资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ）．
A．-1 B．2 C．-1或2 D．-1或2或1
2．如图，AB为的直径，点C在上，若AB=4，，则O到AC的距离为( )
A．1 B．2 C． D．
3．某药品原价每盒28元，为响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率是x，由题意，所列方程正确的是( )
A．28(1－2x)＝16 B．16(1+2x)＝28 C．28(1－x)2＝16 D．16(1+x)2＝28
4．对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是 B．图象开口向上
C．图象关于直线对称 D．图象最大值为﹣9
5．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是（ ）
A．24 B．25 C．30 D．36
6．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某商品先涨价后降价，销售单价由原来元最后调整到元，涨价和降价的百分率都为．根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（、、在同一条直线上）（ ）
A． B． C． D．
10．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是
A． B． C． D．
11．如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知M(1，2)，则M关于原点的对称点N落在（ ）
A．的图象上 B．的图象上 C．的图象上 D．的图象上
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，是的直径，点在上，且，垂足为，，，则__________．
14．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为_____．(用百分数表示)
15．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共______人.
16．在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验和发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是____________.
17．如图，△ABC内接于圆，点D在弧BC上，记∠BAC-∠BCD=α，则图中等于α的角是_______
18．掷一枚硬币三次，正面都朝上的概率是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．
他们在一次实验中共掷骰子次，试验的结果如下：
朝上的点数
出现的次数
①填空：此次实验中“点朝上”的频率为________；
②小红说：“根据实验，出现点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？
小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）请判断是否可为此方程的根，说明理由．
（2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：x2+3x—4=0.
22．（10分）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：1.73，结果精确到0.01米）
23．（10分）某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x(元)(x＞50)，每周获得的利润为y(元)．
(1)求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润最大？最大值是多少？
24．（10分）先化简，再求值:，其中.
25．（12分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于A点，点C是⊙O上的一点，且PC=PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AB=4，求PC的长．
26．如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上的一个动点(不与点B． C重合)，连结AE，并作EF⊥AE，交CD边于点F，连结AF.设BE=x，CF=y.
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）当x为何值时，y的值为2；
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】当a-1＝0，即a＝1时，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当a﹣1≠0时，利用判别式的意义得到，再求解关于a的方程即可得到答案．
【详解】当a﹣1＝0，即a＝1，函数为一次函数y＝-4x+2，它与x轴有一个交点；
当a﹣1≠0时，根据题意得
解得a＝-1或a＝2
综上所述，a的值为-1或2或1．
故选：D．
【点睛】
本题考察了一次函数、二次函数图像、一元二次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的性质，从而完成求解．
2、C
【分析】连接OC，BC,过点O作OD⊥AC于D，可得OD//BC，利用平行线段成比例可知 和AD=，利用勾股定理，可得，列出方程
， 即可求出OD的长.
【详解】解：连接OC，BC,过点O作OD⊥AC于D，
∴∠ADO=90°，
∵AB为的直径，AB=4，，
∴∠ACB=90°，OA=OC=，
∴OD//BC，
∴，
∴AD=，
在中，，
∴，
解得OD=；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了平行线段成比例，勾股定理，掌握平行线段成比例，勾股定理是解题的关键.
3、C
【解析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝1，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为28×（1﹣x）元，
两次连续降价后的售价是在第一次降价后的价格的基础上降低x，为28×（1﹣x）×（﹣x）元，
则列出的方程是28（1﹣x）2＝1．
故选：C．
4、D
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：A．∵函数y=(x+2)2-9，
∴该函数图象的顶点坐标是（-2，-9），故选项A正确；
B．a=1＞0，该函数图象开口向上，故选项B正确；
C． ∵函数y=(x+2)2-9，∴该函数图象关于直线x=-2对称，故选项C正确；
D．当x=-2时，该函数取得最小值y=-9，故选项D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5、C
【分析】根据题意及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AB=2CE=12再根据三角形面积公式，即△ABC面积=AB×CD=30.故选C.
【详解】解：∵CE是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CE＝2×6＝12，
∴S△ABC＝×CD×AB＝×5×12＝30，
故选：C．
【点睛】
本题的考点是直角三角形斜边上的中线性质及三角形面积公式.方法是根据题意求出三角形面积公式中的底，再根据面积公式即可得出答案.
6、B
【解析】试题解析：列表如下：
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．
7、D
【解析】一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案.
【详解】根据题意 ：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为==.
故答案为D
【点睛】
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
8、A
【分析】涨价和降价的百分率都为，根据增长率的定义即可列出方程．
【详解】涨价和降价的百分率都为．根据题意可列方程
故选A．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程．
9、B
【分析】先通过等量代换得出，然后利用余弦的定义即可得出结论．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，掌握余弦的定义是解题的关键．
10、D
【解析】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）．因此，所得到的抛物线是．故选D．
11、C
【分析】根据题意，连接OC，通过垂径定理及勾股定理求半径即可.
【详解】如下图，连接OC，
∵，，
∴CE=4，
∵，，
∴，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了圆半径的求法，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键.
12、A
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数得出N的坐标，再根据各函数关系式进行判断即可．
【详解】点M（1，2）关于原点对称的点N的坐标是（-1，-2），
∴当x=-1时，对于选项A，y=2×(-1)=-2，满足条件，故选项A正确；
对于选项B，y=(-1)2=1≠-2故选项B错误；
对于选项C，y=2×(-1)2=2≠-2故选项C错误；
对于选项 D，y=-1+2=1≠-2故选项D错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，以及函数图象上点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、2
【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求得答案．
【详解】连接OC，如图，
∵CD=4，OD=3，，
在Rt△ODC中，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14、40%
【解析】设该地区居民年人均收入平均增长率为，根据到2018年人均年收入达到39200元列方程求解即可.
【详解】设该地区居民年人均收入平均增长率为，
，
解得，，(舍去)，
∴该地区居民年人均收入平均增长率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
15、1
【解析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=72，把相关数值代入计算即可．
【详解】设这小组有x人．由题意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=1，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有1人．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解答本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．
16、1
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，=0.2，
解得，a=1．
故估计a大约有1个．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
17、∠DAC
【分析】由于∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，故∠BAD=∠BCD，故∠BAC-∠BCD=∠BAC-∠BAD，即可得出答案.
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAC-∠BCD=∠BAC-∠BAD=∠DAC，
∵∠BAC-∠BCD=α
∴∠DAC=α
故答案为：∠DAC.
【点睛】
本题考查了圆周角的性质，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键.
18、
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式，即可求解.
【详解】画树状图如下：
∵掷一枚硬币三次，共有8种可能，正面都朝上只有1种，
∴正面都朝上的概率是：.
故答案是：
【点睛】
本题主要考查求简单事件的概率，画出树状图，是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）①；②说法是错误的．理由见解析；(2)．
【解析】（1）①让5出现的次数除以总次数即为所求的频率；②根据概率的意义，需要大量实验才行；
（2）列举出所有情况，比较两枚骰子朝上的点数之和的情况数，进而让最多的情况数除以所有情况数的即可．
【详解】解：①；
②说法是错误的．在这次试验中，“点朝上”的频率最大并不能说明“点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当试验的次数较大时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．
由表格可以看出，总情况数有种，之和为的情况数最多，为种，
所以（点数之和为）．
【点睛】
考查用列表格的方法解决概率问题及概率的意义;用到的知识点为:概率是大量实验下一个稳定的值;数学中概率等于所求情况数与总情况数之比.
20、（1）不是此方程的根，理由见解析；（2）存在，或
【分析】（1）将代入一元二次方程中，得到一个关于p的一元二次方程，然后用根的判别式验证关于p的一元二次方程是否存在实数根即可得出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，然后代入到中，解一元二次方程，若有解，则存在这样的p,反之则不存在．
【详解】（1）若是方程的根，
则．
，
∴不是此方程的根．
（2）存在实数，使得成立．
∵,且．
∴即．
∴
∴存在实数，当或时，成立
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
21、（1）；（2）或.
【分析】（1）利用零负指数幂法则计算以及利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）利用因式分解法求出解即可．
【详解】（1）=；
2）解：x2+3x—4=0
解得或.
【点睛】
本题考查实数的运算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22、（1）3.9米；（2）货车能安全通过．
【解析】(1)过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，在Rt△OMN中，求出ON的长，即可求得BN的长，即可求得点M到地面的距离；
(2)左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．
【详解】(1)如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，
∴ONOM＝0.6，
∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9，
即点M到地面的距离是3.9米；
(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，
∵∠GOP＝30°，∴tan30°，
∴GPOP0.404，
∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，
∴货车能安全通过．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
23、（1）2210；（2）y＝﹣10x2+1100x﹣28000；（3）包邮单价定为55元时，每周获得的利润最大，最大值是1元．
【分析】（1）根据利润=每件的利润×销售量即可．
（2）根据利润=每件的利润×销售量即可．
（3）根据（2）中关系式，将它化为顶点式即可．
【详解】（1）（53﹣35﹣5）×[200﹣（53﹣50）×10]＝13×170＝2210（元）．
答：每周获得的利润为2210元；
（2）由题意，y＝（x﹣35﹣5）[200﹣10（x﹣50）]
即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x2+1100x﹣28000；
（3）∵y＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+1．
∵﹣10＜0，∴包邮单价定为55元时，每周获得的利润最大，最大值是1元．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的应用，将实际问题转化为数学模型求解，注意配方法求二次函数最值的应用
24、原式=.
【分析】先把分式进行化简，得到最简代数式，然后根据特殊角的三角函数值，求出x的值，把x代入计算，即可得到答案.
【详解】解：原式
；
当时，
原式.
【点睛】
本题考查了特殊值的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行运算.
25、（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据切线的性质得到∠PAB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA，求得PC⊥CO，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，先根据△ACB是等腰直角三角形，得到AC和，从而推出△PAC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到PC的值．
【详解】（1）连接CO，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PC=PA，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠OAC=∠PAB=90°，
∴PC⊥CO，
∵OC是半径
∴PC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
为⊙O直径，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
26、（1）见解析；（2）x的值为2或1时，y的值为2
【分析】（1）①先判断出∠BAE＝∠CEF，即可得出结论；
（2）利用的相似三角形得出比例式即可建立x，y的关系式，代入即可；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°＝∠B．
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，
∠FEC＋∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
又∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECF．
②∵△ABE∽△ECF．
∴，
∵AB＝1，BC＝8，BE＝x，CF＝y，EC＝8−x，
∴．
∴y＝−x2＋x．
∵y＝2，−x2＋x＝2，
解得 x1＝2，x2＝1．
∵0＜x＜8，
∴x的值为2或1．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
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