14.3.1-因式分解-提公因式法.doc

第十四章 整式的乘法和因式分解
14.3 因式分解
第一课时 14.3.1 提公因式法
一 教学目标
[1] 理解因式分解的概念，知道因式分解和整式的乘法是方向相反的变形。
[2] 理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
[3] 掌握因式分解中的提公因式法。
二 教学重点/难点
教学重点
[1] 因式分解的概念及提公因式法。
教学难点
[1] 正确找出多项式各项的公因式
[2] 正确认识分解因式与整式乘法的区别和联系。

三 教学过程
1 引入新课
【师】同学们好。这节课开始，我们先来思考一个问题，630能被哪些数整除？
【生】把630分解质因数，可以得到：630=2×32×5×7。
【师】这个问题大家小学就知道了对吧，但现在我们在学习整式的乘法，所以我们可以想一下，一个数可以写成若干个因数乘积的形式，整式能不能这样做呢？这就是这节课我们要学习的内容。

2 新知介绍
[1] 因式分解的概念
【师】大家看114页探究，首先我们来完成这样的一个任务：把下列多项式写成整式的乘积的形式。根据整式的乘法，你能得到答案么？
【生】（完成题目，给出答案）。
【师】没错，那大家现在观察上面的式子，大家发现了什么规律呢？
【生】这个变形和我们以往的整式乘法不太一样，似乎是倒着来的。
【师】没错。刚才我们把把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这种式子变形就叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式（板书给出定义）。
一、因式分解
1. 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。
【师】从刚才的例子可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形，是互逆的运算。此外，因式分解前后，整式的形式发生了改变，但值的大小不变，因此因式分解是恒等的变形。
2. 因式分解和整式乘法是方向相反的变形，是恒等变形。
【师】这里老师要格外强调两点，一个是，因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止，另一个是，因式分解的最后结果，必须是整式的乘积的形式。

[2] 公因式
【师】仔细观察下面的几个多项式（ab−ac ，3x2+x，mb2+nb+b），大家能发现，它们有什么共同的特点吗？
【生】它们的每一项中都有相同的部分，第一个里面是a，第二个式子是x，第三个式子是b。
【师】没错，上面的几个多项式各项都含有的相同因式，我们把这些相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
二、提公因式法
1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
【师】光知道什么是公因式还不足够，我们还需要会找一个多项式中的公因式。请大家看投影上给出的四个多项式，怎样才能又快又准地找出公因式呢？大家可以思考并交流几分钟。
【生】（分组讨论和交流）。
【师】大家得出答案了吗？老师在这里给大家介绍一下确定公因式的方法。首先要确定公因式的系数，这个系数就是多项式各项系数的最大公约数。其次确定字母，也就是各项相同的字母因式。最后确定指数，找出各项相同字母因式中指数的最小值。
2. 确定公因式的“三定法”：
（1）先定系数：最大公约系数
（2）再定字母：相同字母
（3）最后定指数：最小幂指数。

【师】下面，谁能回答刚才的问题呢？
【生】（回答问题，给出答案）。
【师】下面，根据老师刚才给出的方法，我们来挑战几道有点难度的多项式，请大家找出这几个多项式里面的公因式。（投影给出多项式，引导学生完成问题，同时利用这几道例题向学生强调：第一，公因式既可以是相同的字母，也可以是相同的多项式；第二，多项式首项是负号，一般先把负号一并提入公因式。）

[3] 提公因式法
【师】看了那么多字母，现在我们换换口味，看一道算术题。速算7.6×201.5+4.3×201.5−1.9×201.5，有什么简单的算法？
【生】可以把201.5提出去，这样可以简算，得到答案2015。
【师】刚才我们看的是数的运算，那因式分解也可以这样做吗？大家想想看。
【生】当然可以，这节课刚开始我们看到的例子就是这样做的。
【师】没错。如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式和其他因式的乘积的形式，这种方法叫做提公因式法。比如，pa+pb+pc这个多项式，里面都含有p这个公因式，我们就可以把p提出来，得到p(a+b+c)，完成因式分解。实际上，提公因式法就是逆用了乘法分配律而已。
3. 提公因式法：
（1）原理：pa+pb+pc=p(a+b+c)。
（2）实质：逆用了乘法分配律。
【师】下面就请大家试一下，运用提公因式法，分解投影上给出的几个多项式（一共七个题，全都是刚才在找公因式时的原题，即学即练，注意强调，当公因式出现负号，或者去括号前出现负号，提醒学生注意变号）。
【生】（分解因式，给出答案）。
【师】好了，下面大家来看投影上给出的例子，这三个因式分解正确吗？
【生】都不正确。
【师】都错在哪里了呢？
【生】第一个错在公因式没有提干净，第二个错在提完之后的多项式里面漏了一个1，这个1不是系数不能省略，第三个是错在符号，公因式前后差一个符号的话没有变号。
【师】大家找的很准。老师给出这些例子的原因，就是希望大家在做题时不要犯这些错误。

四.课堂练习
1. 下列式子中，哪些是正确的因式分解？
2x(x−3y)=2x2−6xy
x2−4y2=(x+2y)(x−2y)
x2+4x+4=x(x+4)+4
(a−3)(a+3)=a2−9
x3−x=x(x2−1)
2πR+2πr=2π(R+r)
2. 多项式6ab2+18a2b2−12a3b2c的公因式（ ）
A. 6ab2c B. ab2 C. 6ab2 D. 6a3b2
3. 若多项式−6ab+18abx+24aby的一个因式是−6ab，那么另一个因式是（ ）
A. 1−3x+4y B. 1+3x−4y
C. −1−3x−4y D. 1−3x−4y
4. 分解下列因式：
12xyz−9x2y2=
2a(y−z)−3b(z−y)=
−16x4+32x3−56x2=
p(a2+b2)−q(a2+b2)=

五. 作业布置
1、完成配套课后练习题
2、预习提纲：
因式分解：公式法