第一章 单元质量评估(一).doc

第一章　单元质量评估(一)

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．设α是第二象限角，则可能是(　　)
A．第一、三象限角　　　 B．第二、三象限角
C．第二、四象限角 D．第三、四象限角
答案：A
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：∵角θ的终边过点(4，－3)，
∴cosθ＝.
∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－，故选B.
答案：B
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π－α)等于(　　)
A. B．±
C. D．－
答案：C
4．cos(π＋A)＝－，则sin为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos(π＋A)＝－cosA＝－，
∴cosA＝.
sin(＋A)＝cosA＝.
答案：B
5．若tanα＝2，则的值为(　　)
A. B．－
C. D.或
答案：C
6．已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵cos31°＝m，∴sin31°＝.
∵sin239°tan149°
＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)
＝(－cos31°)(－tan31°)
＝sin31°＝.
答案：A
7．函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝π
答案：A
8．下列坐标所表示的点不是函数y＝tan(－)的图象的对称中心的是(　　)
A．(，0) B．(－，0)
C．(，0) D．(，0)
答案：D
9．要得到y＝cos(－)的图象，只需将y＝sin的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：将y＝sin的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin(＋)的图象，而
y＝sin(＋)＝cos(－)
＝cos(－)，故选A.
答案：A
10．函数y＝logcos(－2x)的单调增区间是(　　)
A．[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)
B．[－＋kπ，kπ)(k∈Z)
C．[＋kπ，＋kπ](k∈Z)
D．[＋kπ，＋kπ)(k∈Z)
解析：原函数变形为y＝log(－sin2x)，定义域为(－＋kπ，kπ)(k∈Z)．要求y＝log(－sin2x)的单调增区间，只要求y＝sin2x的单调增区间即可，所以－＋2kπ≤2x<2kπ，解得－＋kπ≤x<kπ(k∈Z)，故选B.
答案：B
11．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(　　)

解析：三角函数的周期为T＝，当振幅大于1时，
∵|a|>1，∴T<2π.∵D的振幅大于1，但周期反而大于2π，∴D不符合要求．
答案：D
12.

右图为函数y＝f(x)的图象的一部分，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝sin2x－2
B．y＝2cos3x－1
C．y＝sin(2x－)－1
D．y＝1－sin(2x－)
解析：∵＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2.
图象可看作将函数y＝sin2x的图象向右平移＋个单位，再向上平移1个单位得到的，
故f(x)＝sin[2(x－－]＋1，
即f(x)＝sin(2x－－π)＋1
＝1－sin(2x－)．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z，0≤α≤2π)的形式为________
答案：－10π
14．设函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象与x轴的一个交点是，图象上到这个交点最近的最低点的坐标是，则此函数的表达式是__________．
解析：利用周期的四分之一，确定ω值，同时注意两关键点的位置，分别取值计算．两点中一个是图象与x轴交点，另一个是函数值的最小值点，所以T＝·＝－＝，∴ω＝2，且由最小值－3，知A＝3，此时y＝3sin(2x＋φ)．
∵>，且为最低点，
∴2×＋φ＝，即φ＝.
∴y＝3sin.
答案：y＝3sin
15．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝________.
解析：∵0<ω<1，x∈[0，]，
∴ωx∈[0，][0，]，
故f(x)max＝2sin＝，得sin＝，
即＝，所以ω＝.
答案：
16．有下列说法：
①函数y＝－cos2x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一直角坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中，正确的说法是________．
解析：对于①，y＝－cos2x的最小正周期T＝＝π，故①对；
对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；
对于③，作出y＝sinx与y＝x的图象，可知两个函数只有(0，0)一个交点，故③错；
对于④，y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度后，得y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin2x，故④对；
对于⑤，y＝sin(x－)＝－cosx，在[0，π]上为增函数，故⑤错．
答案：①④
三、解答题(共70分)
17．(本小题10分)已知扇形AOB的周长是8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求其圆心角的大小；
(2)求这个扇形面积取得最大值时，圆心角的大小和弦长AB.
解：(1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R，依题意有

解得θ＝或6.
即圆心角的大小为弧度或6弧度．
(2)设扇形所在圆的半径为x cm，则扇形的圆心角θ＝，于是扇形面积是S＝x2·＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.故当x＝2 cm时，S取得最大值．此时圆心角θ＝＝2弧度，弦长AB＝2·2sin1＝4sin1 cm.即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB＝4sin1 cm.
18．(本小题12分)已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sinαcosα＋2.
解：由＝－1，得tanα＝.
(1)＝＝＝－.
(2)sin2α＋sinαcosα＋2
＝sin2α＋sinαcosα＋2(cos2α＋sin2α)
＝
＝＝
＝.
19．(本小题12分)已知α是第三象限角，且
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝－cosα.
(2)∵cos(α－)＝cos(－α)
＝－sinα＝，
∴sinα＝－.又∵α是第三象限角，
∴cosα＝－＝－.
∴f(α)＝－(－)＝.
20．(本小题12分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ≤)在x∈(0，7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π时，ymin＝－3.
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数的单调递增区间．
解：(1)由题意得A＝3，T＝5π，∴T＝10π.
∴ω＝＝，∴y＝3sin(x＋φ)．
∵点(π，3)在此函数图象上，
∴3sin(＋φ)＝3.
∵0≤φ≤，∴φ＝－＝.
∴y＝3sin(x＋)．
(2)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，
即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ时，函数y＝3sin(x＋)单调递增，所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z)．
21．(本小题12分)已知f(x)＝2sin＋a＋1(a为常数)．
(1)求f(x)的递增区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取最大值时x的集合．
解：(1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
kπ－≤x≤π＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的递增区间为
[kπ－，kπ＋π]，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴2×1＋a＋1＝4，∴a＝1
(3)2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z.
∴使f(x)取得最大值时x的集合为
{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
22．(本小题12分)如下图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0，0≤θ≤)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．
解：(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cosθ＝.
∵0≤θ≤，∴θ＝.
∵T＝π，且ω>0，∴ω＝＝＝2.
(2)∵点A(，0)，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
∴点P的坐标为(2x0－，)．
∵点P在y＝2cos(2x＋)的图象上，且≤x0≤π，
∴cos(4x0－)＝，且≤4x0－≤.
∴4x0－＝，或4x0－＝.
∴x0＝，或x0＝.