【2013版中考12年】浙江省台州市2002-2013年中考数学试题分类解析-专题10-四边形.doc

台州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题10：四边形
一、 选择题
1. （2008年浙江台州4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为【 】

A． B． C． D．
2. （2010年浙江台州4分）梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是【 】
A．3 B．4 C． 2 D．2+2
【答案】B。
【考点】梯形的性质，平行四边形、等边三角形的判定和性质。
【分析】如图，作AE∥CD于E点，
∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形。
∵AB=CD=AD=2，∴AE=CD=2，EC=AD=2。
又AB=CD，∠B=60°，∴△ABE是等边三角形。∴BE=2。
∴BC=4。故选B。
3. （2011年浙江台州4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，对角线AC、BD相交于点O．下
列条件中，不能判断对角线互相垂直的是【 】

A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠3 D．OB2＋OC2＝BC2
4. （2012年浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。
综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。
二、填空题
1. （2003年浙江台州5分）如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标。它是由四个相同的
直角三角形与中间一个大正方形的边长是13㎝，小正方形边长是7㎝，则每个直角三角形较短的一条直
角边的长是　　▲　 ㎝。

【答案】5。
【考点】正方形的性质，勾股定理。
【分析】如图，大正方形的边长是AB=13㎝，小正方形边长是CD=7㎝，
设直角三角形中较小边长AC=x，则BC= x+7
根据勾股定理，得，
解得，x1=5，x1=－12（舍去）。
∴较短的一条直角边的长是AC=5㎝。
2. （2008年浙江台州5分）如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c= ▲ （用含有a，b的代数式表示）．

【答案】。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，∴∠CNB+∠ENH=90°。
又∵∠CNB+∠NCB=90°，∠ENH+∠EHN=90°，∴∠CNB=∠EHN，∠NCB=∠ENH。
又∵CN=NH，∴△CBN≌△NEH（ASA）。∴HE=BN。
∵在Rt△CBN中，BC2+BN2=CN2，∴BC2+ HE 2=CN2，
又∵三个正方形的边长分别为a，b，c，即BC=a，HE=b，CN=c，
∴a2＋b2=c2。∴。
三、解答题
1. （2004年浙江温州、台州10分）附加题
（1）对于任意给定的一个矩形C，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请
说明你理由。
（2）当实数m是什么值时，对于任何一个矩形C，都存在另一个矩形，它的周长与面积都是矩形
C的m倍？证明你的结论。
（2）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y，
则 ，∴x，y是方程t2－m(a+b)t+mab=0的两根。
当△=m2(a+b)2－4mab≥0，即时，方程有解。
∴对于长与宽分别为a，b矩形, 当时，存在周长与面积都是已知矩形的m
倍的矩形。
∵(a－b)2≥0，∴a2+b2≥2ab。 ∴a2+b2+2ab≥4ab， 即(a+b)2≥4ab，。
∴的最大值为1 。
∴当m≥1时，所有的矩形都有周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，矩形的性质。
【分析】（1）由题意可知：分别设出已知矩形和所求矩形的长与宽，再根据周长和面积的关系可以列出两个关系式，观察两个关系式可得一个根为xy的一元二次方程，再根据判别式可以确定方程是否有解，进而确定所求矩形是否存在。
（2）方法与（1）一样。
2. （2005年浙江台州8分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.

【答案】解：（1）135, 。

【考点】网格问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】（1）由正方形的性质，可得∠ABC=1350，由勾股定理可得BC=。
（2）由正方形的性质，可得∠ABC =∠DEF =1350，由勾股定理可得，从而判断
△ABC∽△DEF。
3. （2006年浙江台州14分）善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
问题一 平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究.假设梯形ABCD中， AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图①）.根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似?
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形 ▲ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明) .
问题二 平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?
（1）从特殊平行线入手探究.梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形 ▲ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明).
（2）从特殊梯形入手探究.同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P,Q在梯形的两腰上，如图②）, 使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗? 请根据相似梯形的定义说明理由.
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定 ▲ (填“存在”或“不存在”)平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似. 若存在，则确定这条平行线位置的条件是 = ▲ (不妨设AD= a，BC= b，AB=c，CD= d.不要求证明 ) .

【答案】解：问题一：（1）梯形AMND与梯形ABCD不相似。
∵两个梯形的腰相等，即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
∴这两个梯形一定不相似。
（2）不相似。
问题二：（1）不相似。
（2）能。
若梯形APQD与梯形PBCQ相似，则
∵ ，即，解得：PQ=4。
∵ ，AP+PB=6，∴AP=2。
同理可得DQ=。
∴当AP=2，DQ=时，形APQD与梯形PBCQ相似。
（3）存在；。
4. （2009年浙江台州12分）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．
（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．
①任意凸四边形一定存在准内点． （ ▲ ）
②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ▲ ）
③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．( ▲ )

【答案】解：（1）证明：如图，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，垂足分别为G，I，J，H，
∵EP平分∠DEC，∴PJ=PH。
同理PG=PI。
∴P是四边形ABCD的准内点。
（2）作图如下：

平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点；
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点。
（3）真；真；假。
【考点】新定义，作图（复杂作图）平行四边形和梯形的性质。
【分析】（1）过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分线的性质可知PJ=PH，5. （2011年浙江台州8分）如图，分别延长ABCD的边BA、DC到点E、H，使得AE＝AB，CH＝CD，
连接EH，分别交AD、BC于点F、G．
求证：△AEF≌△CHG．

【答案】证：在ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ，
∴∠E＝∠H，∠EAF＝∠D 。
∵AD∥BC，∴∠HCG＝∠D。∴∠EAF＝∠HCG 。
∵AE＝AB，CH＝CD。∴AE＝CH。
∴△AEF≌△CHG（ASA）。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据平行四边形的性质可得出AE=CH，再根据平行线的性质及等角代换的原理可得出∠E=∠H，∠EAF=∠D，从而利用ASA可作出证明。