振动力学(倪振华).ppt

第1 章 导 论,*,第2章 单自由度系统自由振动,*,第4章 单自由度系统振动理论的应用,*,第5章 两个自由度系统的振动,*,第6章 多自由度系统的振动,*,第7章 弹性体振动,*,振动力学,参考书目：1.王伟等振动力学与工程应用,郑州大学出版社,2008 2.胡少伟等结构振动理论及其应用,中国建筑工业出版社,2005,课程特点与学习方法,课程性质:力学专业课,课程特点:理论繁杂、工程应用性强;与多门学科紧密相关,数学基础:微积分、微分方程、线性代数、复变函数、积分变换、计算方法、级数等;,力学基础:理论力学、分析力学、材料力学、弹性力学、结构力学、有限元等。,第1章 导 论,振动的概念,振动研究的问题及其分类,振动分析的力学模型,振动问题的研究方法,1.什么是振动,振动Vibration，就是物体在,静平衡位置附近,所作的,往复运动,。,我们只研究物体在静平衡位置附近所作的往复微小弹性运动。,1.1 机械振动概述,2.机械振动现象,机械振动是自然界非常普遍的运动现象，广泛存在于工程技术和日常生活中。,如:日常生活中，心脏的跳动、钟摆的摆动、琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等;,工程技术领域，桥梁与建筑物的振动、飞行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种动力机械的振动、以及地震、风振、噪声等等，都是属于机械振动的范畴。,3.产生振动的原因,一是由外界干扰引起，二是结构本身固有的原因引起。,4.研究振动问题的目的,工程和日常生活中，振动现象和振动问题既有有用的一面也有不利的一面。,利用振动原理设计出很多常用的物品和机械结构，如摆钟、振动筛、振动物料传送带、振动打桩机械等等。,而大多数情况下,振动会产生不良、甚至严重、灾难性的后果。,由于振动,降低了机器的动态精度和其它使用性能;,由于振动,机器在使用过程中产生巨大的反复变动的荷载,导致使用寿命的降低;,有时候振动甚至酿成灾难性事故,如大桥因共振而倒塌,烟囱因风振而倾倒,飞机因颤振而坠落等等。,5.研究振动问题的总目标,研究振动产生的原因和它的运动规律;,寻求控制和消除振动的方法;,振动检测，分析事故原因及控制环境噪声;,振动技术的应用,1.振动问题中的名词概念,振动系统：在振动问题中所研究的对象。如机器或结构物等。,激励或输入：外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。,激励或输入是随时间变化的，将引起振动的发生。,1.2 振动系统及参量1.3 振动系统的分类及研究方法,确定性激励:可用时间的确定函数来描述的激励;,随机激励:不能用时间的确定函数表示的激励。随机激励具有一定的统计规律性，可以用随机函数和随机过程描述。,响应或输出,：,机器或结构在激励作用下产生的动态行为。,确定性激励下的响应不一定是确定的，但,随机激励下的响应,一定,是随机的。,2.工程振动分析的类别,振动分析,：,研究,振动,系统、激励,(,输入,),和响应,(,输出,)三者,之间的关系,。,理论上讲，只要知道两者就可以确定第三者。,这样，工程振动分析所要解决的问题可以归纳为下面几类。,（1）响应分析,已知系统和输入参数，求系统响应。包括位移、速度、加速度和力的响应。这为计算和分析结构的强度、刚度、允许的振动能量水平等提供了依据。,（2）系统设计,已知振动系统激励(输入)和所要满足的动态响应(输出)的要求，设计合理的系统参数。对机器和结构的设计而言，这类问题更为重要。,通常系统设计要依赖于响应分析，所以在实际工作中，响应分析和系统设计这两个问题是交替进行的。,（3）系统识别,已知振动系统的激励(输入)和响应(输出)求系统参数,以便了解系统的特性。,系统识别包括物理参数识别(确定系统的物理参数:质量、刚度、阻尼等)和模态参数识别(确定或估计系统的固有特性:固有频率、振型等)。,（4）环境预测,在已知系统响应(输出)和系统参数的情况下确定系统的输入,以判别系统的环境特征。,对结构进行振动分析，首先要把所研究的对象以及外界对它的作用和影响简化为理想的力学模型。这种力学模型不但要简单，而且在动态特性方面，应尽可能地与原始结构等效。,实际工程结构力学模型的建立,是振动分析中很关键很难的一步。本课程只学习一些基本的概念。,振动系统的力学基本模型中包括三个基本“元件”：质量、弹性和阻尼。,3.振动分析的力学模型,质量:和理论力学的概念一样，是物体惯性大小的度量。在振动模型中简化为刚体;,弹簧:表示振动系统弹性的理想模型。简化为无质量的线弹性元件，即弹簧弹性力的大小与弹簧两端点的相对位移成正比;,阻尼:,任何振动在没有外界干扰,(,激励,),时都会逐渐消失，,因此，系统存在一种,阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。,简化为无质量的阻力元件。阻尼力的分析比弹簧力的分析要复杂得多。,弹簧表示力与位移的关系;阻尼表示力与速度的关系;质量表示力与加速度的关系。,4.振动过程的机理分析,任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身具有质量和弹性。,从能量关系看,质量可以储存动能,弹性可以储存势能。当外界对系统作功时,质量就吸收动能而具有运动速度，进而发生位移，使弹性元件储存变形能,因而就具有使质量恢复原来状态的能力。,这样，能量不断地变换就导致系统质量的反复运动（振动）。,5.振动系统的分类,（1）按产生振动的输入(激励)特性分类,分为自由振动、强迫振动和自激振动。,自由振动:系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的弹性恢复力“自由地”振动，其振动的特性仅决定于系统本身的物理特性(质量和刚度);（如摆钟）,受迫振动或称强迫振动:系统受到外界持续的激励作用而“被迫地”进行振动，其振动特性除决定于系统本身的物理特性外，还决定于激励的特性;,工程中的大部分振动都属于此类振动(振动机械、转子偏心引起的振动等)。,自激振动：在系统自身控制的激励作用下发生的振动。在适当的反馈作用下，系统会自动地激起定幅振动,一旦振动被激起,激励也随之消失。,例如：桥梁受风载作用后激发的振动;电线在风载作用线的舞动等。,（2）按振动的输出特性分类,分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。,简谐振动与非简谐振动：是否可以用简单的正弦函数或余弦函数表述其运动规律;,随机振动:不能用简单函数或简单函数的组合来表述其运动规律，只能用统计的方法来研究其规律的非周期性振动。,（3）按振动系统的自由度数目分类,单自由度、多自由度和弹性体的振动。,（4）按振动微分方程或系统的结构参数特性分类,线性振动:振动系统的惯性力、阻尼力、弹性恢复力分别与加速度、速度、位移成线牲关系，能够用常系数线性微分方程表述的振动;,非线性振动:振动系统的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质,只能用非线性微分方程来表述。,（5）按振动的周期性分类,周期振动系统、非周期振动(瞬态振动)系统。,简谐振动属于周期性振动,非简谐振动也可能是周期性振动。,6.振动问题的研究方法,解决振动问题的方法有理论分析、数值模拟与计算、实验研究等。,本课程主要学习振动的基本理论与分析方法，为进一步解决实际振动问题和开展研究工作打下良好的基础。,第2章 单自由度系统自由振动,单自由度系统:可以用一个独立坐标来确定系统的位置及其运动规律的振动系统;,单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统;,许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振动系统;,单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，是研究复杂振动系统的基础。,2.1 引 言,根据振动系统结构形式的不同，建立振动微分方程的方法也不同，主要采用牛顿定律、动力学基本定理（动量定理、动能定理、动量矩定理）以及拉格朗日方程等。,振动微分方程(P6-20),2.2 自由振动系统,2.2 自由振动系统,m-k系统的自由振动(P6),m-k系统虽然非常简单，但却是许多实际结构振动问题的力学模型。,已知质量为,m,，弹簧的刚度系数为,k,。取质量的静平衡位置为坐标原点,当重物偏离,x,时,利用牛顿定律可得到运动微分方程：,2.2 自由振动系统,扭转振动(P9),圆盘在轴的弹性恢复力矩作用下在平衡位置附近作扭转振动。设,q,为圆盘相对静平衡位置转过的角度,J,为圆盘对轴的转动惯量,k,t,为使轴产生单位转角所需施加的扭矩(即轴的扭转刚度)。则,2.2 自由振动系统,复摆(P12),设物体对悬挂点,O,的转动惯量为,J,O,，利用定轴转动微分方程可得到用转角,f,表示的转动微分方程:,2.2 自由振动系统,纯滚动圆盘(P15),已知,m,、,r,、,R,，利用功率方程(动能定理)或拉格郎日方程可得到用角度,f,表示的运动微分方程:,2.2 自由振动系统,梁的横向振动,质量为,m,的重物放在简支梁的中部，不计梁的质量。设梁长为,l,，材料的弹性模量为,E,，截面惯性矩为,I,。则利用材料力学的概念可得到：,2.2 自由振动系统,d,st,振动微分方程的统一形式,比较前面几种不同系统的振动微分方程,2.2 自由振动系统,可以写成统一的数学形式,m,eq,和,k,eq,分别称为等效质量和等效刚度，,x,为广义坐标。为方便起见，以后将等效质量和等效刚度直接写为,m,和,k,。则方程变为：,因此只讨论此方程的解即可。,2.2 自由振动系统,1.方程的解,设,振动微分方程的解(P6),则方程变为,通解为,或,2.2 自由振动系统,设系统的初始条件为：,t,0时，,x,x,0,，,则可确定上述解中的常数为：,2.2 自由振动系统,2.概念与名词(P6-7),一阶线性振动微分方程的解是时间,t,的简谐函数，因此这种振动为简谐振动。,方程的解中,w,n,只决定于系统本身的参数,m,和,k,，而与系统的初始条件无关，是系统本身所固有的特性，所以称为固有频率，或称圆频率或角频率。,方程解中,的,A,称为振幅，是质量偏离静平衡位置的最大距离;,f,称为初相位。,2.2 自由振动系统,从方程的解中还可以看出，系统属于周期振动，振动的周期为,周期是系统振动一次所需要的时间，单位为秒（s）。,周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作,f,2.2 自由振动系统,固有频率,w,n,和频率,f,只相差常数2,p,，因此经常通称为固有频率。是振动分析中极其重要的参数。,显然,2.2 自由振动系统,因此,w,n,的物理意义是在2,p,时间内振动的次数，单位为弧度/秒(rad/s)。,圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的三个重要特征量。,1.直接计算法,即直接利用固有频率的公式进行计算。,求出振动系统微分方程后，利用等效刚度和等效质量，即可求出固有频率：,固有频率的计算,2.2 自由振动系统,2.静位移方法(P7),m-k系统是所有一阶线性微振动系统的模型，利用此模型得出的结论具有一般性。,质量在静平衡位置时弹簧的位移为,则固有频率为,2.2 自由振动系统,d,st,复摆系统的固有频率,用转角,f,表示的转动微分方程:,mg,则固有频率:,2.2 自由振动系统,纯滚动圆盘系统,用角度,f,表示的运动微分方程:,则固有频率:,2.2 自由振动系统,扭转振动系统,转动方程为,则固有频率:,2.2 自由振动系统,梁的横向振动系统,利用振动方程,固有频率:,或利用材料力学公式计算出静位移:,固有频率:,2.2 自由振动系统,d,st,对无阻尼自由振动系统，能量（机械能）是守恒的。设系统的动能和势能分别用,T,和,V,表示，则能量方程为,T,+,V,常数,或,2.3 能量法,2.3 能量法,系统在静平衡位置的速度最大，动能也最大，势能取为0位置;在质量偏离静平衡位置最大时，速度为0，动能也为0，而势能达到最大，利用能量守恒关系得到,T,max,V,max,同时还有下面的关系,利用上面两式可以直接求固有频率。,2.3 能量法,例 利用能量法求纯滚动圆盘系统作微幅振动的固有频率。,2.3 能量法,一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的影响，当这些质量不可忽略的时候，“瑞利法”的思想是：将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，从而变成典型的单自由度振动系统。,遵循的原则是：简化后系统的动能与原系统的动能相等，但并不考虑重力势能的影响。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。,2.4 瑞利法,2.4 瑞利法,P17例2-4-1 质量-弹簧系统，集中质量为,m,，弹簧长度为,l,，刚度为,k,，质量为,m,1,，求考虑弹簧质量影响时的固有频率。,2.4 瑞利法,d,st,l,s,ds,题2.13(a)求图示系统的固有频率。,（与P15例2-3-1对比）,举 例,单 自 由 度 自 由 振 动 举 例,用定轴转动微分方程，能量法,题2.15 求图示系统微幅振动的微分方程（,m,2,视为均质圆盘）。,作业：T2.1，4，13,举 例,单 自 由 度 自 由 振 动 举 例,用能量法,无阻尼系统振动过程中能量守恒，振幅保持不变。而实际情况并非如此，必须考虑阻力对振动过程的影响。,实际阻力的形式很多，有滑动摩擦表面的阻力、空气或流体阻力、弹性材料的内摩擦阻力等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。,阻力大小与速度成正比的阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼。这是最简单的情况。,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,1.振动微分方程及其解（P21）,以静平衡位置为坐标原点建立坐标系，可得系统的运动微分方程,其中,c,为粘性阻尼的比例常数，称为粘性阻尼系数。,m,g,F,k,F,c,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,令阻尼比为,则方程可写为,令其解为,代入方程得到,此特征方程的两个根是,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,不同的阻尼比,x,，对应的解的形式不同，运动性质也不同。,2.解及运动形式的讨论（P22-26）,（1）,x,1（大阻尼情况）,此时特征方程有两个不同的实根，通解为,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,给出初始条件：,t,0时,则可确定系数,B,和,D,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们所关心的振动形式。设,x,0,0，,v,0,0，则运动图形大致如下。,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,（2）,x,1（临界阻尼情况）,此时特征方程有重根，通解为,利用初始条件确定常数为,此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为,c,c,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运动，按不同的初始条件其运动图形如下。,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,（3）0,x,1（小阻尼情况）,此时特征方程有一对共轭复根，通解为,或写为,利用初始条件确定出常数,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,解中有两个因子，一个是衰减的指数函数 ,它将使振幅越来越小，直至振动最终消失;,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,另一个是正弦函数 ，它表示系统以相同的周期通过平衡位置。,因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振动形式。,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。这种衰减振动具有下列特性：,（,1,）,振幅衰减,由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以几何级数 快速衰减;,（2）等时性,系统仍以相同的周期通过平衡位置;,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,（,3,）,振动频率变小，周期变长,此时系统振动的频率和周期为：,因此：,衰减振动的固有频率比无阻尼系统的固有频率小，振动周期变大，但影响,不大,，特别是当阻尼很小（,x,1）时，可以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。,2.5 具有黏性阻尼的振动系统,振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅的比值来表示，称为衰减率或减幅率或减缩率；也可以用衰减率的自然对数来表示，称为对数衰减率。,2.6 对数衰减率,2.6 对数衰减率,利用前面给出的解,可得到衰减率为,对数衰减率为,2.6 对数衰减率,若用,X,0,表示系统最初的振幅，经过,n,次循环后的振幅为,X,n,，则对数衰减率又可以表示为,证明：,相乘得,则,即,2.6 对数衰减率,1.4 衰减振动和对数衰减率,题2-16 求图示系统振动的微分方程和固有频率（不计杆的质量，c为黏性阻尼）。,1.4 衰减振动和对数衰减率,题2-18 图示系统，在空气中振动周期为,T,1,，在液体中振动周期为,T,2,。试证明液体的粘性阻尼系数为,作业：T2-8、17,小 结,3.无阻尼自由振动方程的解,方程,或,通解为,或,小 结,1.名词与概念,固有频率,振幅,周期,相位角；线性阻尼系数,临界阻尼系数，阻尼比；衰减率与对数衰减率；等效质量,等效刚度。,2.建立振动微分方程的方法,牛顿定律、动能定理（功率方程、机械能守恒）、定轴转动微分方程等。,本 章 小 结,小 结,（2）静位移法,4.固有频率的确定,（1）按定义直接计算,（3）能量法（无阻尼自由振动系统）,以及,小 结,5.考虑弹性元件质量时的等效质量,将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，简化后系统的动能与原系统的动能相等。,小 结,或,小 结,6.黏滞阻尼自由振动系统的解,（1）方程,或,阻尼比,（2）小阻尼解,小 结,（3）临界阻尼系数（,z,1时）,（4）衰减振动频率与周期,（5）对数衰减率,小 结,教材例题与习题：,例 2.2.12.2.3，2.3.12.3.2,2.4.12.4.2，2.5.2，2.5.3，2.6.1,2.6.2，2.6.4,习题 2-1，3，4，8，9，1113，,1518,第3章 单自由度系统强迫振动,系统在外部激励作用下的振动称为受迫振动或强迫振动。,自由振动只是系统对初始扰动(初始条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象很快就会消失。,要使振动持续进行，必须有外界激励输入给系统以补充阻尼消耗的能量。,所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,设激励为,F,(,t,)=,F,0,sin,w,t,，这里,w,为激振频率，利用牛顿定律并引入阻尼比,x,可得到,齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为:,代入方程确定系数,X,0,和,f,为：,其中：,为频率比。,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,3.1.1 非齐次方程的特解（P33-34）,稳态响应分析(P34-39),1.稳态响应,x,p,=,X,0,sin(,w,t,f,)的性质(P34),（1）在谐和激振条件下,响应也是谐和的,其频率与激振频率相同;,（2）谐和激励强迫振动的振幅,X,0,和相位角,决定于系统本身的物理性质和激振力的大小和频率，与初始条件无关;,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,2.幅频特性曲线（P35）,对于稳态响应，定义动力放大系数,R,为响应的振幅,X,0,与最大干扰力,F,0,所引起的静位移的比值：,以,x,为参数，画出,R,-,r,曲线即幅频特性曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响。,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,（3）强迫振动振幅,X,0,的大小，在工程实际中具有重要的意义。如果振幅超过允许的限度，构件就会产生过大的交变应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工或仪表的测量精度。因此在振动工程中必需控制振幅的大小。,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,R,r,讨论：,r,1时,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,R,r,振幅的大小主要决定于系统的惯性。这就是高速旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因,。,r,1（激振频率接近固有频率）时，,R,迅速增大，振幅很大，这种现象称为共振;,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,R,r,阻尼比,x,的影响:阻尼越小，共振越厉害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。,共振位置：,将,R,对,r,求导数,令其等于0得,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,而,r,1时,由此看出：当,x,很小时的,R,和,R,max,相差很小，所以在工程中仍认为当,w,w,n,时发生共振。,以,x,为参数,画出,f,-,r,曲线即相频特性曲线,表明了阻尼和激振频率对相位差的影响。,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,f,3.相频特性曲线（P37）,4.品质因子（P36),工程上通常把共振时的动力放大系数称为,品质因子,，记为,Q,：,在频率响应曲线上用,的一条水平直线在共振区附近截出两点,q,1,、,q,2,，对应于这两点的激振频率为,w,1,、,w,2,，,q,1,、,q,2,称为,半功率点,，,w,1,、,w,2,之差称为系统的,半功率带宽,。,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,讨论：,从图中可以看出,无阻尼情况下的曲线是由,f,0和,f,p,的半直线段组成,在,r,1处发生间断;,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,f,有阻尼时,f,为,在0,p,之间变化的光滑曲线,并且不论,f,取值多少,当,r,1时都有,f,p,/2,即曲线都交于(1,p,/2)这一点。这一现象可以用来测定系统的固有频率;,r,时,f,p,激振力与位移反相,系统平稳运行;,r,0时,f,0,激振力与位移同相,近似静位移.,3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,w,1,/,w,n,1,w,2,/,w,n,r,R,q,2,q,1,求出动力放大系数对应于两点,q,1,、,q,2,的两个用,x,表示的根。由,得,当,x,5或,x,1.414时，传递率减小，传递的力小于激振力，且阻尼越小，效果越好，但若阻尼过小，经过共振区时将产生过大的振动。,振动向基础的传递,【例】汽车在5 m/周的简谐波形道路上行驶，已知汽车空载质量为250 kg，满载质量为1000 kg，,k,=350 kN/m，满载时阻尼比,x,1,0.5，车速,v,=100 km/h，求满载和空载时汽车的振幅比。,解：基础的激振频率,振动向基础的传递,阻尼系数,振动向基础的传递,则空载时的阻尼比为,频率比,1.87（满载）,0.93（空载）,振动向基础的传递,振幅,（满载）,（空载）,所以满载和空载时车辆的振幅比为,P55例3-3-2 弹簧质量系统放在箱子中,箱子从高,h,处自由落下。求,（1）箱子下落过程中,质量块相对箱子的运动,x,;,（2）箱子落地后传到地面的最大压力。,振动向基础的传递,解：（1）设,m,的绝对运动为,x,1,，箱子的运动为,y,，则,x,1,x,+,y,，运动方程为,即,利用杜哈美积分得响应：,振动向基础的传递,（2）落地后,x,和,x,1,相同，以刚接触地面时,m,的运动为初始条件做自由振动。落地时间和箱子的速度为,此时,m,的运动情况：,振动向基础的传递,因此落地后自由振动的振幅为,最大压力：,振动向基础的传递,题3-36 重量为3000 N的机器，以刚度系数600 N/cm及阻尼比,x,0.2的阻尼器支撑，若在机器上加以按正弦规律变换的干扰力，其频率与机器转速相同。求：,（1）如果传递到基础上的力大于干扰力力幅，机器转速应如何？,（2）若传递力的最大值小于干扰力力幅的20，机器的转速应如何。,振动向基础的传递,提示,固有频率为:,（1）力传递系数应大于1，则：,解得：,（2）力传递系数应小于20,即：,作业：3-23,振动向基础的传递,第5章 两个自由度系统的振动,单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互“耦合”现象。,所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的分析方法求解。,两自由度是多自由度系统最简单的情况。,建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样,但难度更大。,5.2.1 运动微分方程（P104-106）,5.2 两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵,5.2 振动方程,标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：,坐标原点仍取在静平衡位置,写成矩阵形式,5.2 振动方程,式中：,5.2 振动方程,M,称为系统的质量矩阵，,K,称为刚度矩阵，,C,称为阻尼矩阵，,x,为系统的位移列阵，,F,(,t,)为外激励列阵。,对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。,由于矩阵,M,、,K,、,C,的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。,5.2 振动方程,5.2.2 刚度影响系数与刚度矩阵,刚度矩阵,K,中的元素称为刚度影响系数，其,k,ij,的力学意义是：仅在,j,坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在,i,坐标处施加的广义力。,具体求解时，只假设,j,坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。,5.2 振动方程,5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵,质量矩阵,M,中的元素称为惯性（质量）影响系数，其,m,ij,的力学意义是：仅在,j,坐标处产生单位广义加速度，需在,i,坐标处施加的广义力。,具体求解时，只假设,j,坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。,5.2 振动方程,例：用刚度影响系数和惯性影响系数求标准m-k-c系统的刚度矩阵和质量矩阵。,5.2 振动方程,柔度影响系数,R,ij,的力学意义是：在,j,坐标处作用单位广义力，引起,i,坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵,R,。,由材料力学的位移互等定理可知,R,ij,R,ji,，即柔度矩阵是对称的。,5.3 位移方程,5.3 两自由度系统的位移方程柔度矩阵,5.3.2 柔度影响系数与柔度矩阵(P114-117),例：用柔度影响系数求标准m-k-c系统的柔度矩阵。,5.2 振动方程,以柔度矩阵表示的方程为位移方程。,对标准m-k-c振动系统，质量,m,1,和,m,2,上的静位移可以表示为,x,st,=,R,F,，而系统的动位移为,这就是系统,振动,方程的位移形式。,5.3 位移方程,5.3.1 位移方程(P113-114),因为,R,为正定矩阵，于是,位移,方程又可写为,与力形式的方程比较知,K,=,R,1,，,R,=,K,1,即对于正定系统,R,和,K,互为逆矩阵。,5.3 位移方程,【例5-3-1】,求系统的振动微分方程。已知梁的抗弯刚度为,EI,。,解：用影响系数法。由材料力学挠度公式,5.3 位移方程,则,而,则方程为,5.3 位移方程,若写为力方程形式,则方程为,下面用影响系数法直接求,K,:,5.3 位移方程,设,x,1,=1,x,2,=0，则由材料力学公式有：,同理有,求出各个刚度系数即组成刚度矩阵,K,。,作业：5-2，6,5.3 位移方程,对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程为：,用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程,拉格朗日方程,其中：,T,为系统的动能，,V,为势能，,Q,i,为非有势力的广义力，,d,r,k,为与非有势广义力,F,k,对应的广义虚位移。,实际计算广义力,Q,i,时，通常假设与,x,i,对应的广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。,（,i,1，2）,拉格朗日方程,【例】,用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程,。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置。,拉格朗日方程,静平衡位置：,则：,拉格朗日方程,拉格朗日方程,计算广义力，设,m,1,产生虚位移,d,x,1,，而,d,x,2,0，则,同样设,m,2,产生虚位移,d,x,2,，而,d,x,1,0，则,拉格朗日方程,代入拉格朗日方程,得,整理写成矩阵形式即可。,拉格朗日方程,【T5-30】,用拉格郎日方程,建立,系统微振动微分方程,。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,x,1,x,2,D,1,D,2,而,则,拉格朗日方程,所以,拉格朗日方程,计算广义力，设只有,x,1,处产生虚位移,d,x,1,，则,同样设,x,2,处产生虚位移,d,x,2,，则,代入拉格朗日方程即可。,作业：T5-29,拉格朗日方程,只给出公式，不作严格推导。,1.质量矩阵的形成,系统的动能可以表示为,能量法,用能量法确定振动系统的,M,、,K,、,C,记,则,M,即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。,2.刚度矩阵的形成,势能可写为,K,即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。,能量法,3.阻尼矩阵的形成,线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为,C,即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。,能量法,【例5-2-3】求,M,和,K,。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,l,l,则,能量法,将余弦函数用级数展开，表示为,则,所以,作业：5-4,能量法,无阻尼自由振动系统的运动方程为,5.4.15.4.3 固有频率与固有振型(P117-120),5.4 两个自由度系统的自由振动,5.4 两个自由度系统的自由振动,假设方程解的形式为,这里,：,X,1,、,X,2,为振动幅值，,w,为固有频率，,a,为初相位。,代入振动方程可得：,这是广义的特征值问题，,K,-,w,2,M,称为特征矩阵。要使,上,式有解，必须使其系数行列式为零。,若,M,为对角阵，,K,为对称阵，则有,5.4 两个自由度系统的自由振动,上式称为频率方程或特征方程。由此可求出,w,2,的两个正实根。且规定,w,1,=,w,2,。,将这两个根代入广义特征值问题(,K,w,2,M,),X,=0可得到相应的振幅比值,式中,X,(,i,),表示对应于第,i,个固有频率的振幅,(,i,=1,2),。,由数学概念知道，只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。,5.4 两个自由度系统的自由振动,和单自由度一样，由于固有频率和振幅比,u,i,只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，这表明它们都是系统的固有属性。因此把,w,i,称为系统的固有频率或主频率，,u,i,称为系统的固有振型或主振型。,将振幅写成矩阵形式,5.4 两个自由度系统的自由振动,称为振型向量或模态向量，组成的矩阵称为振型矩阵。,式中的,X,1,可以取任意值。显然,两个主振动的叠加也是方程的解，即,5.4.4 系统对初始激励的响应(P121-128),由前面的分析可得到系统的两组特解,为,5.4 两个自由度系统的自由振动,由解的形式可看出，系统两质量按相同的频率和相位角作简谐运动，这种运动称为固有振动或主振动。,每一个主振动称为一个模态，,w,i,和对应的,u,i,组成第,i,阶模态参数。,系统在主振动中，各质点同时达到平衡位置或最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比值将始终保持不变，也就是说，在主振动中，系统振动的形式保持不变，这就是振型的物理意义。,5.4 两个自由度系统的自由振动,式中的各个,X,、,a,和,C,均为任意常数，由初始条件确定。,或写,为,下面的形式,5.4 两个自由度系统的自由振动,将初始条件代入,可,得,设初始条件为,t,0时,5.4 两个自由度系统的自由振动,综上所述，系统对初始激励的响应,求解,步骤为：,（1）建立运动微分方程，求出质量矩阵,M,和刚度矩阵,K,;,（2）确定固有频率,w,i,和振幅比,u,i,;,（3）利用初始条件求响应。,5.4 两个自由度系统的自由振动,【T5-21】求,系统的频率方程。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,则,5.4 两个自由度系统的自由振动,将余弦函数表示为,则,所以,5.4 两个自由度系统的自由振动,【T5-26】求,系统的,固有,频率。,解：用牛顿定律,而,x,1,x,2,d,1,d,2,d,3,解得,则方程为,5.4 两个自由度系统的自由振动,频率方程为,即,展开得,5.4 两个自由度系统的自由振动,频率方程为,解得,5.4 两个自由度系统的自由振动,【T5-35】,质量为,m,2,的物块从高,h,处自由落下，然后与弹簧质量系统一起做自由振动，已知,m,1,m,2,m,，,k,1,k,2,k,，,h,100,m,g/,k,，求系统的振动响应。,解,:（1）,用牛顿定律建立方程,5.4 两个自由度系统的自由振动,（2）频率方程为,解得,（3）求振型。利用,则,同理,5.4 两个自由度系统的自由振动,（4）求响应,初始条件,代入得,5.4 两个自由度系统的自由振动,在,二阶,振动微分方程中，如果质量矩阵,M,和刚度矩阵,K,的各个元素都不为零，则在两个方程中都同时包含坐标,x,1,和,x,2,和它们的导数项，这种情形称为,坐标耦合,。,把,M,为对角阵，,K,不是对角阵,的情形称为,静力耦合,或,弹性耦合,（刚性耦合）,，,把,K,为对角阵，,M,不是对角阵,的情形称为,动力耦合,或,惯,性耦合,。,5.5 广义坐标与坐标耦合,5.5 广义坐标与坐标耦合,解得,响应为,作业：T5-13，26，28,5.4 两个自由度系统的自由振动,方程是否耦合与广义坐标的选取有关。前面分析的标准m-k-c系统就是静力耦合。,对于下面的振动系统，设杆的质量为,m,，绕质心的转动惯量为,J,C,。,5.5 广义坐标与坐标耦合,若取质心位移,x,和转角,q,为广义坐标，则自由振动方程是静力耦合的,5.5 广义坐标与坐标耦合,若坐标,x,不取在质心,而是选在满足,k,1,a,1,k,2,b,2,的,O,点位置,，,利用平面运动微分方程,可,得,到,其中,e,为,O,点距质心的,距离,，这时运动方程是动力耦合的,。,O,5.5 广义坐标与坐标耦合,C,e,a,1,b,1,同样,，若将坐标,x,取在最左端,A,，利用平面运动微分方程得,到,运动方程为,这里的,a,和,b,如,原图所标的位置。方程既是静力耦合又是动力耦合。,5.5 广义坐标与坐标耦合,从前面的分析可知，只要广义坐标形式选择合适，就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程，这时的广义坐标称为主坐标。,主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角线元素外，其余元素均为零，各个运动方程的坐标之间不存在耦合。,5.6 主坐标,5.6 主坐标,其中,u,是前面得到的振型矩阵,令,将,x,代入原振动方程，化简后就可得到解耦的运动方程（下章证明）,5.6 主坐标,显然上述解耦的方程的解可以用单自由度振动的方法独立求得,将其代入,x,=,u,P,即可得到用原始坐标,x,表示的一般解。,主坐标的概念在强迫振动中具有重要意义。,5.6 主坐标,利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：,（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵,u,；,（2）求出主坐标下的响应；,（3）利用式,x,=,u,P,得出原广义坐标下的响应；,（4）利用初始条件确定常系数。,5.6 主坐标,【例】标准m-k-c系统中，设,m,1,m,m,2,2,m,k,1,k,2,k,k,3,2,k,c,=0,求系统的固有频率和固有振型。利用坐标变换方法求系统对初始激励的响应。设初始条件为,5.6 主坐标,解:,（1）求固有频率和振幅比,得到振型矩阵,u,5.6 主坐标,（3）利用式,x,=,u,P,得出,（2）主坐标下的响应,（4）确定常系数。将初始条件代入得,5.6 主坐标,联立解得,所以,作业：T5-9，15,5.6 主坐标,两自由度,振动微分方程,为,复数解法,5.7 两自由度系统的强迫振动,5.7 两自由度系统的强迫振动,设,干扰力,为谐和函数，并表示为,复数,形式,令方程的解为,其中,X,1,和,X,2,为复振幅。将,上,式代入,方程,得,其中,(,i,j,=1,2),5.7 两自由度系统的强迫振动,若为无阻尼系统，则,振幅,为,若干扰力为正弦函数,或余弦函数,，则,前面分析中相关的e,i,w,t,变为sin,w,t,或cos,w,t,即可。,5.7 两自由度系统的强迫振动,即,由此,可看出,:,（1）当激励频率与系统的固有频率接近时，系统出现共振现象，即无阻尼振幅将达到无穷大，所不同的是，两自由度系统有两个共振峰；,（2）阻尼的存在使共振振幅减小，在相同的阻尼下，频率高的共振峰降低的程度比频率低的大,。因此,实际结构的动力响应只需要考虑最低几阶,模态,的,影响,。,5.7 两自由度系统的强迫振动,和单自由度的概念类似，可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变