一-三节点三角形单元.doc

有限元课程总结
一 三节点三角形单元
1位移函数
移函数写成矩阵形式为：

确定六个待定系数
x
z
y
i
j
m
n

矩阵形式如下：

2 单元刚度矩阵的计算
1）单元应变和节点位移的关系
由几何方程可以得到单元的应变表达式，

2）单元应力与单元节点位移的关系

3) 单元刚度矩阵

3载荷移置

1)集中力的移置
如图3所示，在单元内任意一点作用集中力

图3
由虚功相等可得，

由于虚位移是任意的，则
2)体力的移置
令单元所受的均匀分布体力为
由虚功相等可得，

3)分布面力的移置
设在单元的边上分布有面力，同样可以得到结点载荷，

4. 引入约束条件，修改刚度方程并求解
1)乘大数法处理边界条件
图3-4所示的结构的约束和载荷情况，如图3-7所示。结点1、4上有水平方向的位移约束，结点4、6上有垂直方向的约束，结点3上作用有集中力。

图3-7
整体刚度矩阵[K]求出后，结构上的结点力可以表示为：

根据力的平衡，结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。用表示结点载荷和支杆反力，则可以得到结点的平衡方程：
（3-4）
这样构成的结点平衡方程组，在右边向量{P}中存在未知量，因此在求解平衡方程之前，要根据结点的位移约束情况修改方程（3-4）。先考虑结点n有水平方向位移约束，与n结点水平方向对应的平衡方程为：
（3-5）
根据支承情况，方程（3-5）应该换成下面的方程： （3-6）
对比公式（3-5）和（3-6），在式（3-4）中应该做如下修正：
在[K]矩阵中，第2n-1行的对角线元素改为1，该行中全部非对角线元素改为0；在{P}中，第2n-1个元素改为0。为了保持[K]矩阵的对称性，将第2n-1列的全部非对角元素也改为0。
同理，如果结点n在垂直方向有位移约束，则（3-4）中的第2n个方程修改为，

在[K]矩阵中，第2n行的对角线元素改为1，该行中全部非对角线元素改为0；在{P}中，第2n个元素改为0。为了保持[K]矩阵的对称性，将第2n列的全部非对角元素也改为0。

对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式，

如果结点n处存在一个已知非零的水平方向位移，这时的约束条件为，
（3-7）
在[K]矩阵中，第2n-1行的对角线元素乘上一个大数A，向量{P}中的对应换成，其余的系数保持不变。
方程改为，
（3-8）
A的取值要足够大，例如取1010。只有这样，方程（3-8）才能与方程（3-7）等价。
二 四面体单元
如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i, j, m, n。每个结点的位移具有三个分量u, v, w。这样单元结点的位移列阵可表示成：

x
z
y
i
j
m
n

图 1 空 间 四 面 体 单 元
单元的位移模式采用线性多项式

式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标（xi, yi, zi）、（xj, yj, zj）、（xm, ym, zm）、（xn, yn, zn）和结点位移（ui, vi, wi）、（uj, vj, wj）、（um, vm, wm）、（un, vn, wn）代入（2）式可得12个联立方程，解方程组便可求出。将这十二个系数回代到（2）式，则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式：

式中，[I]为三阶单位阵，[N]为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系。
1 单元应变和应力
知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单元内该点的应变。

其中

( i, j, m, n)

单元的应力列阵：

式中：[S]为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：

（i, j, m, n）

其中

2 单刚矩阵
对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵

其中：[K]e为单元刚度矩阵

写成分块形式为

式中子矩阵[ Krs]由下式计算

可以看出， 单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的，是一个常数矩阵。如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点，再经过类似于平面问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程

三 平面四节点四边形单元
矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高位的模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。
矩形单元1234如图3-1所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x，y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。

图3-1
矩形单元1234

在局部坐标系中，节点i的坐标是(xi , hi )，其值分别为±1。取位移模式

由几何方程可以求得单元的应变

对于平面应力问题

若将单元刚度矩阵写成分块形式

则其中的子矩阵可按下式进行计算

如果单元厚度t是常量，则

　同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、m分别换成E / 1-m 2 和m / 1-m 即可。
四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为

四 8节点六面体单元分析
一、形函数与坐标变换
1）形函数

2) 坐标变换

3）位移插值函数与几何矩阵

三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量

写成矩阵形式有：

单元刚度矩阵可以表示为：

进一步写成数值积分形式为：

单元体力载荷向量可以表示为

五 其他常用单元位移函数和自由度

单元名称及
适用情况
单元图形

杆单元
桁架

位移模式
平面梁单元
平面刚架

平面三角形单元
平面应力或应变

平面四边形单元
平面应力或应变

矩形板单元
薄板弯曲问题

三角形板单元
薄板弯曲问题

四面体单元
三维应力

六面体单元
三维应力

有限元中，梁单元的节点有6个自由度，壳单元节点有5个自由度，而体单元节点有3个自由度。