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有限元课程总结
一 三节点三角形单元
1位移函数
移函数写成矩阵形式为:
确定六个待定系数
x
z
y
i
j
m
n
矩阵形式如下:
2 单元刚度矩阵的计算
1)单元应变和节点位移的关系
由几何方程可以得到单元的应变表达式,
2)单元应力与单元节点位移的关系
3) 单元刚度矩阵
3载荷移置
1)集中力的移置
如图3所示,在单元内任意一点作用集中力
图3
由虚功相等可得,
由于虚位移是任意的,则
2)体力的移置
令单元所受的均匀分布体力为
由虚功相等可得,
3)分布面力的移置
设在单元的边上分布有面力,同样可以得到结点载荷,
4. 引入约束条件,修改刚度方程并求解
1)乘大数法处理边界条件
图3-4所示的结构的约束和载荷情况,如图3-7所示。结点1、4上有水平方向的位移约束,结点4、6上有垂直方向的约束,结点3上作用有集中力。
图3-7
整体刚度矩阵[K]求出后,结构上的结点力可以表示为:
根据力的平衡,结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。用表示结点载荷和支杆反力,则可以得到结点的平衡方程:
(3-4)
这样构成的结点平衡方程组,在右边向量{P}中存在未知量,因此在求解平衡方程之前,要根据结点的位移约束情况修改方程(3-4)。先考虑结点n有水平方向位移约束,与n结点水平方向对应的平衡方程为:
(3-5)
根据支承情况,方程(3-5)应该换成下面的方程: (3-6)
对比公式(3-5)和(3-6),在式(3-4)中应该做如下修正:
在[K]矩阵中,第2n-1行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为0;在{P}中,第2n-1个元素改为0。为了保持[K]矩阵的对称性,将第2n-1列的全部非对角元素也改为0。
同理,如果结点n在垂直方向有位移约束,则(3-4)中的第2n个方程修改为,
在[K]矩阵中,第2n行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为0;在{P}中,第2n个元素改为0。为了保持[K]矩阵的对称性,将第2n列的全部非对角元素也改为0。
对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式,
如果结点n处存在一个已知非零的水平方向位移,这时的约束条件为,
(3-7)
在[K]矩阵中,第2n-1行的对角线元素乘上一个大数A,向量{P}中的对应换成,其余的系数保持不变。
方程改为,
(3-8)
A的取值要足够大,例如取1010。只有这样,方程(3-8)才能与方程(3-7)等价。
二 四面体单元
如图1所示的四面体单元,单元结点的编码为i, j, m, n。每个结点的位移具有三个分量u, v, w。这样单元结点的位移列阵可表示成:
x
z
y
i
j
m
n
图 1 空 间 四 面 体 单 元
单元的位移模式采用线性多项式
式中,为待定系数,由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标(xi, yi, zi)、(xj, yj, zj)、(xm, ym, zm)、(xn, yn, zn)和结点位移(ui, vi, wi)、(uj, vj, wj)、(um, vm, wm)、(un, vn, wn)代入(2)式可得12个联立方程,解方程组便可求出。将这十二个系数回代到(2)式,则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式:
式中,[I]为三阶单位阵,[N]为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系。
1 单元应变和应力
知道单元内任意一点位移后,可利用几何方程确定单元内该点的应变。
其中
( i, j, m, n)
单元的应力列阵:
式中:[S]为四面体单元的应力矩阵,其分块形式为:
(i, j, m, n)
其中
2 单刚矩阵
对于四面体单元,利用虚功原理,采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵
其中:[K]e为单元刚度矩阵
写成分块形式为
式中子矩阵[ Krs]由下式计算
可以看出, 单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的,是一个常数矩阵。如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点,再经过类似于平面问题的组集过程,就可以得到弹性空间问题的平衡方程
三 平面四节点四边形单元
矩形单元也是一种常用的单元,它采用了比常应变三角形单元次数更高位的模式,因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。
矩形单元1234如图3-1所示,其边长分别为2a和2b,两边分别平行于x,y轴。若取该矩形的四个角点为节点,因每个节点位移有两个分量,所以矩形单元共有8个自由度。
图3-1
矩形单元1234
在局部坐标系中,节点i的坐标是(xi , hi ),其值分别为±1。取位移模式
由几何方程可以求得单元的应变
对于平面应力问题
若将单元刚度矩阵写成分块形式
则其中的子矩阵可按下式进行计算
如果单元厚度t是常量,则
同样,对于平面应变问题,只要将上式中的E、m分别换成E / 1-m 2 和m / 1-m 即可。
四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为
四 8节点六面体单元分析
一、形函数与坐标变换
1)形函数
2) 坐标变换
3)位移插值函数与几何矩阵
三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量
写成矩阵形式有:
单元刚度矩阵可以表示为:
进一步写成数值积分形式为:
单元体力载荷向量可以表示为
五 其他常用单元位移函数和自由度
单元名称及
适用情况
单元图形
杆单元
桁架
位移模式
平面梁单元
平面刚架
平面三角形单元
平面应力或应变
平面四边形单元
平面应力或应变
矩形板单元
薄板弯曲问题
三角形板单元
薄板弯曲问题
四面体单元
三维应力
六面体单元
三维应力
有限元中,梁单元的节点有6个自由度,壳单元节点有5个自由度,而体单元节点有3个自由度。
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