【2013版中考12年】浙江省台州市2002-2013年中考数学试题分类解析-专题11-圆.doc

台州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题11：圆
一、选择题
1. （2002年浙江台州4分）如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC=5，则CD＝【 】

（A） （B） （C） 7 （D）24
【答案】C。
【考点】相交弦定理。
【分析】∵⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D，
∴。
∵PA＝6，AB＝4，PC=5，∴，解得：CD=7。故选C。
2. （2003年浙江台州4分）如图，四个半径均为R的等圆彼此相切，则图中阴影部分（形似水壶）图形
的面积为【 】

A、 　 B、　 C、 　　 D、
【答案】A。
【考点】相切圆的性质，正方形的判定和性质，扇形面积。
【分析】求得四条弧围成的图形的面积然后加上一个圆的面积即可求解：
四条弧围成的图形的面积是：以2R为边长的正方形面积减去1个圆满的面积：
2R·2R－πR2=4R2－πR2；
圆的面积是：πR2。
∴图中阴影部分（形似水壶）图形的面积为4R2－πR2+πR2=4R2。故选A。
3. （2004年浙江温州、台州4分）如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB、PCD分别为这两圆
的割线，若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于【 】

(A) 12 (B) 9 (C) 8 (D) 4
【答案】B。
【考点】切割线定理。
【分析】∵根据切割线定理得PT2=PA•PB，PT2=PC•PD，
∴PA•PB=PC•PD。
∵PA=3，PB=6，PC=2，∴PD=9。故选B。
4. （2005年浙江台州4分）如图所示的两圆位置关系是【 】

（A）相离 （B）外切 （C）相交 （D） 内切
【答案】C。
【考点】圆与圆的位置关系，
【分析】判断两圆的位置关系可通过观察两圆是否有交点来确定，一个交点是相切，两个交点是相交，没有交点是相离，显然此题两圆有两个交点，是相交。故选C。
5. （2005年浙江台州4分）如图，半径为1的圆中，圆心角为120°的扇形面积为【 】

（A） （B） （C） （D）
【答案】C。
【考点】扇形面积的计算。
【分析】根据扇形面积公式，所求面积为。故选C。
6. （2005年浙江台州4分）如图，PA 、PB是⊙O的切线，A、 B 为切点，OP交AB于点D，交⊙O
于点C , 在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线
段是【 】

（A）AB、CD （B）PA、PC （C）PA、AB （D）PA、PB
【答案】D。
【考点】勾股定理，垂径定理，切割线定理，射影定理，切线长定理。
【分析】根据有关定理逐一作出判断：
A、连接OA，构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定理即可计算。
B、延长PO交圆于另一点E，根据切割线定理即可计算。
C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径。
D、根据切线长定理，得PA=PB．相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长。
故选D。
7. （2006年浙江台州4分）直径所对的圆周角是【 】
（A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定
【答案】B。
【考点】圆周角定理。
【分析】直接根据直径所对的圆周角是直角得出结论。故选B。
8. （2006年浙江台州4分）如图，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是【 】

（A）6 （B）5 （C）4 （D）3
【答案】D。
【考点】相交弦定理。
【分析】∵⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∴。
∵，AP=6，BP=2，CP=4，∴，解得PD=3。故选D。
9. （2006年浙江台州4分）我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，若点P是⊙O外一点（如图），则点P与⊙O的距离应定义为【 】

（A）线段PO的长度 （B）线段PA的长度
（C）线段PB的长度 （D）线段PC的长度
【答案】B。
【考点】新定义。
【分析】根据前面的几个定义都是点到图形的最小的距离，因而由图可知：点P到⊙O的距离是线段PA的长度。故选B。
10. （2008年浙江台州4分）下列命题中，正确的是【 】
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
所以正确的是③④⑤。故选B。
11. （2009年浙江台州4分）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为【 】
A．外离 B．外切　　　　　Ｃ．相交 D．内含
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，，
∴6＋3＜10，即两圆圆心距离大于两圆半径之和。
∴这两圆的位置关系为外离。故选A。
12. （2010年浙江台州4分）如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 【 】

A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】A。
【考点】垂径定理，圆周角定理。
【分析】∵⊙O的直径CD⊥AB，∴根据垂径定理，得：。
∵∠AOC=50°，∴根据“同圆中等弧对等角”，得∠CDB=∠AOC=25°。故选A。
13. （2011年浙江台州4分）如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A、B、C、D
分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟
花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计) 【 】

A． B．
C． D．
14. （2011年浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动
点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】

A． B． C．3 D．2
【答案】B。
【考点】圆的切线的性质，垂线段的性质，勾股定理。
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．运用勾股定理得PQ=。故选B。
15. （2012年浙江台州4分）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于【 】

　 A． 50° B．60° C．65° D．70°
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠ABC=∠AOC=65°。故选C。
二、填空题泰州锦元数学工作室邹强
1. （2010年浙江台州5分）如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则
直线CD与⊙O的位置关系是 ▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．

∵BC为半圆O的直径，∴直线CD与⊙O相切。
连接OE，则OE=OB。
又∠EBO=45°,∴△BOE是等腰直角三角形，且面积=。
又，
∴阴影部分面积=。
2. （2011年浙江台州5分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB＝20，分别以CM、
DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为 ▲ (结果保留)．

【答案】。
【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等量代换。
【分析】如图，连接AC，AD，∵AB⊥CD，AB=20，∴AM=MB=10。
又∵CD为直径，∴∠CAD=90°，∴Rt△MAC∽Rt△MDA。
∴，即MA2=MC•MD=100。
∴S阴影部分=S⊙O－S⊙1－S⊙2=
。
3. （2012年浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 ▲ 厘米．

【答案】10。
【考点】垂径定理，勾股定理，矩形的性质，解方程组。
【分析】如图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I，连接OF。设OH=x，HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得，解得。∴球的半径为x＋y=10（厘米）。
4.（2013年浙江台州5分）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sinC的值为 ▲ .

【答案】。
【考点】切线的性质，锐角三角函数定义。
【分析】如图，连接OD，
∵DC是⊙O的切线，∴DC⊥OD，即∠ODC=90°。
∵AB=4，∴OA=OD=2。
∵AC=7，∴OC=5。
∴。
三、解答题泰州锦元数学工作室邹强
1. （2002年浙江台州14分）如图，已知半圆O的直径AB＝10，⊙O1与半圆O内切干点C，与AB相切干点D．
(1）求证：CD平分∠ACB；
(2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面积S△CDB；
（3）设AC：CB＝x（x＞0），⊙O1的半径为 y，请用含x的代数式表示y．

【答案】解：（1）证明：过点C作两圆外公切线MN，
∵AB与⊙O1相切于点D，
∴∠MCD=∠ADC，∠MCA=∠ABC。
∵∠MCD=∠MCA+∠ACD，∠ADC=∠ABC+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB。
（2）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°。
∴，即。
又AC：CB=1：3，解得。
∴。
∵CD平分∠ACB，∴点D到AC，BC的距离相等。
∵AC：CB=1：3，∴。
∴。
（3）由AC：CB=x，解得：
，
过点C作CE⊥AB交AB于点E，
由得：，解得：。
连接OO1并延长，则必过切点C，连O1D，则O1D⊥AB，
∴CE∥O1D。∴△OCE∽△OO1D 。∴。
解得：（x＞0）。
2. （2003年浙江台州8分）如图PA是△ABC的外接圆O的切线，A是切点， PD∥AC，且PD与AB、
AC分别相交于E、D。
求证：（1）∠PAE＝∠BDE；
（2） EA·EB＝ED·EP

【答案】证明：（1）∵AP是切线，∴∠PAE=∠ACB。
又∵PD∥AC，∴∠PDB=∠BDE。∴∠PAE=∠BDE。
3. （2003年浙江台州12分）在一次数学实验探究课中，需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题，某
同学完成了以下部分记录单：
记录单（单位：㎝）

第一次
第二次
第三次
图形
R＝5
R＝3

AB
2.50
3.00
3.50
AC
6.40
5.33
4.57
AB·AC

（1）请用计算器计算AB·AC的值，并填入上表的相应位置；（2）对半径分别为R、的两个同心圆，猜测AB·AC与R、的关系式，并加以证明。
【答案】解：（1）填表如下：

第一次
第二次
第三次
图形
R＝5
R＝3

AB
2.50
3.00
3.50
AC
6.40
5.33
4.57
AB·AC
16
15.99
15.995
（2）猜测AB·AC与R、的关系式为。证明如下：
过点O作直线AE，交小圆与D，E，连接BD、CE，
∵∠A=∠A，∠ABD=∠E，∴△ABD∽△AEC。
∴ ，即。
∴。
4. （2005年浙江台州14分）如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.
（1）求点C的坐标；
（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；
（3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.

（2）能。
连结AE ，
∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°。
在△ABE与△PBA中，AB2＝BP· BE , 即。
又∠ABE=∠PBA，∴△ABE∽△PBA 。∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE 。
（3）存在。
① 当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12＝BQ1· EQ1 ,
∴Q1(5, －4)符合题意。
② 当Q2点在线段EB上，
∵△ABE中，∠BAE=90°，∴点Q2为AQ2在BE上的垂足。
∴。
∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84
又AQ2·∠BAQ2=2.88，
∴点Q2（5.84，－2.88）。
③若符合题意的点Q3在线段EB外，则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点。
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10，
故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t，
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得，
即得t=。
∴Q3点的横坐标为8+3t=， Q3点的纵坐标为4t =。
∴Q3（，）。
综上所述，在直线BE上存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ，点Q的坐标为
(5, －4)或（5.84，－2.88）或（，）。
【考点】垂径定理，勾股定理，圆周勾股定理，射影定理，相似三角形的判定和性质，切割线定理，锐角三角函数的定义，分类思想的应用。
【分析】（1）根据题意，根据圆心的性质，可得C的AB的中垂线上，易得C的横坐标为5；进而可得圆的半径为5；利用勾股定理可得其纵坐标为-4；即可得C的坐标。
（2）连接AE，由圆周角定理可得∠BAE=90°，进而可得AB2=BP•BE，即 ，可得△ABE∽△PBA；进而可得∠BAE=90°，即AP⊥BE。
（3）分三种情况讨论，根据相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数的定义，易得Q到x、y轴的距离，即可得Q的坐标。
5. （2006年浙江台州8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点 D, 交边BC于点E，连结BD.
（1）根据题设条件，请你找出图中各对相似三角形；
（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明.

【答案】解：（1） △DBE∽△DAB；△DBE∽△CAE；△ABD∽△AEC。
（2）选择△ABD∽△AEC证明：
∵DA是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAE。
∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC。
【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定。
【分析】认真审题，由圆周角定理，对顶角的性质，根据相似三角形的判定方法进行判定。
6. （2007年浙江台州10分）如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）

【答案】解：（1）直线CD与⊙O相切。理由如下：
∵在⊙O中，∠A=30°，∴∠COB=2∠A=2×30°=60°。
又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形。∴∠OCB=60°。
又∵∠BCD=30°，∴∠OCD=60°+30°=90°。∴OC⊥CD。
又∵OC是半径，∴直线CD与⊙O相切。
（2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，
∵OC=1，∴CD=。∴。
又∵，
∴。
【考点】圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】（1）由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径，所以直线CD与⊙O相切。
（2）根据已知可求得OC，CD的长，则利用求得阴影部分的面积。
7. （2009年浙江台州8分）如图，等腰△OAB中，OA=OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C．
求证：AC=BC．