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课时知能训练
一、选择题
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线
B．两条直线
C．两个点
D．4条直线
【解析】 由(x－y)2＋(xy－1)2＝0得
∴或，
即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．
【答案】 C
2．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
【解析】 设椭圆的中心为O，则OM是△PF1F2的中位线，
∴|MO|＋|MF1|＝a＞c，
∴动点M的轨迹是以点F1，O为焦点的椭圆．
【答案】 B
3．已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
【解析】 ∵AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，
设点C(x，y)由题意可知
×5×＝10，
∴4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
【答案】 B
4．(2012·杭州模拟)设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若＝λ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】 设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，
由＝λ得(λ＞0)．
∴
由于x＋y＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，
∴点M的轨迹是椭圆．
【答案】 B
5．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
【解析】 M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|
＝|CQ|＝5，
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 D
二、填空题
6．(2012·汕头模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
【解析】 由题意△ABC是以点C为直角顶点的三角形．
∴|MC|＝3，
故圆心M的轨迹是以点C(1，－1)为圆心，以3为半径的圆，
其轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝9
7．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为________．
【解析】 依题意，设PM，PN与圆的切点为C，D，则|PM|－|PN|＝(|PC|＋|MC|)－(|PD|＋|DN|)＝|MB|－|NB|＝2，∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线(与x轴的交点除外)的右支，c＝3，a＝1，b2＝8，
轨迹方程为x2－＝1(y≠0，x＞0)．
【答案】 x2－＝1(y≠0，x＞0)
8．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．
【答案】 －＝1(x＞3)
三、解答题
9．已知直线l：y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【解】 直线l与y轴的交点为N(0,1)，圆心C(2,3)，设
M(x，y)，∵MN与MC所在直线垂直，
∴·＝－1，(x≠0且x≠2)，
当x＝0时不符合题意，当x＝2时，y＝3符合题意，
∴AB中点的轨迹方程为：
x2＋y2－2x－4y＋3＝0，＜x＜.
图8－5－4
10．(2011·陕西高考)如图8－5－4，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
【解】 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由已知得
∵P在圆上，
∴x2＋(y)2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.
11．已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点(，0)作直线l，与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．
【解】 (1)设P点的坐标为(x，y)，依题意得·＝－(x≠±2)，化简并整理得＋＝1(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程是＋＝1(x≠±2)．
(2)依题意得，直线l过点(，0)，且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋.
由，消去x得
4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，
∴y1＋y2＝－，
∴y0＝＝－，
∴x0＝my0＋＝，
∴k＝＝，
①当m＝0时，k＝0，
②当m≠0时，k＝，
又|4m＋|＝4|m|＋≥8，
∴0＜|k|≤，∴－≤k≤，且k≠0，
综合①②，直线AM的斜率k的取值范围为[－，]．
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