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1数学物理方法第十章作业参考解答数学物理方法第十章作业参考解答 1半径为 a 的半圆形薄板，板面绝热，在直径边界上温度保持零度，而在半圆周上保持恒温0u。求板内的稳定温度分布。解：定解问题()=+=,求解着静电场。解：以球心为原点，极轴过点电荷取球坐标系，则静电场与无关。球外任意一点),(r的电势),(ru为点电荷产生的电势和球上感应电荷产生的电势的迭加，即),(cos2),(22rvrddrqru+=，其中),(rv为感应电荷产生的势场。),(rv满足Laplace方程。如果设导体球的电势为0u，则cos2220addaquvar+=因此，),(rv所满足的定界问题为=+=0,cos202202rarvaddaquvv 令)()(),(=rRrv，代入方程且乘以Rr2得，()()1(sinsin112+=llRrR 从而有，0)1(22=+RllRrRr，0)1(sincos=+ll 记x=cos，)()(xy=，得()0)1(212=+yllyxyx，l阶Legendre方程，它与自然边界条件)(),0(有界，即1)(=xxy有界，构成本征值问题。它的本征值和本征函数分别为)1(+=lll，)()(xPxyl=()L,2,1,0=l 对应每一个本征值，方程0)1(22=+RllRrRr的解为 611)(+=lllllrDrCrR 方程的一般解为:)(cos)1(),(10llllllPrDrCrv+=+=由0=rv，所以0=lC，因此)(cos1),(1lllPrDrv+=由边界条件cos2220addaquvar+=，得)(cos)(cos2)(cos1),(1002201llllllarPdaaquaddaquPaDrv+=+=+=比较系数，可得()L,ldaqDdqaauDlll21 ,11200=+所以，=+=011120)(cos),(lllllPrdaqraurv 222402201112022cos21cos2)(coscos2),(drardaqaraurddrqPrdaqraurddrqrulllll+=+=+