第一章单元评估检测.doc

第一章单元评估检测
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合A={x|y=,x∈R}，B={y|y=x2-1,x∈R}，则A∩B= ( C )
(A){(-,1),(,1)} (B)Ø (C){z|-1≤z≤} (D){z|0≤z≤}
解:由3-x2≥0得-≤x≤,∴A={x|-≤x≤}.∵x2-1≥-1,∴B={y|y≥-1}.∴A∩B={z|-1≤z≤}.
2.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是 ( B )

解:由N={x|x2+x=0},得N={-1,0},则NM.故选B.
3.“若aA，则b∈B”的否定是 ( B )
(A)若aA，则bB (B)若a∈A，则bB (C)若b∈B，则aA (D)若bB，则a∈A
解:“若aA，则b∈B”的否定为“若a∈A，则bB”.
4.集合A={y∈R|y=2x}，B={-1,0,1}，则下列结论正确的是 ( D )
(A)A∩B={0,1} (B)A∪B=(0,+∞) (C)(RA)∪B=(-∞,0) (D)(RA)∩B={-1,0}
解:因为A={y∈R|y=2x}={y|y>0}，RA={y|y≤0}，∴(RA)∩B={-1,0}.
5.下列说法中，正确的是 ( B )
(A)命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题
(B)命题“x0∈R，-x0＞0”的否定是：“x∈R，x2-x≤0”
(C)命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
(D)已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
解:由特称命题的否定是全称命题知选项B正确.
6.已知命题p: x0∈R，有=-1;命题q: x∈(0, )，有x＞sinx.则下列命题是真命题的是( D )
(A)p∧q (B)p∨(q) (C)p∧(q) (D)(p)∧q
解:∵当x∈R时,x2≥0,∴命题p是假命题,令f(x)=x-sinx,则f′(x)=1-cosx＞0,∴f(x)在(0,)上是增函数,∴f(x)＞f(0)=0,即x＞sinx,故命题q是真命题.∴(p)∧q是真命题.
7.已知全集U=R，集合M={x||x|＜2},P={x|x＞a}，并且M，那么a的取值范围是 ( C )
(A){2} (B){a|a≤2} (C){a|a≥2} (D){a|a＜2}
解:∵M={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2},UP={x|x≤a},∴MUP⇔M(-∞,a］⇔a≥2,如数轴所示：

8.设甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;乙:0<a<1,则甲是乙成立的 ( B )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
解:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,当a=0时成立,当a≠0时,a＞0且Δ=4a2-4a＜0，则0<a<1,故甲成立的充要条件是0≤a＜1,所以甲是乙成立的必要不充分条件.
9.已知a＞0，设p:存在a∈R，使y=ax是R上的单调递减函数； q:存在a∈R，使函数g(x)=lg(2ax2+2x+1)的值域为R，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，则a的取值范围是 ( A )
(A)(,1) (B)(,+∞) (C)(0, ］∪［1,+∞) (D)(0, )
解:由题意知p:0＜a＜1,q:0＜a≤,因为“p∧q”为假，“p∨q”为真,所以p、q一真一假.当p真q假时,得＜a＜1,当p假q真时,a的值不存在,综上知＜a＜1.
10.若集合P=｛1，2，3，4｝，Q={x|0＜x＜5,x ∈R}，则 ( A )
(A)“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件 (B)“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件
(C)“x∈P”是“x∈Q”的充要条件 (D)“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
解:由x∈P能推出x∈Q，但x∈Q不一定能推出x∈P.故选A.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,a-2,5},UA={2,4}，则a的值为 5 .
解:∵UA={2,4},∴A={1,3,5},∴a-2=3,∴a=5.
12.命题“x0∈R，使得+2x0+5=0”的否定是_____x∈R，都有x2+2x+5≠0_______.
解:特称命题的否定是全称命题,其否定为“x∈R,都有x2+2x+5≠0”.
13.设集合U={1,3a+5,a2+1},A={1,a+1}，且={5}，则a=___-2_____.
解:由UA={5}知5∈U且5A,若3a+5=5,则a=0,不合题意.若a2+1=5,则a=2或a=-2,当a=2时,A={1,3},不合题意.当a=-2时,A={1,-1},符合题意,故a=-2.
14.原命题：“设a,b,c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有__1___个.
解:∵“若ac2＞bc2,则a＞b”是真命题,∴逆否命题是真命题.又逆命题“若a＞b，则ac2＞bc2”是假命题,∴原命题的否命题也是假命题.
15.已知p:-4＜x-a＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是__［-1,6］____.
解:p:-4＜x-a＜4⇔a-4＜x＜a+4,q:(x-2)(3-x)＞0⇔2＜x＜3,又p是q的充分条件,即p⇒q,等价于q⇒p,所以,解得-1≤a≤6.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B,求实数a的取值范围.
解:A={0,-4},又A∩B=B,所以B⊆A.(1)B=Ø时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)＜0,得a＜-1;(2)B={0}或B={-4}时,把x=0代入x2+2(a+1)x+a2-1=0中得a=±1,把x=-4代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,得a=1或7,又因为Δ=0,得a=-1;
(3)B={0,-4}时，Δ=a+1＞0,,解得a=1.综上所述实数a=1或a≤-1.
17.(12分)设p:函数y=loga(x+1)(a＞0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减; q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围.
解:∵函数y=loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减,∴0＜a＜1,即p:0＜a＜1,∵曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,∴Δ＞0,即(2a-3)2-4＞0,解得a＜或a＞.即q:a＜或a＞.∵p∧q为假,p∨q为真,∴p真q假或p假q真,即或.解得≤a＜1或a＞.
18.(12分)已知p:-2≤x≤10，q:x2－2x+1－m2≤0(m＞0).若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解:∵p:－2≤x≤10,∴p：A={x|x＞10或x＜－2}.由q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),解得1－m≤x≤1+m(m＞0),
∴q：B={x|x＞1+m或x＜1－m}(m＞0).由p是q的必要而不充分条件可知：BA.
∴或，解得m≥9.∴满足条件的m的取值范围为m≥9.
19.(12分)求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.
证明:(1)充分性:∵0＜m＜,∴方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m＞0，且＞0,∴方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性:若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根,则有.∴0＜m＜.综合(1)(2)可知，方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.
20.(13分)已知p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,1］恒成立；q:不等式ax2+2x-1>0有解，若p为真，q为假，求a的取值范围.
解:∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,∴x1+x2=m,x1·x2=-2,∴|x1-x2|=,∴当m∈［-1,1］时,|x1-x2|max=3,由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,1］恒成立,可得：a2-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1①,若不等式ax2+2x-1>0有解,则当a>0时,显然有解,当a=0时,ax2+2x-1>0有解,当a<0时,∵ax2+2x-1>0有解,∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,所以不等式ax2+2x-1>0有解时a>-1.∴q假时a的范围为a≤-1②,
由①②可得a的取值范围为a≤-1.
21.(14分)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}.(1)当m<时，化简集合B；(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围；(3)若RA∩B中只有一个整数，求实数m的取值范围.
解:∵不等式x2-(2m+1)x+2m<0⇔(x-1)(x-2m)<0.(1)当m<时，2m<1,∴集合B={x|2m<x<1}.(2)若A∪B=A,则B⊆A,∵A={x|-1≤x≤2},①当m<时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1⇒-≤m<;②当m=时,B=Ø,有B⊆A成立;③当m>时,B={x|1<x<2m},此时1<2m≤2⇒<m≤1;综上所述,所求m的取值范围是-≤m≤1.(3)∵A={x|-1≤x≤2},∴RA={x|x<-1或x>2},①当m<时,B={x|2m<x<1},若RA∩B中只有一个整数,则-3≤2m<-2⇒-≤m<-1;②当m=时,不符合题意;③当m>时,B={x|1<x<2m},若RA∩B中只有一个整数,则3<2m≤4,∴<m≤2.综上知,m的取值范围是-≤m<-1或<m≤2.
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