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一-三节点三角形单元.doc

上传人:仙人****88 文档编号:6073983 上传时间:2024-11-27 格式:DOC 页数:13 大小:396.05KB 下载积分:10 金币
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资源描述
有限元课程总结 一 三节点三角形单元 1位移函数 移函数写成矩阵形式为: 确定六个待定系数 x z y i j m n 矩阵形式如下: 2 单元刚度矩阵的计算 1)单元应变和节点位移的关系 由几何方程可以得到单元的应变表达式, 2)单元应力与单元节点位移的关系 3) 单元刚度矩阵 3载荷移置 1)集中力的移置 如图3所示,在单元内任意一点作用集中力 图3 由虚功相等可得, 由于虚位移是任意的,则 2)体力的移置 令单元所受的均匀分布体力为 由虚功相等可得, 3)分布面力的移置 设在单元的边上分布有面力,同样可以得到结点载荷, 4. 引入约束条件,修改刚度方程并求解 1)乘大数法处理边界条件 图3-4所示的结构的约束和载荷情况,如图3-7所示。结点1、4上有水平方向的位移约束,结点4、6上有垂直方向的约束,结点3上作用有集中力。 图3-7 整体刚度矩阵[K]求出后,结构上的结点力可以表示为: 根据力的平衡,结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。用表示结点载荷和支杆反力,则可以得到结点的平衡方程: (3-4) 这样构成的结点平衡方程组,在右边向量{P}中存在未知量,因此在求解平衡方程之前,要根据结点的位移约束情况修改方程(3-4)。先考虑结点n有水平方向位移约束,与n结点水平方向对应的平衡方程为: (3-5) 根据支承情况,方程(3-5)应该换成下面的方程: (3-6) 对比公式(3-5)和(3-6),在式(3-4)中应该做如下修正: 在[K]矩阵中,第2n-1行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为0;在{P}中,第2n-1个元素改为0。为了保持[K]矩阵的对称性,将第2n-1列的全部非对角元素也改为0。 同理,如果结点n在垂直方向有位移约束,则(3-4)中的第2n个方程修改为, 在[K]矩阵中,第2n行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为0;在{P}中,第2n个元素改为0。为了保持[K]矩阵的对称性,将第2n列的全部非对角元素也改为0。 对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式, 如果结点n处存在一个已知非零的水平方向位移,这时的约束条件为, (3-7) 在[K]矩阵中,第2n-1行的对角线元素乘上一个大数A,向量{P}中的对应换成,其余的系数保持不变。 方程改为, (3-8) A的取值要足够大,例如取1010。只有这样,方程(3-8)才能与方程(3-7)等价。 二 四面体单元 如图1所示的四面体单元,单元结点的编码为i, j, m, n。每个结点的位移具有三个分量u, v, w。这样单元结点的位移列阵可表示成: x z y i j m n 图 1 空 间 四 面 体 单 元 单元的位移模式采用线性多项式 式中,为待定系数,由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标(xi, yi, zi)、(xj, yj, zj)、(xm, ym, zm)、(xn, yn, zn)和结点位移(ui, vi, wi)、(uj, vj, wj)、(um, vm, wm)、(un, vn, wn)代入(2)式可得12个联立方程,解方程组便可求出。将这十二个系数回代到(2)式,则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式: 式中,[I]为三阶单位阵,[N]为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系。 1 单元应变和应力 知道单元内任意一点位移后,可利用几何方程确定单元内该点的应变。 其中 ( i, j, m, n) 单元的应力列阵: 式中:[S]为四面体单元的应力矩阵,其分块形式为: (i, j, m, n) 其中 2 单刚矩阵 对于四面体单元,利用虚功原理,采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵 其中:[K]e为单元刚度矩阵 写成分块形式为 式中子矩阵[ Krs]由下式计算 可以看出, 单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的,是一个常数矩阵。如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点,再经过类似于平面问题的组集过程,就可以得到弹性空间问题的平衡方程 三 平面四节点四边形单元 矩形单元也是一种常用的单元,它采用了比常应变三角形单元次数更高位的模式,因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。 矩形单元1234如图3-1所示,其边长分别为2a和2b,两边分别平行于x,y轴。若取该矩形的四个角点为节点,因每个节点位移有两个分量,所以矩形单元共有8个自由度。 图3-1 矩形单元1234 在局部坐标系中,节点i的坐标是(xi , hi ),其值分别为±1。取位移模式 由几何方程可以求得单元的应变 对于平面应力问题 若将单元刚度矩阵写成分块形式 则其中的子矩阵可按下式进行计算 如果单元厚度t是常量,则  同样,对于平面应变问题,只要将上式中的E、m分别换成E / 1-m 2 和m / 1-m 即可。 四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为 四 8节点六面体单元分析 一、形函数与坐标变换 1)形函数 2) 坐标变换 3)位移插值函数与几何矩阵 三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量 写成矩阵形式有: 单元刚度矩阵可以表示为: 进一步写成数值积分形式为: 单元体力载荷向量可以表示为 五 其他常用单元位移函数和自由度 单元名称及 适用情况 单元图形 杆单元 桁架 位移模式 平面梁单元 平面刚架 平面三角形单元 平面应力或应变 平面四边形单元 平面应力或应变 矩形板单元 薄板弯曲问题 三角形板单元 薄板弯曲问题 四面体单元 三维应力 六面体单元 三维应力 有限元中,梁单元的节点有6个自由度,壳单元节点有5个自由度,而体单元节点有3个自由度。
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