分数阶非线性四阶反应扩散方程变步长L 1格式的能量稳定.pdf

第 卷 第 期 年 月南京工程学院学报(自然科学版)().:./.投稿网址:/.分数阶非线性四阶反应扩散方程变步长 格式的能量稳定孙 红(南京工程学院数理学院 江苏 南京)摘 要:基于非均匀 公式对时间分数阶非线性四阶反应扩散方程建立时间方向变步长的有限差分格式.利用离散互补卷积核得到非均匀 公式系数核的梯度分解从而证明该差分格式在任意非均匀时间网格上保持变分能量耗散率.数值算例验证了格式的精度和有效性.关键词:分数阶非线性反应扩散方程 导数变步长有限差分能量耗散率中图分类号:.收稿日期:基金项目:国家自然科学基金青年基金项目()中国博士后科学基金项目()南京工程学院校级科研基金项目()作者简介:孙红博士副教授研究方向为偏微分方程数值解.:.引文格式:孙红.分数阶非线性四阶反应扩散方程变步长 格式的能量稳定.南京工程学院学报(自然科学版)():.时间分数阶扩散方程是由连续时间随机游走得到 其中时间分数阶导数可模拟扩散材料中的记忆影响.在过去的几十年里许多数值方法被提出来求解时间分数阶扩散方程.在时间方向均匀网格上的数值方法有 阶 公式、阶 公式、阶 公式和 阶离散公式等.这些方法均需要在精确解有很强的正则性条件下才能得到.然而由于时间分数阶的解在初值处存在弱奇异性精确解的低正则性在时间均匀网格上会降低数值解的精度产生巨大的计算量.文献 考虑在时间方向上的非均匀网格上构造数值方法来处理由解的低正则性产生的问题.对于经典的相场模型问题本身具有能量守恒或能量耗散性质在每个时间层构造能够保持能量南京工程学院学报(自然科学版)年 月耗散性质的数值方法很重要因为不稳定的数值方法不能精确地捕获粗化动态或导致数值不稳定.常见的能量稳定的数值方法有凸分裂法、稳定化方法和 方法 等.相对经典的相场模型关于时间分数阶相场模型能量稳定性质的理论结果相对较少.时间分数阶相场模型能量有各种定义.文献给出的分数阶 方程能量 和()满足能量耗散率但是当 时能量()与经典的 不相容文献定义能量函数 和变分能量 且当 与整数阶是相容的.考虑带有周期边界条件的时间分数阶四阶非线性反应扩散方程:()()()()()()式中:为未知函数 为时间变量 为分数阶的阶数 为空间区域 ()()为非线性项 ()为 阶 分 数 阶 导 数()()()其中()()()为初值函数.基于非均匀 公式本文对方程()构造变步长的有限差分格式并给出此格式的能量稳定性质.差分格式的建立对给定的时间 考虑非均匀的时间网格:定义时间步长为 定义网格函数为()记 .在 处对分数阶 导数 采用非均匀 离散公式:()()()()()其中()是在区间 上的线性插值且离散系数核()定义为:()()基于离散系数核()的定义引入离散互补卷积()核():()()()()()()()下面的引理是关于离散系数核()的梯度分解对后面差分格式的稳定性起着关键作用.引理:对任意序列 则()与()满足:()()()()()()设 为正整数空间步长为 记 空间网格定义为:()记 周期网格函数为:()()是 周期设 引入记号:/类似定义 /、.定义离散 算子 离 散 梯 度 算 子().设 定 义 内 积:.对应的 范数 .同时定义 范数为 及最大模范数.第 卷第 期孙 红:分数阶非线性四阶反应扩散方程变步长 格式的能量稳定对方程()在时间非均匀网格上构造有限差分格式.在点()处考虑方程()应用非均匀 离散公式()则得到差分格式:()()()()差分格式的能量耗散性差分格式()的数值解满足保持能量耗散性质.定义离散能量函数:()离散变分能量函数:()()()定理:差分格式()是无条件能量稳定.当差分解满足先验估计:证明:差分格式()第一式两边同时与作内积得:()()对式()每一项分别进行估计.对于式()左端第二项利用引理有:()()()()()()()()()()()()()对于式()左端第三项由()()有:()()()同理对于式()左端第四项有:()()()对 于 式()非 线 性 项 利 用 不 等 式()()()()()得:()()()()()将式()至式()代入式()得到估计式:()()()()()()()()()化简式()得:当 时由式()可得:定理证毕.由定理递推可得:推论:设时间步长满足 则差分格式()的解有界即满足.南京工程学院学报(自然科学版)年 月证明:记 ().由定理可得.利用不等式 有.于是:()()()利用离散嵌入不等式得:()数值实验例:方程()中取 右端源函数值为:()()()()()对应的精确解为()().用时间非均匀的差分格式()计算例 方程的数值解.时间分层网格 .记()时间方向的阶定义为:()().测试数值格式时间方向的精度.固定空间网格数 时间网格数 分别取、表 为不同的、数值格式解的 模误差以及时间方向收敛阶.由表 可见差分格式式()表 时间方向的 模误差及收敛阶()()(.).(.).(.).在时间方向的收敛阶为.例:考虑方程()的初值为()()其中()为.上的均匀随机数空间 .为验证文中构造的离散能量 和变分能量 随时间变化的耗散性质 用差分格式()来数值计算例 方程时间方向用分层网格.空间方向用 个网格划分区域().观察当 取不同值时离散能量和变分能量 的变化趋势.图、图 分别为分数阶 为.、.、.时数值解的离散能量 和变分能量 的变化趋势.由图 可见离散能量 和变分能量随时间增大而衰减同时导数阶数 越大能量衰减越快.图 取不同值时 的变化趋势第 卷第 期孙 红:分数阶非线性四阶反应扩散方程变步长 格式的能量稳定图 取不同值时 的变化趋势 结论本文对时间分数阶非线性四阶反应 扩散方程建立时间方向非均匀 差分格式并构造离散变分能量.利用 公式系数核的梯度结构给出了离散变分能量随时间衰减的性质.数值算例验证了数值格式的精度以及能量的耗散性质.参考文献:.:.():.():.():.:.:.():.():.():.():.():.():.:.:.().:.():.:.:.