非齐次核最佳半离散Hilbert型逆向不等式的等价条件及算子表示.pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 3 7 8非齐次核最佳半离散H i l b e r t型逆向不等式的等价条件及算子表示洪 勇1,张丽娟1,孔荫莹2,李 真2(1.广州华商学院 应用数学系,广州5 1 1 3 0 0;2.广东财经大学 统计与数学学院,广州5 1 0 3 2 0)摘要:首先,利用权函数方法讨论非齐次核K(n,x)=G(n1x2)(120)的半离散H i l b e r t型逆向不等式,给出最佳半离散H i l b e r t型逆向不等式的等价条件及各参数间的关系;其次,作为应用给出等价的算子表示及若干特例.关键词:非齐次核;半离散H i l b e r t型逆向不等式;最佳常数因子;算子表示;B e t a函数中图分类号:O 1 7 8 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 8 2 3-0 8E q u i v a l e n tC o n d i t i o n sa n dO p e r a t o rE x p r e s s i o n s f o rt h eB e s tH a l f-D i s c r e t eH i l b e r t-T y p e I n v e r s eI n e q u a l i t yw i t hN o n-h o m o g e n e o u sK e r n e lHONGY o n g1,Z HANGL i j u a n1,KONGY i n y i n g2,L IZ h e n2(1.D e p a r t m e n t o fA p p l i e dM a t h e m a t i c s,G u a n g z h o uH u a s h a n gC o l l e g e,G u a n g z h o u5 1 1 3 0 0,C h i n a;2.C o l l e g e o fS t a t i s t i c sa n dM a t h e m a t i c s,G u a n g d o n gU n i v e r s i t yo fF i n a n c ea n dE c o n o m i c s,G u a n g z h o u5 1 0 3 2 0,C h i n a)A b s t r a c t:F i r s t l y,b yu s i n gt h ep o w e rf u n c t i o n m e t h o d,w ed i s c u s s e dt h eh a l f-d i s c r e t eH i l b e r t-t y p ei n v e r s e i n e q u a l i t yw i t hn o n-h o m o g e n e o u sk e r n e lK(n,x)=G(n1x2)(120),g a v e e q u i v a l e n t c o n d i t i o n s f o r t h eb e s t h a l f-d i s c r e t eH i l b e r t-t y p e i n v e r s e i n e q u a l i t ya n d t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ep a r a m e t e r s.S e c o n d l y,a s a na p p l i c a t i o n,w eg a v e t h e e q u i v a l e n t o p e r a t o r e x p r e s s i o n s a n ds o m es p e c i a l c a s e s.K e y w o r d s:n o n-h o m o g e n e o u sk e r n e l;h a l f-d i s c r e t eH i l b e r t-t y p e i n v e r s ei n e q u a l i t y;t h eb e s tc o n s t a n tf a c t o r;o p e r a t o re x p r e s s i o n;B e t a f u n c t i o n收稿日期:2 0 2 2-0 9-2 6.第一作者简介:洪 勇(1 9 5 9),男,汉族,硕士,教授,从事调和分析及解析不等式的研究,E-m a i l:h o n g y o n g g d c c y e a h.n e t.基金项目:广东省基础与应用基础研究基金(批准号:2 0 2 2 A 1 5 1 5 0 1 2 4 2 9)、广州华商学院科研团队项目(批准号:2 0 2 1 H S K T 0 3)和广东省教育科学规划项目(批准号:2 0 2 1 G X J K 2 0 1).1 引言与预备知识设r0,N=1,2,定义加权H i l b e r t序列空间和加权L e b e s g u e空间分别为lr(N)=a=an:ar,=n=1nan()r1/r+,Lr(0,+)=f(x):fr,=+0 xf(x)rd()x1/r0,则K(t n,x)=K(n,t1/2x),K(n,t x)=K(t2/1n,x).特别地,K(t,1)=K(1,t1/2),K(1,t)=K(t2/1,1).本文讨论这类非齐次核的半离散H i l b e r t型逆向不等式,给出最佳搭配参数的等价条件并讨论其算子表达式.引入记号:W1(s)=+0K(1,t)tsdt,W2(s)=+0K(t,1)tsdt,A(K,a,f)=+0n=1K(n,x)anf(x)dx,其中a=an.引理1 设1p+1q=1(0p1,q0),an0,f(x)0,(n,x)0,则有半离散H l d e r逆向不等式:+0n=1anf(x)(n,x)dx=n=1+0anf(x)(n,x)dx+0n=1apn(n,x)d()x1/p+0n=1fq(x)(n,x)d()x1/q,(3)当且仅当an=C1(常数),f(x)=C2(常数)时,式(3)取等号.证明:根据离散H l d e r逆向不等式,有n=1an(n,x)n=1apn(n,x()1/pn=1(n,x()1/q,(4)当且仅当an=C1(常数)时,式(4)取等号.又根据式(4)和积分H l d e r逆向不等式,有+0n=1anf(x)(n,x)dx=+0f(x)n=1an(n,x)dx+0n=1apn(n,x()1/pf(x)n=1(n,x()1/qdx428 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷+0n=1apn(n,x)d()x1/p+0n=1fq(x)(n,x)d()x1/q,(5)当且仅当存在常数C使n=1apn(n,x)=C fq(x)n=1(n,x)时,式(5)取等号.由式(4)和式(5)取等号的条件易知,当且仅当存在an=C1(常数),f(x)=C2(常数)时,式(3)取等号.引理2 设1p+1q=1(0p1,q0,a,b,K(n,x)=G(n1x2)0,K(t,1)t-a q在(0,+)上递减,则1(b,p,n)=+0K(n,x)x-b pdx=n(1/2)(b p-1)W1(-b p),2(a,q,x)=n=1K(n,x)n-a qx(2/1)(a q-1)W2(-a q).若11(a q-1)=12(b p-1),则11W1(-b p)=12W2(-a q).证明:根据K(n,x)的性质,有1(b,p,n)=+0K(1,n1/2x)x-b pdx=n(1/2)b p+0K(1,t)(n1/2t)-b pdt=n(1/2)(b p-1)+0K(1,t)t-b pdt=n(1/2)(b p-1)W1(-b p).因为K(t,1)t-a q在(0,+)上递减,故2(a,q,x)=x(2/1)a qn=1K(x2/1n,1)(x2/1n)-a qx(2/1)a q+0K(x2/1u,1)(x2/1u)-a qdu=x(2/1)a q-2/1+0K(t,1)t-a qdt=x(2/1)(a q-1)W2(-a q).若11(a q-1)=12(b p-1),则有-12(b p-1)-1=-a q,从而W1(-b p)=+0K(1,t)t-b pdt=+0K(t2/1,1)t-b pdt=12+0K(u,1)u-(1/2)(b p-1)-1du=12+0K(t,1)t-a qdt=12W2(-a q),故11W1(-b p)=12W2(-a q).2 最佳搭配参数的等价条件定理1 设1p+1q=1(0p1,q0,a,b,11(a q-1)-12(b p-1)=c,K(n,x)=G(n1x2)0,K(t,1)t-a q和K(t,1)t-a q+1c/p均在(0,+)上递减,W1(-b p)+,W2(-a q)0,使得W2(-a q-)0,q0,使得M0W011/q21/p,A(K,a,f)M0ap,a p q-1fq,b p q-1.取充分小的0及足够大的Y0,令an=n(-a p q-1)/p,n=1,2,f(x)=x(-b p q+2)/q,0Y,则有ap,a p q-1fq,b p q-1=n=1n-1-1()1/pY0 x-1+2d()x1/q+1t-1-1d()t1/p12Y21/q=111/p21/qY1/q 2.根据K(t,1)t-a q在(0,+)上的递减性及11(a q-1)=12(b p-1),有A(K,a,f)=Y0 x-b p+2/qn=1K(n,x)n-a q-1/()pdx=Y0 x-b p+2/q+(2/1)(a q+1/p)n=1K(x2/1n,1)(x2/1n)-a q-1/()pdxY0 x-b p+2/q+(2/1)(a q+1/p)-2/1+0K(t,1)t-a q-1/pd()tdx=Y0 x-1+2dxW2-a q-1p=12Y2W2-a q-1p.于是得12Y2W2-a q-1pM0111/p21/qY(1/q)2,从而M0121/pY(1/p)2W2-a q-1p.(8)628 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 因为充分小,故1p,从而W2-a q-1p=+0K(t,1)t-a q-1/pdt=01K(t,1)t-a q-1/pdt+1K(t,1)t-a q-1/pdt10K(t,1)t-a q-dt+1K(t,1)t-a qdtW1(-a q-)+W2(-a q)W011/q21/p矛盾,故式(7)的常数因子是最佳的.反之,设W1/p1(-b p)W1/q2(-a q)是式(6)的最佳常数因子,记a=a-1cp q,b=b+2cp q,则有11(a q-1)=12(b p-1),=a p q-1,=b p q-1,且W2(-a q)=+0K(t,1)t-a qdt=+0K(1,t1/2)t-a qdt=21+0K(1,u)u-(2/1)a q+2/1-1du=21+0K(1,t)t-b p-2cdt=21W1(-b p-2c),于是式(6)等价于A(K,a,f)W1/p1(-b p)W1/q2(-a q)ap,a p q-1fq,b p q-1=211/qW1/p1(-b p)W1/q1(-b p-2c)ap,a p q-1fq,b p q-1.(9)因为式(6)的常数因子最佳,故式(9)的最佳常数因子为211/qW1/p1(-b p)W1/q1(-b p-2c).又因为11(a q-1)=12(b p-1),K(t,1)t-a q=K(t,1)t-a q+1c/p在(0,+)上递减,故由1)可得A(K,a,f)111/q21/p(2W1(-b p)ap,a p q-1fq,b p q-1.(1 0)因为式(9)的常数因子是最佳的,故对比式(1 0)与式(9),可知111/q21/p(1W2(-a q)=111/q21/p(2W1(-b p)W1/p1(-b p)W1/q2(-a q)+,从而W1(-b p)+,W2(-a q)+.根据前面充分性的证明,可知式(9)的最佳常数因子应为111/q21/p(2W1(-b p)=211/qW1-b p-2cq,于是得W1-b p-2cq=W1/p1(-b p)W1/q1(-b p-2c).(1 1)根据逆向H l d e r积分不等式,有W1-b p-2cq=+0K(1,t)t-b p-2c/qdt=+01t-2c/qK(1,t)t-b pdt+0K(1,t)t-b pd()t1/p+0t-2cK(1,t)t-b pd()t1/q=W1/p1(-b p)W1/q1(-b p-2c),(1 2)由式(1 1)知式(1 2)取等号,再根据逆向H l d e r不等式取等号的条件,可得t-2c=常数,故c=0,即728 第4期 洪 勇,等:非齐次核最佳半离散H i l b e r t型逆向不等式的等价条件及算子表示 11(a q-1)=12(b p-1).3 算子表达式设1p+1q=1(0p1,q0),K(n,x)0,定义以K(n,x)为核的序列算子T1和积分算子T2分别为T1(a)(x)=n=1K(n,x)an,T2(f)n=+0K(n,x)f(x)dx.(1 3)根据H i l b e r t型不等式的基本理论,半离散H i l b e r t型逆向不等式(2)等价于算子不等式:T1(a)p,(1-p)Map,T2(f)q,(1-q)Mfq,.根据定理1,可得关于算子T1和T2的下列结果.定理2 设1p+1q=1(0p1,q0,a,b,11(a q-1)-12(b p-1)=c,K(n,x)=G(n1x2)0,K(t,1)t-a q和K(t,1)t-a q+1c/p在(0,+)上 递 减,W1(-b p)+,W2(-a q)0,使得W2(-a q-)+,序列算子T1和积分算子T2由式(1 3)定义.1)记=1pa1+b2-12,=2qa1+b2-11,则有算子不等式:T1(a)p,(1-p)W1/p1(-b p)W1/q2(-a q)ap,(1 4)T2(f)q,(1-q)W1/p1(-b p)W1/q2(-a q)fq,(1 5)其中a=anlp(N),f(x)Lq(0,+).当11(a q-1)=12(b p-1)时,式(1 4)和式(1 5)可化为T1(a)p,(b p q-1)(1-p)W011/q21/pap,a p q-1,T2(f)p,(a p q-1)(1-q)W011/q21/pfq,b p q-1,其中W0=2W1(-b p)=1W2(-a q).2)当且仅当11(a q-1)=12(b p-1)时,W1/p1(-b p)W1/q2(-a q)是式(1 4)和式(1 5)的最佳常数因子,即T1*=i n fT1(a)p,(1-p)ap,:a=anlp(N),ap,0=W1/p1(-b p)W1/q2(-a q),T2*=i n fT2(f)q,(1-q)fq,:f(x)Lq(0,+),fq,0=W1/p1(-b p)W1/q2(-a q).当11(a q-1)=12(b p-1)时,T1*=T2*=W011/q21/p.推论1 设1p+1q=1(0p1,q112,算子T1和T2分别为T1(a)(x)=n=1an(n1x2+1),x(0,+),T2(f)n=+0f(x)(n1x2+1)dx,n=1,2,则有算子不等式:T1(a)p,p/1-111/q11/p2B112,-112ap,p(1/q-1/2),(1 6)T2(f)q,q/2-111/q11/p2B112,-112fq,q(1/p-1/1),(1 7)828 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 其中式(1 6),(1 7)的常数因子11/q11/p2B112,-112都是最佳值.证明:选取搭配参数a=1q1-12,b=1p1-11,则a p q-1=p1q-12,b p q-1=q1p-11,(b p q-1)(1-p)=p1-1,(a p q-1)(1-q)=q2-1,且11(a q-1)-12(b p-1)=-112+112=0.令K(n,x)=1(n1x2+1),则h(t)=K(t,1)t-a q=1(t1+1)t1/2-1.因为11,21,112,故当t0时,有h(t)=1(n1x2+1)2t1/2-2(t1+1)-112-1-1t1+12-1 0,从而K(t,1)t-a q在(0,+)上递减.取=122,则有W2(-a q-)=W2122-1=+0K(t,1)t1/(22)-1dt=+01(t1+1)t1/(22)-1dt=11+01(u+1)u1/(212)-1du=11B1212,-1212+,W1(-b p)=W11-1=+0K(1,t)t1/1-1dt=+01(t2+1)t1/1-1dt=12+01(1+u)u1/(12)-1du=12B112,-112+.同理可得W2(-a q)=11B112,-112+,故W0=2W1(-b p)=1W2(-a q)=B112,-112.根据定理2知结论成立.参考文献1 HA R D YG H,L E T T L EWOO DJE,P L YA G.I n e q u a l i t i e sM.C a m b r i d g e:C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r e s s,1 9 5 2:2 5 5-2 8 4.2 洪勇.关于 零 阶 齐 次 核 的H a r d y-H i l b e r t型 不 等 式 J.浙 江 大 学 学 报(理 学 版),2 0 1 3,4 0(1):1 5-1 8.(HONGY.O nH a r d y-H i l b e r tT y p eI n t e g r a l I n e q u a l i t yw i t hH o m o g e n e o u sK e r n e lo f0-D e g r e eJ.J o u r n a lo fZ h e j i a n gU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2 0 1 3,4 0(1):1 5-1 8.)3 洪勇,孔荫莹.含变量可转移函数核的H i l b e r t型级数不等式 J.数学物理学报,2 0 1 4,3 4 A(3):7 0 8-7 1 5.(HONG Y,KONG Y Y.A H i l b e r tT y p eS e r i e sI n e q u a l i t y w i t h T r a n s f e r a b l e V a r i a b l e K e r n e lJ.A c t aM a t h e m a t i c aS c i e n t i a,2 0 1 4,3 4 A(3):7 0 8-7 1 5.)4 杨必成.一个推广的具有最佳常数的H a r d y-H i l b e r t积分不等式 J.数学年刊A辑(中文版),2 0 0 0,2 1 A(4):4 0 1-4 0 8.(YAN GBC.AG e n e r a l i z e dH a r d y-H i l b e r t-T y p e I n t e g r a l I n e q u a l i t yw i t ht h eB e s tC o n s t a n tF a c t o rJ.C h i n e s eA n n a l so fM a t h e m a t i c s,2 0 0 0,2 1 A(4):4 0 1-4 0 8.)5 R A S S I A SM T,YAN GBC.O naH i l b e r t-T y p eI n t e g r a l I n e q u a l i t yi nt h eW h o l eP l a n eR e l a t e dt ot h eE x t e n d e dR i e m a n nZ e t aF u n c t i o nJ.C o m p l e xA n a l y s i sa n dO p e r a t o rT h e o r y,2 0 1 9,1 3(4):1 7 6 5-1 7 8 2.6 匡继昌.常用 不 等 式 M.5版.济 南:山 东 科 学 技 术 出 版 社,2 0 2 1:7 4 4-7 7 2.(KUAN GJC.A p p l i e dI n e q u a l i t i e sM.5 t he d.J i n a n:S h a n d o n gS c i e n c ea n dT e c h n o l o g yP r e s s,2 0 2 1:7 4 4-7 7 2.)7 洪勇.一类具有准齐次核的涉及多个函数的H i l b e r t型积分不等式 J.数学学报(中文版),2 0 1 4,5 7(5):928 第4期 洪 勇,等:非齐次核最佳半离散H i l b e r t型逆向不等式的等价条件及算子表示 8 3 3-8 4 0.(HON GY.A H i l b e r t-T y p eI n t e g r a l I n e q u a l i t yw i t hQ u a s i-h o m o g e n e o u sK e r n e la n dS e v e r a lF u n c t i o n sJ.A c t aM a t h e m a t i c aS i n i c a(C h i n e s eS e r i e s),2 0 1 4,5 7(5):8 3 3-8 4 0.)8 YANGBC.O na nE x t e n s i o no fH i l b e r ts I n t e g r a l I n e q u a l i t yw i t hS o m eP a r a m e t e r sJ.T h eA u s t r a l i a nJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,2 0 0 4,1(1):1 1-1-1 1-8.9 高明哲.H a r d y-R i e s z拓广 了 的H i l b e r t不 等 式 的 一 个 改 进 J.数 学 研 究 与 评 论,1 9 9 4,1 4(2):2 5 5-2 5 9.(G AO MZ.A nI m p r o v e m e n to fH a r d y-R i e s zsE x t e n s i o no f t h eH i l b e r t I n e q u a l i t yJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lR e s e a r c ha n dE x p o s i t i o n,1 9 9 4,1 4(2):2 5 5-2 5 9.)1 0 KUAN GJC.O nN e w E x t e n s i o n so fH i l b e r tsI n t e g r a lI n e q u a l i t yJ.J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,1 9 9 9,2 3 5(2):6 0 8-6 1 4.1 1 L IYJ,HEB.O nI n e q u a l i t i e so fH i l b e r tsT y p eJ.B u l l e t i no ft h eA u s t r a l i a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2 0 0 7,7 6(1):1-1 3.1 2 K R N I CM,P ECA R I CJE.H i l b e r ts I n e q u a l i t i e sa n dT h e i rR e v e r s e sJ.P u b l i c a t i o n e sM a t h e m a t i c a eD e b r e c e n,2 0 0 5,6 7(3/4):3 1 5-3 3 1.1 3 R A S S I A SM TH,YAN GBC,R A I GO R O D S K I IA.O naM o r eA c c u r a t eR e v e r s eH i l b e r t-T y p e I n e q u a l i t y i nt h eW h o l eP l a n eJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a l I n e q u a l i t i e s,2 0 2 0,1 4(4):1 3 5 9-1 3 7 4.1 4 洪勇,温雅敏.齐次核的H i l b e r t型级数不等式取最佳常数因子的充要条件 J.数学年刊A辑(中文版),2 0 1 6,3 7 A(3):3 2 9-3 3 6.(HON G Y,WE N Y M.A N e c e s s a r ya n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o n so ft h a tH i l b e r tT y p eS e r i e sI n e q u a l i t yw i t hH o m o g e n e o u sK e r n e lH a st h eB e s tC o n s t a n tF a c t o rJ.C h i n e s eA n n a l so fM a t h e m a t i c s,2 0 1 6,3 7 A(3):3 2 9-3 3 6.)1 5 洪勇,吴春阳,陈强.一类非齐次核的最佳H i l b e r t型积分不等式的搭配参数条件 J.吉林大学学报(理学版),2 0 2 1,5 9(2):2 0 7-2 1 2.(HON G Y,WUCY,CHE N Q.M a t c h i n gP a r a m e t e rC o n d i t i o n sf o rt h eB e s tH i l b e r t-T y p eI n t e g r a lI n e q u a l i t y w i t haC l a s so fN o n-h o m o g e n e o u sK e r n e l sJ.J o u r n a lo fJ i l i n U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2 0 2 1,5 9(2):2 0 7-2 1 2.)1 6 杨必成,陈强.一类非齐次核逆向的H a r d y型积分不等式成立的条件 J.吉林大学学报(理学版),2 0 1 7,5 5(4):8 0 4-8 0 8.(YANGBC,CHE N Q.E q u i a l e n tC o n d i t i o n so fE x i s t e n c eo faC l a s so fR e v e r s eH a r d y-T y p eI n t e g r a l I n e q u a l i t i e sw i t h N o n-h o m o g e n e o u sK e r n e lJ.J o u r n a lo fJ i l i n U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2 0 1 7,5 5(4):8 0 4-8 0 8.)1 7 HEB,HON G Y,L IZ.C o n d i t i o n sf o rt h e V a l i d i t yo faC l a s so fO p t i m a lH i l b e r tT y p e M u l t i p l eI n t e g r a lI n e q u a l i t i e sw i t h N o n h o m o g e n e o u s K e r n e l sJ/O L.J o u r n a lo fI n e q u a l i t i e sa n d A p p l i c a t i o n s,(2 0 2 1-0 4-0 2)2 0 2 2-0 7-1 0.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 8 6/s 1 3 6 6 0-0 2 1-0 2 5 9 3-z.1 8 L I AOJQ,HON GY,YANGBC.E q u i v a l e n tC o n d i t i o n so f aH i l b e r t-T y p eM u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t yH o l d i n gJ/O L.J o u r n a l o fF u n c t i o nS p a c e s,(2 0 2 0-0 4-1 5)2 0 2 2-0 7-1 0.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 5 5/2 0 2 0/3 0 5 0 9 5 2.1 9 HON GY,HUAN GQL,YANGBC,e t a l.T h eN e c e s s a r ya n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o n s f o r t h eE x i s t e n c eo f aK i n do fH i l b e r t-T y p e M u l t i p l eI n t e g r a lI n e q u a l i t yw i t ht h eN o n-h o m o g e n e o u sK e r n e la n dI t sA p p l i c a t i o n sJ/O L.J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e s a n dA p p l i c a t i o n s,(2 0 1 7-1 2-2 8)2 0 2 2-0 7-1 2.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 8 6/s 1 3 6 6 0-0 1 7-1 5 9 2-8.2 0 HON GY,HUAN GQL,CHE N Q.T h eP a r a m e t e rC o n d i t i o n sf o rt h eE x i s t e n c eo f t h eH i l b e r t-T y p eM u l t i p l eI n t e g r a lI n e q u a l i t y a n dI t s B e s t C o n s t a n t F a c t o rJ/O L.A n n a l s o f F u n c t i o n a l A n a l y s i s,(2 0 2 0-1 0-1 5)2 0 2 2-0 7-1 2.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 0 0 7/s 4 3 0 3 4-0 2 0-0 0 0 8 7-5.2 1 CHE NQ,YANG BC.A R e v e r s e H a r d y-H i l b e r t-T y p eI n t e g r a lI n e q u a l i t yI n v o l v i n g O n eD e r i v a t i v eF u n c t i o nJ/O L.J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a t i o n s,(2 0 2 0-1 2-1 1)2 0 2 2-0 8-1 5.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 8 6/s 1 3 6 6 0-0 2 0-0 2 5 2 8-0.2 2 WAN G A Z,YAN G B C,CHE N Q.E q u i v a l e n tP r o p e r t i e so faR e v e r s e H a l f-D i s c r e t e H i l b e r tsI n e q u a l i t yJ/O L.J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a t i o n s,(2 0 1 9-1 1-0 4)2 0 2 2-0 8-1 5.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 8 6/s 1 3 6 6 0-0 1 9-2 2 3 6-y.2 3 HUANGZX,S H IYP,YANGBC.O naR e v e r s eE x t e n d e dH a r d y-H i l b e r tsI n e q u a l i t yJ/O L.J o u r n a lo fI n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a t i o n s,(2 0 2 0-0 3-1 2)2 0 2 2-0 8-1 5.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 8 6/s 1 3 6 6 0-0 2 0-0 2 3 3 3-9.(责任编辑:赵立芹)038 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷