结论:定理2 若超曲面族(x1,x2,xn;)=0覆盖了n2维空间区域,其中,则有f(x1,x2,xn)dx1dx2dxn=dSf(x1,x2,xn)dS2x1+2x2+2xn,(9)其中S是截超曲面,48大 学 数 学 第3 9卷dS=(dx2dx3dxn)2+(dx1dx3dxn)2+(dx1dx2dxn-1)2是S上的面积元(当n=2时是弧长元).类似于(8)的推论无需写出.3 应 用下面举例来具体说明怎样应用上述定理.例1 D(x2+y2)dxdy,其中D为曲线x y=1,x y=2,y=x,y=4x所围成的区域.解 此问题一般用换元法求解,但用本文的定理也容易计算出来.法1 用曲线族(x,y;)=y-x=0,其中14,去截区域D,有=-x,x=-,y=1,2x+2y=1+2,在截曲线Cy=x上,弧长元ds=1+y 2dx=1+2dx,C与D的交点为(1/,)和(2/,2).应用(9)(其中n=2),得到Dx2+y2 dxdy=41dCx2+y2 2x+2yds=41d2/1/1+2 x3dx=34411+12 d=4 51 6.法2 用曲线族=x y,其中12,去截区域D,有x=y,y=x,2x+2y=x2+y2=x1+2x4,在截曲线Cy=/x上,弧长元ds=1+y 2dx=1+2x4dx,C与D的交点为(/2,2)和(,).应用(9)的推论(其中n=2),得到Dx2+y2 dxdy=21dCx2+y2 ds2x+2y=21d/2x2+2x2 dxx=1 5821d=4 51 6.此例子选择覆盖曲线族时主要考虑了积分区域的形状,并且提供了两种选取曲线族的方法以便对比.例2 dxdydz(1+x+y+z)3,其中为曲面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的区域.解 用平面族=1+x+y+z去覆盖区域,其中12,得到x=y=z=1,2x+2y+22=3,使用式(8)后dxdydz(1+x+y+z)3=21dS13dS3=21133dSdS,注意到S是边长为2(-1)的等边三角形,因此SdS=32(-1)2,最后得到dxdydz(1+x+y+z)3=122113(-1)2d=12l o g 2-58 .此例选择了倾斜的平面族将积分区域覆盖.作为对比,通常的截面法(用垂直于z轴的平面族)给出dxdydz(1+x+y+z)3=10dzDzdxdy(1+x+y+z)3,其中Dz=(x,y)|0 x1-z,0y1-z-x.之后在求Dz上的二重积分时,需要化累次积58第3期 陈坤,等:计算重积分的一般截面法分.本文的解法根据被积函数的形式和积分区域的形状,选择了倾斜的截平面族,其结果是一方面简化了原被积函数(直接用参数表示出来了),另一方面截平面S上的积分恰好能直接写出,从而一步到位将原三重积分化成了一元积分,比通常的截面法更简单.最后举一个高重积分的例子.例3 求超球面Sn(R)=(x1,x2,xn)|x21+x22+x2n=R2,R0的面积An(R).解 令x1=R1,x2=R2,xn=Rn,得到An(R)=Sn(R)dx2dxn 2+dx1dx3dxn 2+dx1dx2dxn-1 2=An(1)Rn-1,其中An(1)=Sn(1)d2dn 2+d1d3dn 2+d1d2dn-1 2是单位超球面Sn(1)=(1,2,n)|21+22+2n=1的面积.因为超球面Sn(1)由面积相等的两片n=1-21-2n-1组成,只计算一片的面积就可以了.取n=1-21-2n-1那一片,有dn=-1nd1-2nd2-n-1ndn-1,代入到上面An(1)的计算式中,得到An(1)=2Dn-1(1)11-21-22-2n-1d1d2dn-1,其中,d1d2dn-1=d1d2dn-1,Dn-1(1)=(1,2,n-1)|21+22+2n-11是n-1维单位超球体.用超球面族Sn-1()=(1,2,n-1)|=21+22+2n-1,01 去覆盖积分区域Dn-1(1),应用式(9)的推论(维数是n-1)后Dn-1(1)11-21-22-2n-1d1d2dn-1=10(1-)-1/22dSn-1()dS,其中,超球面Sn-1()的面积Sn-1()dS=An-1()=An-1(1)()n-2,所以An(1)=10(1-)-1/2(n-3)/2d An-1(1)=B12,n-12 An-1(1)=12 n-12 n2 An-1(1),这里的B(x,y)和(x)分别为第一和第二类E u l e r积分4.利用此递推式,并且已知A3(1)=4,可以求出An(1)=2n/2(n/2),An(R)=2n/2(n/2)Rn-1.前几个典型值为A1(R)=1,A2(R)=2 R,A3(R)=4 R2,A4(R)=22R3,A5(R)=832R4,利用这些结果,读者可以进一步求得n维超球体的体积公式3.4 结 论本文给出的定理表明:用一组曲面族去覆盖积分区域,先完成截曲面上的积分,然后对曲面族的参68大 学 数 学 第3 9卷数积分,就可以计算出重积分.这一方法是通常微积分课本中所讲的截面法的推广.特别地,当截曲面上的积分比较容易求出时,它往往能将重积分迅速化为一元积分,大大简化计算过程.此定理为重积分的计算增加了一个十分有用的手段.致谢 感谢相关文献对本文作者的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 罗志刚.多元积分的降维计算法J.大学数学,2 0 2 1,3 7(3):1 1 0-1 1 6.2 宁荣建,周江涛.曲面积分的换元法J.大学数学,2 0 1 7,3 3(2):7 3-7 8.3 C OUR AN TR,J OHNF.I n t r o d u c t i o nt oC a l c u l u sa n dA n a l y s i s:V o l.I IM.N e w Y o r k:A W i l e y-I n t e r s c i e n c eP u b l i c a t i o n,1 9 7 4:4 4 6-4 6 2.4 王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论M.北京:北京大学出版社,2 0 0 0:9 0-1 2 4.AG e n e r a lC u r v e dS e c t i o nM e t h o dt oC a l c u l a t eM u l t i p l e I n t e g r a l sCHE NK u n,L UOZ h i g a n g(T h eS c h o o l o fS c i e n c e,H u b e iU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,W u h a n4 3 0 0 6 8,C h i n a)A b s t r a c t:T h eu s u a l p l a n e s e c t i o nm e t h o dt oc a l c u l a t em u l t i p l e i n t e g r a l s i sg e n e r a l i z e dt oc u r v e ds e c t i o nv e r s i o n,i.e.w i t has e r i e so f c u r v e ds u r f a c e s(c u r v e s f o rd o u b l e i n t e g r a l s)w h i c hc o v e r t h er e g i o no f am u l t i p l e i n t e g r a l,o n ec a nw o r ko u t t h es u r f a c e i n t e g r a l so f t h e f i r s t t y p eo nt h ec u r v e ds e c t i o n s i na d v a n c e,a n dt h e ni n t e g r a t eo v e r t h ep a r a m e t e ro f t h es e c t i o n s.T h e t h e o r e mi sp r o v e db yt h e t r i c k s f r o mt h ed i f f e r e n t i a l f o r m s t h e o r ya n ds o m ee x a m p l e s a r eg i v e n t o i l l u s t r a t eo u rm e t h o d.K e yw o r d s:m u l t i p l e i n t e g r a l s;s e c t i o nm e t h o d;d i f f e r e n t i a l f o r m s78第3期 陈坤,等:计算重积分的一般截面法