限时集训(二十三)-解三角形应用举例.doc

限时集训(二十三)　解三角形应用举例

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为________．
2．(2013·新沂检测)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________km.
3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.
4．(2012·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是________km.
5．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
6.如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为________m(精确到0.1 m)．

7.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________m.
8．(2013·镇江期中)某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是________ m.
9．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为R2tan α，则按图二作出的矩形面积的最大值为________．

10.如图，已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向，在B处看见塔在正东方向，在点C处看见塔在南偏东60°方向，则塔到直路ABC的最短距离为________ km.
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

12．(满分14分)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．

13．(满分16分)为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB＝15 m，在A处看到着火点的仰角为60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？

14．(满分16分)(2012·南京四校联考)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．

答案

[限时集训(二十三)]
1．解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或
2.
答案：或2
2．解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝2a2－2a2×＝3a2，
故AB＝a.
答案：a
3．解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案：50
4．解析：如图，由条件知
AB＝24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，
所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝sin 30°＝3.
答案：3
5．解析：由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理
BC＝·sin∠BAC＝·sin 30°＝＝15(＋)．
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
答案：无
6．解析：∵在△ACE中，
tan 30°＝＝.
∴AE＝ m.
∵在△AED中，tan 45°＝＝，
∴AE＝ m，∴＝，∴CM＝＝10(2＋)≈37.3 m.
答案：37.3
7．解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，
∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，
∴＝.∴x＝ m.
答案：
8．解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，
∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.
由正弦定理知，＝，
解得AO＝ m.
答案：
9．解析：将图二中扇形的旋转后如右图所示，则由图一的结论可知矩形ABCD，CDEF最大面积均为R2tan ，故矩形ABEF最大面积为R2tan .
答案：R2tan
10．解析：法一：设∠BAM＝θ，则
在ΔCBM中，由正弦定理得，
＝，即＝2.①
在△BAM中，由正弦定理得，
＝，即＝.②
由①②得＝，即MC＝MA.
由余弦定理得MA2＝.
由面积关系得AC·h＝MA2·
sin 75°.解得h＝·＝(km)．
法二：以点B为坐标原点，BM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
设M(a,0)，A(b，c)，则C(－b，－c)
可得解得c2＝.
又kAB＝＝－(1＋)，故直线AB的方程为(1＋)x＋y＝0.设点M到直线AB的距离为MD，则MD2＝，所以MD＝.
答案：
11．解：(1)如图所示，连结MP.依题意，
有A＝2，＝3.
∵T＝，∴ω＝.
∴y＝2sinx.
当x＝4时，y＝2sin＝3，
∴M(4,3)．
又P(8,0)，∴MP＝＝5km.
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，
设∠PMN＝θ，则0°＜θ＜60°.
∵由正弦定理得＝＝，
∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)，
故NP＋MN＝sin θ＋
sin(60°－θ)＝
＝sin(θ＋60°)．
∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，NP＋MN最大，即将∠PMN设计为30°时，才能使折线赛道MNP最长．
12．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M，
DF＝

＝
＝10，
DE＝

＝＝130，
EF＝
＝＝150.
在△DEF中，由余弦定理得，
cos∠DEF＝＝
＝.
13．解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°，
由正弦定理得＝，
解得AC＝15 m.
又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，
CD＝15，
sin 105°＝sin(45°＋60°)＝.
由正弦定理得＝，
解得BC＝ m.
由勾股定理可得BD＝＝
15 m，
综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m，15 m.
14．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝
14海里/小时．
(2)法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，
BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sin α＝＝＝.
法二：在△ABC中，因为AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，
由余弦定理，得cos α＝
，
即cos α＝＝.
因为α为锐角，所以sin α＝＝ ＝.