限时集训(二十三)-解三角形应用举例.doc

限时集训(二十三)解三角形应用举例(限时：60分钟满分：110分)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为_2(2013新沂检测)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_km.3一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.4(2012永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是_km.5某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船_触礁的危险(填“有”或“无”)6.如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为_m(精确到0.1 m)7.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_m.8(2013镇江期中)某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是_ m.9已知扇形的圆心角为2(定值)，半径为R(定值)，分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为R2tan ，则按图二作出的矩形面积的最大值为_10.如图，已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45方向，在B处看见塔在正东方向，在点C处看见塔在南偏东60方向，则塔到直路ABC的最短距离为_ km.二、解答题(本大题共4小题，共60分)11(满分14分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsin x(A0，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？12(满分14分)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值13(满分16分)为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB15 m，在A处看到着火点的仰角为60，ABC30，BAC105，求两支水枪的喷射距离至少是多少？14(满分16分)(2012南京四校联考)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值答案限时集训(二十三)1解析：如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2.答案：或22解析：利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 1202a22a23a2，故ABa.答案：a3解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：504解析：如图，由条件知AB246.在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BSsin 303.答案：35解析：由题意在三角形ABC中，AB30，BAC30，ABC135，ACB15，由正弦定理BCsinBACsin 3015()在RtBDC中，CDBC15(1)38.答案：无6解析：在ACE中，tan 30.AE m.在AED中，tan 45，AE m，CM10(2)37.3 m.答案：37.37解析：由题知，CBA75，BCA45，BAC180754560，.x m.答案： 8解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45，AOB75，所以OAB60.由正弦定理知，解得AO m.答案：9解析：将图二中扇形的旋转后如右图所示，则由图一的结论可知矩形ABCD，CDEF最大面积均为R2tan ，故矩形ABEF最大面积为R2tan .答案：R2tan 10解析：法一：设BAM，则在CBM中，由正弦定理得，即2.在BAM中，由正弦定理得，即.由得，即MCMA.由余弦定理得MA2.由面积关系得AChMA2sin 75.解得h(km)法二：以点B为坐标原点，BM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设M(a,0)，A(b，c)，则C(b，c)可得解得c2.又kAB(1)，故直线AB的方程为(1)xy0.设点M到直线AB的距离为MD，则MD2，所以MD.答案：11解：(1)如图所示，连结MP.依题意，有A2，3.T，.y2sinx.当x4时，y2sin3，M(4,3)又P(8,0)，MP5km.(2)在MNP中，MNP120，MP5，设PMN，则060.由正弦定理得，NPsin ，MNsin(60)，故NPMNsin sin(60)sin(60)060，当30时，NPMN最大，即将PMN设计为30时，才能使折线赛道MNP最长12解：作DMAC交BE于N，交CF于M，DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理得，cosDEF.13解：在ABC中，可知ACB45，由正弦定理得，解得AC15 m.又CAD60，AD30，CD15，sin 105sin(4560).由正弦定理得，解得BC m.由勾股定理可得BD15 m，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m，15 m.14解：(1)依题意，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos BAC12220221220cos 120784.解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/小时(2)法一：在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得.即sin .法二：在ABC中，因为AB12，AC20，BC28，BCA，由余弦定理，得cos ，即cos .因为为锐角，所以sin .