共顶点的全等三角形图形在解题中的应用.docx

共顶点的双等角三角形全等图形在解题中的应用
【教学目标】 ：
1.理解并掌握“共顶点的双等角三角形全等图形”基本图形；
2.能从复杂的图形中识别“共顶点的双等角三角形全等图形”基本图形，并进行解决简单问题；
3.经历提炼“共顶点的双等角三角形全等图形”基本图形的过程，从中培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.
【重点难点】 ：
重点： “共顶点的双等角三角形全等图形”基本图形；
难点：从复杂的图形中识别“共顶点的双等角三角形全等图形”基本图形.
【教学过程】 ：
一、建构模型
1.原题再现
如图1，已知∠AOB=∠COD=Rt∠.指出图中还有哪些相等的角，并说明理由（七年级上6.8余角与补角例1）.
2.变式研究
①在前面的基础上添加OA=OB,OC=OD得到图2，你能得到什么结论？
②如图3，将∠AOB=∠COD=Rt∠改为∠AOB=∠COD=60°，上述结论还成立吗？改为任意角度呢（图4）？
C
D
B
O
A
D
C
O
B
A
D
C
B
O
A
C
D
B
O
A
图1
图2
图3
图4
3.图形提炼
共顶点的双等角三角形全等基本图形特征：
△AOC≌△BOD
二、图形应用
问题1：找出下列图形中的全等三角形
①如图5，四边形ADFB和ACGE都是正方形，B，A，C在同一条直线上，连接BE，DC,点E在AD边上．
②如图6，已知∠DAC为锐角，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.
问题2：将前图中的正方形AEGC绕着点A按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到图7情形．
求证：DC ⊥ BE
图5
图6
图7
图8

问题3：（数学思考）如图8，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD.CD与BE是否相等.
问题3：（数学应用）运用前面问题所积累的知识与经验，完成下题：
如图9，要测量池塘两岸相对的点B，E的距离，已经测得∠ABC=30°，∠CAE=60°，AB=60米，BC=80米，AC=CE，求BE的长.

三、图形变式
问题4：如图，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．找出图中的全等三角形,并说明理由.

共顶点的双等角三角形全等基本图形特征： u
△AOC≌△BOD
问题5：某兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.
（1）求证：DP=DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并给予证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB:AP=3:4，请帮小明算出△DEP的面积.
E
A
P
B
C
D
Q
E
Q
D
C
B
P
A
Q
D
C
B
P
A

E
A
D
F
C
B
G

问题6：如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，将一块直角三角板的直角顶点与点E重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
求证：EF＝EG
四、小结反思
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