高三数学-《6年高考4年模拟》：第二章-函数与基本初等函数1--第二节-基本初等函数1.doc

第二节 基本初等函数I
第一部分 六年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010全国卷2理）（2）.函数的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
答案 D
【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
2.（2010陕西文）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
答案 C
【解析】本题考查幂的运算性质

3.（2010辽宁文）（10）设，且，则
（A） （B）10 （C）20 （D）100
答案 A
【解析】选A.又
4.（2010全国卷2文）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
(C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)
答案 D
【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴

5.（2010安徽文）（7）设，则a，b，c的大小关系是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
答案 A
【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

6.（2010安徽文）（6）设,二次函数的图像可能是

答案 D
【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
7.（2010浙江文）2.已知函数 若 =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答案 B
【解析】+1=2，故=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
8.（2010山东文）(3)函数的值域为
A. B. C. D.
答案 A
9.（2010北京文）(6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
答案 B

10.（2010北京文）⑷若a,b是非零向量，且，，则函数是
（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数
答案 A
11.（2010四川理）（3）2log510＋log50.25＝
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4

解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案 C
12.（2010天津文）(6)设
(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c
答案 D
【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。
因为
【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。
13.（2010全国卷1文）(7)已知函数.若且，，则的取值范围是
(A) (B)(C) (D)
答案 C
【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=
又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“对勾”函数的性质知函数在(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，，过点时z最小为2,∴(C)
14.（2010四川文）(2)函数y=log2x的图象大致是

(A) (B) (C) (D)
答案 C
解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.
15.（2010安徽理）6、设，二次函数的图象可能是

答案 D
【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
二、填空题
1.（2010上海文）9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 。
答案 (0,-2)
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2
法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2）
三、解答题
1.（2010四川理）（22）（本小题满分14分）
设（且），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，得ax＝＞0
故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
由得

t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]
则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)
列表如下：
x
2
(2,5)
5
(5,6)
6
t'

+
0
-

t
5
↗
极大值32
↘
25
所以t最小值＝5，t最大值＝32
所以t的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分
(2)

＝ln()
＝－ln
令u(z)＝－lnz2－＝－2lnz＋z－，z＞0
则u'(z)＝－＝(1－)2≥0
所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数
又因为＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0
即ln＞0

即………………………………………………………………9分
(3)设a＝，则p≥1，1＜f(1)＝≤3
当n＝1时，|f(1)－1|＝≤2＜4
当n≥2时
设k≥2,k∈N *时，则f(k)＝
＝1＋
所以1＜f(k)≤1＋
从而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1
所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4
综上所述，总有|－n|＜4
2.（2010四川文）（22）（本小题满分14分）
设（且），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时，恒有成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由.

3.（2010湖北理）17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

2009年高考题
1.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 ( )
A． B． C． D．2
答案 A
解析 函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
2.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有
点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
.w 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
3.（2009天津卷文）设，则 ( )
A a<b<c B a<c<b C b<c<a D b<a<c
答案 B
解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到，而，因此选B。
【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能
4.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
5.（2009全国卷Ⅱ理）设，则
A. B. C. D.
答案 A
解析
.
6.（2009湖南卷文）的值为
A． B． C． D．
答案 D
解析 由,易知D正确.
7.（2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数
取函数。当=时，函数的单调递增区间为 ( )
A ． B． C ． D ．
答案 C
解析 函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C.
8.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>
的是
A．= B. =
C .= D.
答案 A
解析 依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
9. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝
，则＝
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
10.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
11.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B. C. D.1
答案 B
解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点
（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.
12.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
答案 C
解析 由题令得，即，又，所以，故选择C。
13.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 ( )
A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0
答案 D
解析 由得由得，所以选D项。
14.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数
的值是 ( )
Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
答案 B
解析 由题得，故选择B。
解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知
，可得．故选B．
15.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
答案 A
解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因 为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
二、填空题
16.（2009江苏卷）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= .
解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由得，；由知，所以4。
17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
答案
解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
18.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ．
答案 2
解法1 由，得，即，于是由，解得
解法2因为，所以
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008年山东文科卷）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是 （ ）

O
y
x
A． B．
C． D．
答案 A
解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
由图易得取特殊点
.
2. (07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值
为 （ ）
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
答案 A
3.（2006年安徽卷）函数的反函数是 （ 　）
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由得：x+1=lny，即x=-1+lny,所以为所求，故选D。
4.（2006年湖北卷）设，则的定义域为 ( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4故选B。
5.(07天津)设均为正数，且，，.
则 （ ）
A. B. C. D.
答案 A
二、填空题
6.（2008年山东文科卷）已知，则
的值等于 ．
答案 2008
解析 本小题主要考查对数函数问题。

7.(07山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为 .
答案 8
8.（2006年辽宁卷）设则__________
答案 .
解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
9.(2006年重庆卷)设，函数有最大值，则不等式的解集为 .
解析 设，函数有最大值，∵有最小值，∴ 0<a<1， 则不等式的解为，解得2<x<3，所以不等式的解集为.
10.（2005年上海2）方程的解是__________.
解析
三、解答题
11.(07上海)已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
解析 （1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设，，
由得，
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，则。
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数。

第二部分 四年联考汇编
2010年联考
题组二（5月份更新）
一、填空题
1. （安徽两地三校国庆联考）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
2．（昆明一中四次月考理）下列四个函数①；②；③；④中，奇函数的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
答案：C
3．（昆明一中二次月考理）已知，则“”是 “”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：A
4．（玉溪一中期中理）已知函数连续，则常数的值是（　　）
Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５
答案：B
5．（玉溪一中期中理）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中m,n均大于0,则的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
答案：C
6.（祥云一中月考理） 函数的反函数的图象经过点，则的值是 （ ）
A． B． C．2 D．4
答案：B
7．（祥云一中三次月考理）函数在内单调递减，则的范围是
A． B. C． D．
答案：C

二、填空题
1. （安徽两地三校国庆联考）函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为 .
答案 8
2．（肥城市第二次联考）某同学在借助计算器求“方程lgx=2－x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8．那么他再取的x的4个值分别依次是 ．
答案 1．5，1．75，1．875，1．8125；
3.（祥云一中二次月考理）函数在上的值域为
答案：
4.（祥云一中二次月考理）已知函数，它的反函数为，则
答案：4
三、解答题
1.(本小题满分14分)
已知R,函数R,为自然对数的底数).
（Ⅰ）当时,求函数的单调递增区间;
（Ⅱ）若函数在上单调递增,求的取值范围;
（Ⅲ）函数是否为R上的单调函数，若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由.
解: (Ⅰ) 当时,, . …1分
令,即, . 解得.
函数的单调递增区间是. …… 4分
(Ⅱ) 函数在上单调递增, 对都成立,
,
对都成立. …… 5分
对都成立, …… 6分
即对都成立.
令,则.在上单调递增.
. . …… 9分
(Ⅲ) 若函数在R上单调递减,则对R都成立,
即对R都成立,
对R都成立.
,即,这是不可能的.
故函数不可能在R上单调递减. …… 11分
若函数在R上单调递增,则对R都成立,
即对R都成立,
对R都成立.
而,
故函数不可能在R上单调递增. …… 13分
综上可知函数不可能是R上的单调函数. …… 14分

题组一（1月份更新）

一、选择题
1.（2009玉溪市民族中学第四次月考）已知函数，则的反函数是 ----------（ ）
A． B．
C． D．
答案 A
2.（2009聊城一模）已知函数上的奇函数，

当x>0时，的大致图象为 （ ）

答案 B
3.（2009番禺一模）已知函数 若，则（ ）
A． B． C．或 D．1或
答案 C
4.（2009临沂一模）已知函数f(x)=，若x0是方程f(x)=0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为
A．恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0
答案 A
5.（2009玉溪一中期末）若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是
A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数
答案 B
6.（2009临沂一模）设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f(2x)=f()的所有x之和为
A、 B、 C、－8 D、8
答案 C
7.（2009云南师大附中）若函数
A. B. C. D.
答案 B
8.（2009青岛一模）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
答案 D
9.（2009日照一模）（6）函数的零点一定位于区间
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
答案 A
10.（2009日照一模）（函数的图象如右图所示，则函数的图象大致是

答案 C
11.（2009泰安一模）已知函数y=f(x)与互为反函数，函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a值为
（A）-e (B) (C) (D) e
答案 C
12.（2009江门一模）函数的定义域是
A. B. C. D.
答案 C
13.（2009枣庄一模）已知则关于右图中函数图象的表述正确的是 （ ）
A．是的图象
B．是的图象
C．是的图象
D．以上说法都不对
答案 D
14.（2009枣庄一模）设函数 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
答案 C
15.（2009深圳一模）若函数的图象如右图，其中为常数．则函数的大致图象是

A． B． C． D．
答案 D

二、填空题
1.（2009青岛一模）定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.
答案 1
2.（2009冠龙高级中学3月月考）已知函数，若，则实数的取值范围是 。
答案
3.（2009闵行三中模拟）若函数的值域是，则函数的值域是
答案
4.（2009上海普陀区）已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 .
答案 2
5.（2009上海十校联考）已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．
答案
6.（2009上海卢湾区4月模考）（2009上海卢湾区4月模考）设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 ．
答案
7.（2009宣威六中第一次月考）已知函数，则函数f(x)的最小值是
答案 0
三、解答题
1、（2009聊城一模）已知函数在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间[－2，2]上为减函数，求实数m的取值范围。
解：（1）
[
]
[
]
.
1
2
)
(
.
3
4
,
2
2
3
)
1
(
),
1
(
)
1
(
,
2
3
2
)
1
(
,
2
3
)
1
(
,
1
)
0
(
.
1
,
0
,
0
,
1
)
(
,
1
,
,
0
,
0
)
(
'
2
3
2
1
上为减函数
在
上为增函数
在
得
令
Q

Q
+
-
=
\
=
-
=
-
=
-
\
<
-
\
-
=
-
=
-
=
=
\
-
\
>
=
=
=
x
x
x
f
a
a
f
f
f
a
f
a
f
b
f
x
f
a
a
x
x
x
f

（2）

由，
知
， 即

2、（2009昆明市期末）已知函数，若x=0，函数f(x)取得极值
（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；
（Ⅱ）已知证明：.
解：（Ⅰ）
由 x=0是极值点，故,得
故 m=1.
故
当 -1＜x＜0时，函数在（-1，0）内是减函数；
当 x＞0时，函数f(x)在（0，+∞）内是增函数。
所以x=0时，f(0)=0，则函数f(x)取得最小值为0.·························6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)≥0，故ex-1≥ln(x+1)。
∵①··············8分
又
=
故 ················································10分
故 ②
由①②得 ···········································12分
3、（2009临沂一模）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
（I） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;
（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;
（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即
记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.
求得
当时;;当时，
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故.
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则
当时，,当时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。
故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)
（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。
若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为(,+∞)
单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)
故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。
4、（2009东莞一模）已知，，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；
（3）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
解：（1）当.…（1分）
……（3分）
∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，.
……（4分）
（2）切线的斜率为，
∴ 切线方程为.……（6分）
所求封闭图形面积为
.
……（8分）
（3）， ……（9分）
令. ……（10分）
列表如下：
x
(－∞，0)
0
（0，2－a）
2－a
(2－a，+ ∞)

－
0
+
0
－

↘
极小
↗
极大
↘
由表可知，. ……（12分）
设，
∴上是增函数，……（13分）
∴ ，即，
∴不存在实数a，使极大值为3. ……（14）
5、（2009茂名一模）已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）， ……1分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 ……3分 ∴的极小值为 ……4分
（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1， ∴ ，……5分
令，， ……6分
当时，，在上单调递增 ……7分
∴ ∴在（1）的条件下，……9分
（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3， …9分
① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，
此时无最小值. ……10分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件. ……11分
③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.
6、（2009昆明一中第三次模拟）已知
（1） 若函数是上的增函数，求的取值范围；
（2） 若，求的单调增区间
解：（Ⅰ），
是上的增函数，故在上恒成立，
即在上恒成立
的最小值为，故知a的取值范围是
（2）由，得，
①当时，，即函数在上单调递增；
时，由判别式可知
②当时，有，
即函数在上单调递增;
③当时，有或，
即函数在上单调递增
7、 解: (1) ,两边加得: ,
是以2为公比, 为首项的等比数列. ……①
由两边减得: 是以
为公比, 为首项的等比数列. ……②
①-②得: 所以,所求通项为…………5分
(2) 当为偶数时,

当为奇数时,,,又为偶数
由(1)知, ……………………10分
（3）证明：

又 ……12分
…………14分
8、（2009深圳一模）已知函数（，）．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ） ………………… 2分
，
由，得．
，，．
又．
函数的单调递增区间为,递减区间为． ………… 6分
（Ⅱ）【法一】不等式，即为．……………（※）
令，当时，．
则不等式（※）即为． …………………9分
令，，
在的表达式中，当时，，
又时，，
在单调递增，在单调递减．
在时，取得最大，最大值为． …………………12分
因此，对一切正整数，当时，取得最大值．
实数的取值范围是． ………………………… 14分
【法二】不等式，即为．………………（※）
设，
，
令，得或． ………………………… 10分
当时，，当时，．
当时，取得最大值．
因此，实数的取值范围是． ………………………… 14分
9、（2009湛江一模）已知函数.（）
（Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，；………………2分
对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，…………3分
∴，.……………………………5分
（Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）.
……………………………………………6分
在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立.
∵
① 若，令，得极值点，，………………8分
当，即时，在（，+∞)上有，
此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈(，+∞)，不合题意；………………………………………9分
当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有
∈(，+∞)，也不合题意；………………………………………10分
② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，
从而在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………12分
要使在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得的范围是[，].
综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方.
………………………………………………14分

2009年联考题
一、选择题
1.(2009年4月北京海淀区高三一模文)函数的反函数的图象
是 （ ）

答案 A
2. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)下列函数中，在区间上为增函数的
是 （ ）
A． B．
C． D．
答案 B
3.（2009福建省）函数的图象大致是 ( )

答案 C
4.（2009厦门集美中学）若在上是减函数,则的取值范围
是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
5.（2009岳阳一中第四次月考）函数的图象大致是 ( )

答案 D
二、填空题
6.（2009泉州市）已知函数f(x)=若f(a)=