平行四边形及综合题.doc

平行四边形 及习题
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
基本信息
· 中文名称
平行四边形
· 外文名称
parallelogram
· 面积公式
S =a h

· 周长公式
C = 2（a+b）
· 公式说明
a 为 底边，b为腰，h 为 高
折叠编辑本段​性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）　
性质
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形对边相等”。）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形对角相等”。）
（ 3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补
（简述为“平行四边形邻角互补”。）
（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分”。）
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形(推论）。
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）
（8）过平行四边形对角线交点的线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
（10）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和。
（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
（15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。
（16）平行四边形具有不稳定性。
折叠编辑本段周长
平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2*(a+b) 底×1X高。
折叠编辑本段面积

（1）平行四边形的面积公式：底×高（推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah
（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，s表示两边的夹角正弦值，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*s
判定
判定前提：在同一平面内
判定内容：
　   （1）两组对边分别平行而且相等的四边形是平行四边形；

　   （2）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
      （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
       （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
。
公式说明
如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah
主要类别
1、平行四边形属于平面图形。
2、平行四边形属于四边形。
3、平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。
4、平行四边形是属于中心对称图形，不是轴对称图形。
特殊
　1、平行四边形+直角=矩形
    2、平行四边形+一组邻边相等=菱形
    3、平行四边形+直角+一组邻边相等=正方形
折叠矩形
　1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
    2.性质：（1）矩形的四个角都是直角
  （2）矩形的对角线相等
  （3）具备平行四边形的性质
    3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
  （2）对角线相等的平行四边形是矩形
  （3）三个角是直角的四边形是矩形
折叠菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.性质：（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四边相等的四边形是菱形
（4） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
折叠正方形
1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.性质：既具备矩形的性质，又具备菱形的性质
3.判定：　1：对角线相等的菱形是正方形。 2：有一个角为直角的菱形是正方形。
3：对角线互相垂直的矩形是正方形。 4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

专题：特殊的平行四边形
1、在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连PA，分别过B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足为E、F。（如图）
（1）探索BE、DF、EF这三条线段具有怎样的数量关系？写出你的结论，并加以证明；
（2）若将（1）中“点P是CD上一动点”改为“P是CD延长线上一动点”其他条件不变，请画出图形，并写出BE、DF、EF三条线段之间的数量关系。（不需要证明）

2、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
E
G
图②
D
F
B
A
C
E
图③
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作，垂足为M，交的平分线于点N。
（1）写出点C的坐标；
（2）求证：MD=MN；
（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明。

4、如图1，正方形ABCD的对角线相交于O，过O作分别交DC于E，BC于F，的平分线交直线AC于P。
（1）OE与OP的数量关系是 。
（2）写出线段EF、PC、BC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，当绕O点逆时针旋转一个角度，使E、F落在CD、BC的延长线上，请完成图形并判断（2）中的结论是否正确？若不成立，写出相应的结论。

5、和分别是以AB、AE为底的等腰直角三角形，以CE、CB为边作CEHB，连DC、CH。
（1）如图1，当点D在AB上时，CH和CD之间有何数量关系，并说明理由；
（2）将图1中的绕A点逆时针旋转45°，的图2，则CH和CD之间的数量关系为 ；
（3）将图1中的绕A点顺时针旋转（0°＜＜45°）得图3，请探究CH与CD之间的数量关系，并证明。

6、如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在直线AB上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与的平分线所在直线BF相交于点F.
（1）如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想.
图3

图2
图1

（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系（不必证明）.
（3）如图3，当点E在AB边反向延长线上时，DE与EF还有（2）中的数量关系吗？说明你的理由.

7、两个大小不同的等边和等边如图摆放，连接AE、BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BD、ED、AE的中点。
（1）判断四边形MNPQ的形状，并证明你的结论；
（2）将上图中的等边绕点C顺时针旋转角度（60°＜＜360°）时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由。

8、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB＜BC)的对角线交点O旋转（①→②→③）图中M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。
（1）该学习小组成员意外地发现在图①（三角板的一直角边与CD重合）中，BN2=CD2+CN2,在图③中（三角板的一边与OC重合）中CN2=BN2+CD2,请你对这名成员在图①和图③中发现的结论，选择其一说明理由。
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。
（3）将矩形ABCD改为正方形ABCD，直角三角板直角顶点绕O旋转至图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N,直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间满足的数量关系。（不需证明）

9、如图1，在平面直角坐标系中，A（-6，0），B（0，2）、C（-4，4），AC=，双曲线经过点C，连接BC。
（1）求k的值；

（2）如图2，若点M的坐标为（-3，1），点E、F分别在BC、CA的延长线上，且BE=CF，求的值；

（3）如图3，点Q为双曲线上一点，过Q作轴于N，NQ交OC的延长线于S，是否存在这样的点Q使？若存在，求Q点坐标；若不存在，说明理由。