第一部分专题一第二讲专题针对训练.doc

一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝x－2　　　　　　　　 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A.∵y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．
2．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
解析：选B.由于f(x)＝1＋的图象可看作是将函数y＝的图象向上平移一个单位长度所得到的，而函数y＝是奇函数，其图象关于原点对称，因此f(x)＝1＋的图象的对称中心是点(0,1)，选B.
3．已知f(x)＝，则下列函数的图象错误的是(　　)

解析：选D.先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．综上所述，选D.
4．(2011年高考湖北卷)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝(　　)
A．2 B.
C. D．a2
解析：选B.∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①
得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.
5．(2011年高考山东卷)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B.∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5.x7＝6也是f(x)＝0的根．
故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.
二、填空题
6．函数y＝x－log2(x＋2)在[－1,1]上的最大值为________．
解析：函数y＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f(－1)＝3.
答案：3
7．若函数y＝ax2－2ax(a≠0)在区间[0,3]上有最大值3，则a的值是________．
解析：∵函数y＝ax2－2ax＝a(x－1)2－a的对称轴为定直线x＝1，且1∈[0,3]，由抛物线开口方向分两种情况讨论：
当a>0时，抛物线开口方向向上，
由ymax＝f(3)＝9a－6a＝3a＝3，得a＝1；
当a<0时，抛物线开口方向向下，
由ymax＝f(1)＝－a＝3，得a＝－3.
答案：1或－3
8．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．
解析：g(x)的零点个数不为零，即f(x)图象与直线y＝a的交点个数不为零，画出f(x)的图象可知，a的最小值为1.
答案：1
三、解答题
9．设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝2ax＋(a为实数)．
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；
(2)当a>－1时，试判断f(x)在区间(0,1]上的单调性并证明你的结论．
解：(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)，f(－x)＝－2ax＋.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．
(2)f′(x)＝2a＋＝2.
∵a>－1，x∈(0,1]，≥1，a＋>0.
∴f′(x)>0，∴f(x)在区间(0,1]上是单调递增的．
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)零点的个数；
(2)若∀x1，x2∈R，且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，试证明∃x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立．
解：(1)∵f(－1)＝0，
∴a－b＋c＝0，b＝a＋c.
∵Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2，
当a＝c时Δ＝0，函数f(x)有一个零点；
当a≠c时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．
(2)证明：令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则
g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2<0.(∵f(x1)≠f(x2))．
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一个实根，
即∃x0∈(x1，x2)，
使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立．
11．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：
y＝，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．若该项目不获利，国家将给予补偿．
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，
则S＝200x－
＝－x2＋400x－80000＝－(x－400)2.
所以当x∈[200,300]时，S<0.
因此，该项目不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5000，所以国家每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
＝.
①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5040＝(x－120)2＋240，
∴当x＝120时，取得最小值240；
②当x∈[144,500)时，＝x＋－200≥ 2 －200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.
∵200<240.∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．