勾股定理和勾股圆方图.doc

勾股定理

用四个全等直角三角形拼成的是三国时期数学家赵爽验证勾股定理时所用的"眩图',你能用它验证C2=A2+B2吗?把你的验证过程写出来.
勾股定理的证明，自古以来引起人们的极大兴趣，其证法至今已约有四百种之多，是几何定理中证法最多的一个。若将这些证法搜集在一起，足足可以编成一本厚厚的书哩！

勾股圆方图
图 1 
　　这意思是：在“弦图”内，以正方形的边为弦，作四个全等的直角三角形，得到图1（此图称为勾股圆方图）。赵爽称直角三角形的面积为“朱实”，中间小正方形的面积为“黄实”。设直角三角形的勾、股、弦分别为a、b、c，则ab为二个朱实，2ab为四个朱实，为黄实。四个朱实加上一个黄实就等于弦实。所以 。
化简，得 。

　　赵爽先巧妙地构造“弦图”，再经过简单的代数运算，获得几何问题的证明。真是构思精巧，证法直观、简捷、严谨，并融代数几何于一体，鲜明地体现了我国古代证题术的独特风格。

　　赵爽证法之妙，妙在“弦图”。“弦图”变化无穷，形状各异。我国古代用来证明勾股定理的“弦图”，已不下200种。你能设计一、二个“弦图”，证明勾股定理吗？

　　在赵爽之后不久，我国数学家刘徽（公元三世纪）更加巧妙地设计了一种“弦图”。

　　众所周知，勾股定理又可叙述为：直角三角形两条直角边上正方形的面积和，等于斜边上的正方形面积。据此，刘徽先作出分别以勾、股为边的正方形，依次涂上朱色、青色。并分别称为“朱方”、“青方”。然后，他利用出入相补原理。把图形分成若干块，将标有“朱出”、“青出”的那部分图形。移到标有“朱入”、“青入”的相应位置，便拼成了以弦为边的正方形，他称此正方形为“弦方”。这样便得到了一个“弦图”，这就是人们所说的“青朱出入图”（图2）。

　　图形经过一番移拼，出入相补，依面积关系有：
朱方+青方=弦方。
　　即   。

　　不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现在人们面前。这是多么神奇的“青朱出入图”啊！无怪乎数学大师华罗庚提议，将这幅图给“外星人”。

珠朱出入图
图 2

　　倘若将这幅只涂有颜色，而没有文字和符号的“青朱出入图”送给了“外星人”