理论力学研究性教学新探索——变质量系统动力学与连续介质Reynolds输运定理.pdf

systems and Reynolds transport theorem in continuum.Mechanics in Engineering,2023,45(3):659-663Guo Tieding,Kang Houjun.A new research-oriented lecturing methodology in classical mechanicsdynamicsofvariablemass659-663引用格式：郭铁丁康厚军.理论力学研究性教学新探索变质量系统动力学与连续介质Reynolds输运定理.力学与实践，2 0 2 3，45(3)力2023年与实6月践学第45卷第3 期理论力学研究性教学新探索一一变质量系统动力学与连续介质Reynolds输运定理郭铁丁*，1)康厚军十,2)*(广西大学土木与建筑工程学院，南宁530 0 0 4)(广西大学工程力学研究中心，南宁530 0 0 4)摘要本文探讨理论力学中变质量系统动力学与连续介质Reynolds输运定理的联系。Reynolds输运定理是连续介质（例如流体）质量/动量/能量输运规律的共同基础，因而具有基本的理论重要性。本文通过详细对比分析说明：在理论力学中，基于一般质点系模型的变质量系统动力学与连续介质力学的输运规律，本质上具有相同的理论框架和分析工具。如果在任意质点系模型的基础上引入质点空间连续分布的假设，则可以将变质量离散体系的力学结论拓展至连续介质的基本输运规律（包括质量/动量/能量）。关键词王理论力学，变质量系统动力学，连续介质力学，Reynolds输运定理中图分类号：V448.2文献标识码：Adoi:10.6052/1000-0879-22-569A NEW RESEARCH-ORIENTEDLECTURING METHODOLOGY INCLASSICAL MECHANICS-DYNAMICS OFVARIABLEMASSSYSTEMSAND REYNOLDS TRANSPORT THEOREM IN CONTINUUMGUO Tieding*1)KANG Houjunt.2)(College of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University,Nanning 530004,China)t(Research Center of Engineering Mechanics,Guangxi University,Nanning 530004,China)AbstractThis paper focuses on theoretical connections between dynamics of variable mass systems andReynolds transport theorem in continuum mechanics.Reynolds transport theorem is of fundamentalimportance as it is the general theoretical foundation for transport phenomenon of mass/momentum/energy incontinuum mechanics(e.g.,fluid mechanics).Based upon a thorough comparative study,we will show that:dynamics of variable mass systems in classical mechanics,although developed for general discrete particlesystems,and transport laws in continuum mechanics essentially belong to the same theoretical framework andencompass similar analysis tools.If introducing continuous/smooth assumption into particle systems,conclusions in dynamics of variable mass systems can be extended to transport laws in continuum mechanics(including mass/momentum/energy).Keywords classical mechanics,dynamics of variable mass systems,continuum mechanics,Reynoldstransport theorem2022-10-12收到第1 稿，2 0 2 2-1 2-0 7 收到修改稿。1)郭铁丁，博士，研究方向为非线性动力学与控制（结构与介质）、非线性降维理论。E-mail：g u o t d h n u.e d u.c n2)康厚军，博士，研究方向为非线性结构动力学与控制。E-mail：h j k a n g g x u.e d u.c n660力实践学2023年第弯45卷变质量系统动力学1-2 对航空宇航工程具有重要的指导意义，如火箭和喷气飞机由于燃料燃烧而不断减少质量，因而是典型变质量系统。从学科理论发展的角度看，变质量系统动力学通常只作为理论力学的特殊专题内容（而不是基本内容-2 。这很大程度上可能是因为变质量系统动力学所使用的基本概念与分析方法比较特殊，它们与理论力学其他主体内容差异较大，理论联系不够强。本文将说明理论力学传统教学安排可能在一定程度上忽视了变质量系统动力学概念和方法的重要性。本质上它是理解连续介质输运规律的基础，将力学规律的Lagrange描述与Euler描述联系起来。变质量系统包括两层物理含义：一是系统总质量（totalmass）的变化，二是系统内的质点对象（particle identity）改变。后者包含前者，其物理含义更广，即：变质量系统对应于物理上的开放系统（open system），不同于物理意义上的封闭系统（closed system）3。事实上，即使质点系总质量不变，质点对象也可能发生变化。典型例子包括：输液管内的流体(4和轴向运动的连续结构（陀螺连续体）5。因此，变质量系统对应于存在输运效应的连续介质（开放系统）1 4-6,两者的共同特征是允许系统与外界发生物质（质量）、动量和能量的交换。作为理论力学研究性教学新探索，本文讨论变质量系统动力学与连续介质Reynolds输运定理 6 之间的理论联系。通过对比分析详细论证：变质量系统动力学的基本概念和方法为连续介质力学的物质输运规律提供了基本理论框架。11简介1.1变质量系统动力学回顾 1-2 牛顿第二定律适用于常质量质点，因此基于牛顿第二定律得到的质点系动力学普遍定理不适用变质量系统 2 。设系统的初始质量为，离开系统的质量为mo(t)，并入系统的质量为ml(t)。根据质量守恒，任意时刻变质量系统的质量均满足 1-2 m(t)=m-mo(t)+mi(t)(1)假设m(t)，m o(t)，m l (t)均是时间的连续可微函数，则质量变化规律的微分形式为dmdmodml(2)+dtdtdt以上变质量系统的质量m(t)，mo(t)，ml (t)应该理解为多个质点质量的代数和：m(t)=Zmi，mo(t)=moj，m(t)=m I k。在连续情形,k对应空间域积分形式。下面回顾变质量系统的动量定理。引入一个封闭曲面S(t）（此处指数学意义上的封闭），该曲面围成的空间区域G(t)允许质点的并入或离开，因此曲面S(t)内的质点构成一个变质量（开放）系统，用G代表，如图1(a)虚线所示。考虑一般性，曲面S可以发生运动和变形。ndAG1A(t)UCdAA(t+t)V(t)V(t+t)a(b)图1(a)变质量系统 与(b)Reynolds输运定理的控制体/控制面示意图6作为参照对比，在t=t*瞬间引入常质量系统，它对应封闭曲面S*(t)围成的区域G*(t)。如图1(a)虚线所示，在该瞬间两个封闭曲面恰好重合即G*=G，S*=S。常质量系统用G*表示，其质量大小和质点对象都不改变，p*是其动量。假设变质量系统G的总动量为p(t)，经过时间间隔t（图1(a)实线位置），动量变为p+p。因此，如图1(a)所示，变质量系统G的动量变化满足p+p=p*+p*-p o +p l(3)式中，p*表示参照（常质量）系统G*发生的动量改变，po和pr则分别表示离开和并入系统G的质点所引起的动量改变，这些质点分别对应图1(a)中的阴影区域GI和G2。由式(3)得到变质量系统的动量定理-2dpP=R(e)dpodpl(4)dtdtdt661变质量系统动连续介质Reynolds输运定理第3 期郭铁丁等：理论力学研究性教学新探索式（4）用到了常质量系统G*的动量定理，即dp*/dt=R(e)，R(e)是t*时刻作用在系统上的外力主矢。式（4）中的-dpo/dt，d p r/d t 可以理解为由于质点离开和并入系统G引起的反作用力，这不同于常质量系统的动量定理。注意式（4）中的动量在变质量系统应该理解为多个质点动量的矢量和，即：p=pi，p o=p o j，pr(t)=Zplkk（在连续情形，则对应空间域的积分形式）。如引言中所述，理论/经典力学教材中的“变质量系统”（图1(a)）对应于物理上的“开放系统”（图1(b)），即质点对象（particle identity）的改变，允许发生物质（质量）、动量和能量的交换，这是与连续介质力学输运规律建立联系的关键。1.2连续介质的Reynolds车输运定理 6 如图1(b)所示，设空间域V(t)由封闭曲面A(t)围成，运动和变形。空间域V和曲面A分别称为控制体（controlvolume）和控制面。设控制面上任意位置的外法线方向单位向量为n，速度为Uc，则空间域内任意连续分布的物理量F(r,t)在控制体内的时间变化率满足以下Reyno-1ds输运定理 6 d8F(r,t)F(r,t)dV=dV+dtJv(t)Jv(t)otF(r,t)uc ndA(5)JA(t)Reynolds输运定理表明，控制体V内的物理量改变由两部分组成：式（5）等号右边第一项表示控制体内部物理量的局部变化F/ot，第二项是控制体运动和变形（控制体体积改变ucndA）所诱导的物理量积分项改变。连续介质的Reynolds输运定理在数学本质上对应于含变动上/下限的微积分公式(6，控制体/面的运动和变形相当于积分变动的上/下限在三维微积分公式的推广。2连续介质的输运规律与变质量系统动力学的对比与联系下文以流体力学为例，对比说明变质量系统动力学与基于Reynolds输运定理的连续介质力学输运规律之间的联系，重点讨论质量和动量的输运特性。2.1控制体内的质量变化规律取物理量F(r,t)为流场密度p(r,t)，则控制体V(t)内的质量变化规律满足Reynolds 输运定理 6)dop(r,t)p(r,t)dV=dV+dtJV(t)Jv(t)tpUcndA(6)A(t)作为参照对比，引入t=t*瞬间的物质体V*(t）（m a t e r i a l v o l u m e）。允许物质体发生运动和变形，且其表面即物质面A*(t)上的速度Um始终等于流场速度(r,t)，进而可以保证物质不会穿越物质面A*(t）。因此，物质体是常质量体系。在t=t*瞬间，物质体恰好与控制体重合，即V*=V，A*=A。对该物质体V*(t)使用Reynolds输运定理并结合质量守恒（物质体的质量不变）dop(r,t)p(r,t)dV=dV+tJV*(t)JV*(t)tpundA=O(7)JA*(t)结合式（6）和式（7），得到控制体内质量变化规律满足 6 dp(r,t)dV=-p(u-vc)ndA1(8)dtV(t)A(t)U一Uc表示流体质点相对控制面A(t)的速度。由于t=t*瞬间物质体与控制体重合，式（8）用op(r,t)ap(r,t)到积分等式dV=dV,Jv(t)tV*(t)tpu ndA=pundA。JA*(t)A(t)式(8)表明，控制体V(t)内的质量改变是由于物质穿越控制面A(t)的输运效应引起的，即(u-c)nO。特别指出：流场控制体内质量变化规律式（8）与变质量系统的质量变化规律式（2）完全对应。当式（8）中-（u u c）ndA0时，表示物质流入控制体，对应式（2）中的dmi/dt。力662实践学2023年第45卷2.2控制体内的动量变化规律取输运定理中的物理量F(r,t)为流场动量p(r,t)u(r,t)，则可以得到控制体V(t)内的动量变化满足Reynolds输运定理 6 d8(pu)Jv(t)pudV:dV+(pu)vc:ndA/V(t)tA(t)(9)作为参照对比，引入t=t*瞬间的物质体V*(t）（定义与质量输运情形相同）。在该瞬间，物质体恰好与控制体重合V*=V，A*=A。这时物质面的速度始终等于流场速度，以确保物质不会穿越物质面A。在t=t*瞬间，对物质体V*(t)使用Reynolds输运定理并结合动量定理（注：物质体是常质量体系，可以使用基于牛顿定律的质点系动量定理）d(pu)aJt)pudV=dV+V*(t)ot(pu)u:ndA=R(e)(10)JA*(t)R(e)是t*时刻作用在物质体V*(t)域内的力（称为体力）和物质面A*（t）上的力（称为表面力）之和的主矢量。结合式（9）和式（1 0），得到控制体内动量的变化规律满足dpudV=R(e)_(pu)(u-vc)ndAdtJv(t)/A(t)(11)其中-Uc表示流体质点相对控制面A(t)的速度。由于该瞬间V*=V,A*=A，式（1 1）用8(pu)8(pu)到积分等式dVdV和Jv(t)tJv*(t)ot(pu)ndA=(pu)u ndA。JA*(t)JA(t)式（1 1）表明，控制体V(t)内的动量改变由两个不同因素引起：一是控制体V(t)受到的外力作用R(e)，二是由于物质跨越控制面A(t)的输运效应诱导动量改变。第二点显著区别于式（1 0）中基于物质体的动量定理（没有输运效应）。特别指出：流场控制体V(t）内动量变化规律式（1 1）与变质量系统的动量变化规律式（4）完全对应。当式（1 1）中-(u-uc）ndA0时，表示动量输入控制体，对应式（4）中的dpr/dt。2.3讨论与分析以上讨论表明：基于质点系模型的变质量系统动力学，其发展的基本概念和分析方法具有普遍适用性。这些概念和方法经过拓展，同时引入质点空间分布的连续（可微）性假设，则变质量系统动力学的基本结论可以与连续介质的输运规律建立显式的理论联系，如表1 所示。因此，变质量系统动力学与基于Reynolds输运定理的连续介质的物质输运分析本质上具有相同的理论框架。表1变质量系统动力学与连续介质输运特性对比变质量系统连续介质变质量系统G，封闭曲面S控制体V，控制面A常质量系统G*，封闭曲面S*（t*瞬时）物质体V*，物质面A*（t*瞬时）离开控制体的质量与动量：离开变质量系统的质量与动量：-intp(u-vc)ndA O,-dmo/dt0,-dpo/dt 0-int pu(u-vc)-ndA 0,dm/dt 0,dpr/t0-int pv(u-vc)-ndA 0方法与技巧：在t=t*瞬时，引入与变质量系统G重合的常方法与技巧：在t=*瞬时，引入与控制体V重合的物质体V*质量系统G*作为对照参考，引用基于常质量的力学结论。作为对照参考，引用基于物质体的力学结论。适用范围：任意质点系（离散或连续）适用范围：连续介质（质点连续分布）注：int表示沿控制面的积分变质量系统动力学与连续介质力学的内在理论联系表明：理论力学作为力学基础课程体系的起点，为后续各个分支力学课程的学习提供了基本语言。在理论力学课程研究性教学中，若能适漫（责任编辑：胡第3 期663郭铁丁等：理论力学研究性教学新探索变质量系统动力学与连续介质Reynolds输运定理当地融入变质量系统动力学内容，并合理地映射到连续介质的输运特性（初步介绍），有助于形成对应用力学学科整体图像的认知。表1 同时也说明，尽管质点系模型一般性，但质点空间分布缺乏必要的数学连续性（光滑性）假设，使得以场论和矢量分析为代表的数学工具难以应用于经典的变质量系统动力学中广泛使用。因此，尽管其结论具有一般性，有时却难以实现对某些力学特征的精细刻画。例如在变质量系统动力学中，物理量进入或离开变质量系统属于两种不同的力学效应，需要分类表述。但是，在连续介质的输运规律中，利用质点相对控制面的速度向量与控制面法向量的点积，以简洁的数学形式统一表述了物质跨越控制面（即进入或离开控制体）的输运效应：点积为正表示离开控制体，点积为负表示进入控制体。3结论本文通过对比研究阐释了变质量系统动力学与连续介质力学Reynolds输运定理（以及诱导的物质输运规律）之间的理论联系。变质量系统动力学所发展的基本概念与分析方法，在引入质点空间分布的连续性假设后，可以自然拓展至连续介质力学。因此，理论力学变质量系统动力学提供了从离散系统力学（Lagrange描述）过渡到连续介质力学（Euler描述）的一个“桥梁”，有利于提高理论力学对力学其他分支（和课程）的基础支撑作用。参考文献1马尔契夫.理论力学，第3版.李俊峰译.北京：高等教育出版社，20062李俊峰，张雄.理论力学，第3版.北京：清华大学出版社，2 0 2 13 Landau LD,Lifshitz EM.Mechanics.Oxford:Butterworth-Heinemann,19824徐鉴，王琳.输液管动力学分析和控制，第1 版.北京：科学出版社，20155陈立群，ZuJ.轴向运动弦线的纵向振动及其控制.力学进展，2001,31(4):535-546Chen Liqun,Zu J.Transverse vibration of axially movingstrings and its control.Advances in Mechanics,2001,31(4):535-546(in Chinese)6 Kundu PK,Cohen IM,Dowling DR.Fluid 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