Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题.pdf

Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题丁玮麒，顾海波*（新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017）摘要：文章研究了在非局部条件下Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型问题。通过使用Banach压缩映射原理和Schaefer不动点定理给出了问题解的存在唯一性条件。关键词：Hilfer-Katugampola分数阶导数；模糊数；Volterra-Fredholm型；解的存在唯一性中图分类号：O175.6文献标识码：A文章编号：1008-9659（2023）03-0013-13近几十年，模糊分析和模糊微分方程理论吸引了大批数学家，该领域的研究已成为不确定理论和不确定微分方程中最重要的课题之一。动力系统受到不精确、模糊和不完整信息等不确定因素的影响，而不精确、模糊则表现出具有长期记忆或遗传效应的非标准动态行为。由于分数阶参数积分是有非局部性和记忆性，因此分数阶模糊微分方程模型比经典的整数阶模型更实用，并且引起了众多研究者的关注1-2。2013年，Allahviranloo等人研究了如下模糊分数阶Volterra-Fredholm积分微分方程问题解的存在唯一性 3：CgHDq*u()t=f()t,u()t,Ku()t,Hu()t,t J=t0,Tu()t0=u0 RF其中CgHDq*u()t 是Caputo分数阶广义 Hukuhara 导数，q(0,1,f:J RF RF RF RF 在 t 中是连续的，它满足下列假设：Ku()t=t0tk()t,s u()s ds,Hu()t=t0th()t,s u()s ds其中K,H:J J E2020年，Chen等人研究了下列Hilfer-Katugampola分数阶模糊微分方程在非局部条件下解的存在唯一性 4：(D,a+x)()t=f()t,x()t,t J=a,b (I1-a+x)()a=x0=i=1mCiu()ti,=+()1-其中，I1-a+,D,a+，是Hilfer-Katugampola型分数阶积分和导数，u R,0 a 0，f:a,b E E是模糊函数ti()i=0,1,m满足 a t0 t1 tm 0,()0,1,f:a,b E E E E是模糊函数，ti()i=0,1,m 满足 a t0 t1 tm 0 是紧的。记C()a,b,E 表示区间 a,b 上所有连续模糊函数的集合；AC()a,b,E 表示区间 a,b 上所有绝对连续模糊函数的集合；L()a,b,E 表示满足函数 t du()t,0 La,b ，且属于 La,b 的模糊函数 u:a,b E 构成的集合。定义1.2 令()0,1,C1-()a,b,E =f:(a,b E|()t-a1-f(t)C()a,b,E ，其范数定义为：fC1-=supt a,b|()t-a1-f(t)定义1.36 对于 r(0,1 ，定义 u 的 r-水平集为：ur=t R|u()t r-u()r,u()r 其中，-u,-u 分别表示模糊集 u E 的上分支和下分支且 u0=supp u=-t R|u()t 0 u 的 r-水平集的直径定义为 d()ur=u(r)-u(r).对于 u1,u2 E,R,u1+u2和 u1 定义为 u1+u2r=u1r+u2r,u1r=u1r.定义1.47（Hukuhara差分）设u1,u2 E，若存在u3 E，使得u1=u2+u3，则称u3为u1和u2的 Hukuhara 差14丁玮麒，等：Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题分，记为u1 u2.注1.1 u1 u2 u1+()-1 u2.注1.2 当 1、2 R+且 u E，如果 1 2，则 1u 2u=()1-2u.定义1.5 两个模糊数在 C1-()a,b,E 上的距离 d1-()u,v 定义如下：d1-()u,v=sup0 r 1d1-H()ur,vr,u,v E其中d1-H()ur,vr=max ()t-a1-|-u()r-v()r,()t-a1-|u()r-v(r)为非空紧凸集上的 Hausdorff 度量，则()E,d1-为完备的度量空间，且有如下性质：（1）d1-d()u+x,v+x=d1-()u,v,x E;（2）d1-()u,v=|d1-()u,v,R;（3）d1-()u+x,v+y d1-()u,v+d1-()x,y;（4）d1-()u,v=|-d1-()u,0,0;（5）如果存在 u x 和 v y，则 d1-()u x,v y d1-()u,v+d1-()x,y.定义1.68（广义Hukuhara差分）两个模糊数 u1,u2 E 的广义Hukuhara差分（简称gH差分）定义如下：u1gHu2=u3u1=u2+u3u2=u1+()-1 u3定义1.79 当-a t 0,0,u Xpc()a,b.定义1.810 当 0 a t 0 有：|f()t,u()t,Ku()t,Hu()t +|u+|Ku+|Hu,t J=(a,b()A2:存在 L1 0,L2 0,L3 0 对于 u,v E有：|f()t,u,Ku,Hu-f()t,v,Kv,Hv L1|u-v +L2|Ku-Kv+L3|Hu-Hv,t J其中L=max t J L1,L2,L3.()A3:假设常数 满足下列不等式：:=j=1nCj1-()tj-a|A()()L()-()tj-a-1B(),+K*+H*+-()b-a()1-+()L()-()b-a()-1B(),+K*+H*0，使得：16丁玮麒，等：Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题j=1nCj1-()tj-a()()|A(*+r*-()tj-a-1B(),+*K*r)+*H*r +()b-a()1-+-()(*+r*-()b-a()-1B(),)+*K*r+*H*r r其中 A=1-j=1nCj()()tj-a-1则问题（1）至少有一个解。证明 下面分四步进行证明:首先定义映射 F:C1-()a,b,E C1-()a,b,E，()Fu()t=i=1nCiu(ti)()()t-a-1+1-()ats-1()t-s1-f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds,t J第一步：设 D=u C1-()a,b,E:uC1-r，显然 D 是 C1-()a,b,E 中的一个有界闭凸集，现证明F()D D.对t J 有：|()Fu()t()t-a1-i=1n|Ciu()ti()+()t-a1-1-()ats-1()t-s1-|f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds（5）由于j=1nCju()tj=i=1nCiu(ti)()j=1nCj()tj-a-1+j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds移项合并同类项1-j=1nCj()()tj-a-1i=1nCiu(ti)=j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds令 A=1-j=1nCj()()tj-a-1则i=1n|Ciu(ti)=j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-|f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds|A令B=j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-|f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds由条件()A1，可以得到：B j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-|()s+()s|u()s+()s|Ku()s+()s|Hu()sds j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-()*+*|u()s+*|Ku()s+*|Hu()sds 17新疆师范大学学报（自然科学版）2023年其中atjs-1()tj-s1-*ds=()tj-a*atjs-1()tj-s1-*|u()sds atjs-1()tj-s1-*|()s-a1-()s-a-1u()sds *-()tj-a+-1B(),uC1-类似地atjs-1()tj-s1-*|Ku()sds ()tj-a*K*uC1-atjs-1()tj-s1-*|Hu()sds()tj-a*H*uC1-综上得到B j=1nCj1-()tj-a()(*+r*-()tj-a-1B(),)+*K*r+*H*r因此i=1n|Ciu(ti)j=1nCj1-()tj-a()*+r*-()tj-a-1B(),+*K*r+*H*r()|A将上式代入公式（5），有|()Fu()t()t-a1-j=1nCj1-()tj-a()()|A(*+r*-()tj-a-1B(),)+*K*r+*H*r +()t-a1-1-()ats-1()t-s1-|f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds令P=()t-a1-1-()ats-1()t-s1-|f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds重复上述 B 的化简方法，类似地有P()b-a()1-+-()(*+r*-()b-a()-1B(),)+*K*r+*H*r因此|()Fu()t()t-a1-j=1nCj1-()tj-a()()|A(*+r*-()tj-a-1B(),+*K*r)+*H*r +()b-a()1-+-()(*+r*-()b-a()-1B(),)+*K*r+*H*r r其中 A=1-j=1nCj()()tj-a-1由此说明 F()D D，即 F 将 D 映射到它自身。18丁玮麒，等：Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题第二步：证明 F 是连续的。设 u,um C1-()a,b,E，使得 limm um=u，那么对于 t J，有：|()Fum-Fu()t-a1-i=1nCi()|um(ti)-u(ti)+()t-a1-1-()ats-1()t-s1-|f()s,um()s,Kum()s,Hum()s-f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds令D=i=1nCi()|um(ti)-u(ti)M=ats-1()t-s1-|f()s,um()s,Kum()s,Hum()s-f()s,u()s,Ku()s,Hu()sds由条件()A2 得：M ats-1()t-s1-L1|um()s-u()s+L2|Kum()s-Ku()s+L3|Hum()s-Hu()sds其中L1ats-1()t-s1-|um()s-u()sds L1ats-1()t-s1-|()s-a1-()s-a-1()um()s-u()sds L1um-uC1-()t-a+-1B(),类似地L2ats-1()t-s1-|Kum()s-Ku()sds()t-aL2K*um-uC1-L3ats-1()t-s1-|Hum()s-Hu()sds()t-aL3H*um-uC1-因此()t-a1-1-()M-()b-a()L1um-uC1-B(),+()b-a()1-+-()L2K*um-uC1-+()b-a()1-+-()L3H*um-uC1-综上得到|()Fum-Fu()t-a1-D+-()b-a()L1um-uC1-B(),+()b-a()1-+-()L2K*um-uC1-+()b-a()1-+-()L3H*um-uC1-当 m 时，Fum-FuC1-0.第三步：证明 F 将有界集映射到等度连续集。假设对于 t,t J,t t，由第二步中的 D 是 C1-()a,b,E 上的有界集且 u D，则|Fu()t()t-a1-Fu()t()t-a1-|()t-a1-1-()ats-1()t-s1-f()s,u,Ku,Hu ds19新疆师范大学学报（自然科学版）2023年 -()t-a1-|1-()ats-1()t-s1-f()s,u,Ku,Hu ds|-()tt()t-a1-s-1()t-s1-()t-a1-s-1()t-s1-f()s,u,Ku,Hu ds（6）当 t t 时，不等式（6）的右侧趋近于 0.综上所述，对于以上步骤和 Arzela-Ascoli 定理推出:F:C1-()a,b,E C1-()a,b,E 是全连续的。最后一步：说明 G=u C1-()a,b,E:u=F()u,0 1 是有界的。设 u G，对于 0 1,u=F()u.那么对于 t J，有：u()t=i=1mCiu(ti)1-()()t-a-1+1-()ats-1()t-s1-f()s,u,Ku,Hu ds（7）因此由条件()A1，式（7）可以得到：u()t j=1nCj1-()tj-a()()|A(*+r*-()tj-a-1B(),+*K*r)+*H*r +()b-a()1-+-()(*+r*-()b-a()-1B(),)+*K*r+*H*r其中，A=1-j=1nCj()()tj-a-1，由此说明 G 是有界的。运用Schaefer不动点定理得出 F 至少有一个不动点，它是问题（1）的解。定理2.2 假设满足条件()A2 和()A3，那么问题（1）有唯一解。证明 设映射 F:C1-()a,b,E C1-()a,b,E，由定理2.1可知 F 至少有一个不动点，它是问题（1）的解。现在证明这个解是唯一的。设 u,v C1-()a,b,E,t J，有：()Fu()t=i=1nCiu(ti)()()t-s-1+1-()ats-1()t-s1-f()s,u,Ku,Hu ds 由定理2.1中给出的 u()tC1-的定义得：|()Fu()t-Fv()t()t-s1-i=1nCi()|u()ti-v()ti+()t-a1-1-()ats-1()t-s1-|f()s,u,Ku,Hu-f()s,v,Kv,Hvds（8）由于j=1nCj()u()tj-v()tj=i=1nCi()u()tj-v()tj()j=1nCj()tj-a-1 +j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-f()s,u()s,Ku()s,Hu()s-f()s,v()s,Kv()s,Hv()sds20丁玮麒，等：Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题移项合并同类项 1-i=1nCj()()tj-a-1i=1nCi()u()ti-v()ti =j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-f()s,u()s,Ku()s,Hu()s-f()s,v()s,Kv()s,Hv()sds令 A=1-j=1nCj()()tj-a-1则i=1n|Ci()u()ti-v()ti=j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-|f()s,u()s,Ku()s,Hu()s-f()s,v()s,Kv()s,Hv()sds|A令N=j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-|f()s,u()s,Ku()s,Hu()s-f()s,v()s,Kv()s,Hv()sds由条件()A2，可以得到：N j=1nCj1-()atjs-1()tj-s1-()L1|u()s-v()s+L2|Ku()s-Kv()s+L3|Hu()s-Hv()sds其中L1atjs-1()tj-s1-|u(s)-v(s)ds L1atjs-1()tj-s1-|()u(s)-v(s)()s-a1-()s-a-1ds L1-()tj-a+-1B(),u-vC1-类似地L2 atjs-1()tj-s1-|Ku(s)-Kv(s)ds ()tj-aL2K*u-vC1-L3atjs-1()tj-s1-|Hu(s)-Hv(s)ds()tj-aL3H*u-vC1-综上得到N j=1nCj1-()Lu-vC1-(-()tj-a+-1B(),)+()tj-aK*+()tj-aH*因此i=1n|Ci()u()ti-v()ti=j=1nCj1-()tj-a|A()Lu-vC1-()-()tj-a-1B(),+K*+H*21新疆师范大学学报（自然科学版）2023年将上式代入式（8）中|()Fu()t-Fv()t()t-s1-j=1nCj1-()tj-a|A()()Lu-vC1-()-()tj-a-1B(),+K*+H*+()t-a1-1-()ats-1()t-s1-|f()s,u,Ku,Hu-f()s,v,Kv,Hvds令Q=1-()ats-1()t-s1-|f()s,u,Ku,Hu-f()s,v,Kv,Hvds重复上述 N 的化简方法，类似地有Q 1-()b-a()Lu-vC1-()-()b-a()-1B(),+K*+H*因此|()Fu()t-Fv()t()t-s1-j=1nCj1-()tj-a|A()()Lu-vC1-()-()tj-a-1B(),+K*+H*+-()b-a()1-+()Lu-vC1-()-()b-a()-1B(),+K*+H*u-vC1-即 Fu-FvC1-u-vC1-.由条件()A3 有 0 有：d1-()f()t,ua()t,Kua()t,Hua()t,0*+*d1-()ua,0+*d1-()Kua,0+*d1-()Hua,0()A5:存在 L*1 0,L*2 0,L*3 0 对于 u,v E,t J=(a,b 有：d1-()f()t,u,Ku,Hu,f()t,v,Kv,Hv L*1d1-()u,v +L*2d1-()Ku,Kv+L*3d1-()Hu,Hv其中 L*=max t J L*1,L*2,L*3.定理2.3 假设 f:J E E E E 是有界连续函数且满足条件()A4 和()A5，令序列un:J E 由()I1-a+u()a=ua=i=1nCiu()tiun+1()t=i=1nCiu(ti)()()t-a-1()-1 1-()ats-1()t-s1-f()s,un()s,Kun()s,Hun()sds定义，对于n N.则序列 un一致收敛到问题（1）的唯一解，即u是 hk()ii-gH可微的且 1.证明 首先证明序列 un 是柯西列，由于d1-()u1,ua=d i=1nCiu(ti)()()t-a1-()-1 -()ats-1()t-s1-()s-a-1()s-a1-f()s,ua()s,Kua()s,Hua()sds,i=1nCiu(ti)()22丁玮麒，等：Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题 ()t-a1-()at|s-1()t-s1-()s-a-1d1-()f()s,ua()s,Kua()s,Hua()s,0ds由条件()A4，有：d1-()u1,ua()t-a1-()*+*d1-()ua,0+*d1-()Kua,0 +*d1-()Hua,0at|s-1()t-s1-()s-a-1ds ()b-a()1-()B(),*+*d1-()ua,0+*d1-()Kua,0+*d1-()Hua,0令V=i=1nCiu(ti)()()t-a-1()-1 1-()ats-1()t-s1-f()s,un()s,Kun()s,Hun()sdsW=i=1nCiu()ti()()t-a-1()-1 1-()ats-1()t-s1-f()s,un-1()s,Kun-1()s,Hun-1()sds因为 f 是 Lipschitz 连续，所以由定义1.5和条件()A5 有：d1-()un+1,un()t-a1-()at|s-1()t-s1-()s-a-1 d1-)(f()s,un+1()s,Kun+1()s,Hun+1()s,f()s,un()s,Kun()s,Hun()sds ()t-a1-()at|s-1()t-s1-()s-a-1(L*1d1-()un,un-1 +L*2d1-()Kun,Kun-1)+L*3d1-()Hun,Hun-1ds ()b-a()1-()B(),L*()1+K*+H*d1-()un,un-1 d1-()un,un-1 nd1-()u1,ua n()b-a()1-()B(),*+*d1-()ua,0+*d1-()Kua,0+*d1-()Hua,0其中 =()b-a()1-()B(),L*()1+K*+H*现在证明 1 时，序列 un在C1-()a,b,E上是柯西列。因此，存在u C1-()a,b,E 使得 un收敛于 u.所以接下来说明 u 是问题（1）的一个解。令Y=()-1 1-()ats-1()t-s1-f()s,u()s,Ku()s,Hu()sdsZ=()-1 1-()ats-1()t-s1-f()s,un()s,Kun()s,Hun()sds则d1-u()t+Y,i=1nCiu(ti)()()t-a-1 d1-()u()t,un+1()t+()t-a1-()at|s-1()t-s1-()s-a-123新疆师范大学学报（自然科学版）2023年 d1-()f()s,u()s,Ku()s,Hu()s,f()s,un()s,Kun()s,Hun()sds d1-()u()t,un+1()t+()t-a1-()at|s-1()t-s1-()s-a-1 L*1d1-()u()s,un+L*2d1-()Ku()s,Kun+L*3d1-()Hu()s,Hunds d1-()u()t,un+1()t+()b-a()1-()B(),L*()1+K*+H*d1-()u()t,un当 n 时，右侧趋近于0.因此有：u()t+Y=i=1nCiu(ti)()()t-a-1通过引理2.2，得到 u 是问题（1）的一个解。为了证明 u()t 的唯一性，令 v()t 是问题（1）的另一个解。利用距离的定义和引理2.2，得到：d1-()u,v()t-a1-()at|s-1()t-s1-()s-a-1d1-()f()s,u()s,Ku()s,Hu()s,f()s,v()s,Kv()s,Hv()sds类似地通过定义1.5的性质和 f 的Lipschitz条件，得到：()1-d1-()u,v 0所以对于所有的 t J=(a,b 都有 u()t=v()t 成立。3 例子考虑模糊非局部问题 ()12D13,120+u()t=f()t,u()t,1tetsds,1tt2sds,t J=(1,2()12I1-0+u()a=23u()65,=+()1-其中 =13,=12,=23,=12,a=1,b=2,C1=23,t1=65令f()t,u()t,1tetsds,1tt2sds=117e2t-1()1+u()t+1tetsds,+1tt2sds取L=max t J L1,L2,L3=117e，显然，满足假设条件()A1和()A2，通过计算可得 0.0629985 1，故条件()A3 成立，由定理2.2，上述问题有唯一的hk()i-gH 型解 u C1-()a,b,E.对于给定不同的 r，得到的 ur也是不同的，当 r=1 时，ur恰好为精确解。4 结论文章主要研究了在非局部条件下的Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型问题解的存在唯一性结果。此外，还得到了 Hilfer-Katugampola 分数阶Volterra-Fredholm型积分微分方程的等价积分形式，并用于研究这组方程的收敛性。在今后的工作中，将应用数值方法来近似解非线性模糊分数阶积分微分方程。24丁玮麒，等：Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题参考文献：1 LAKSHMIKANTHAM V，LEELA S，DEVI J V.Theory of Fractional Dynamic SystemsC.Cambridge Scientific Publishers，2009：161-169.2 ALIKHANI R，BAHRAMI F.Global Solutions for Nonlinear Fuzzy Fractional Integral and Integro-differential Equations J.Communications in Nonlinear Science and Numerical Silmulation，2013，（18）：2007-2017.3 ALLAHVIRANLOO T，ARMAND A，GOUYANDEH Z T.Existence and Uniqueness of Solutions for Fuzzy Fractional Volterra-Fredholm Integro-differential Equations J.Journal of Fuzzy Sets Valued Analysis，2013：1-9.4 CHEN X，GU H，WANG X.Existence and Uniqueness for Fuzzy Differential Equation with Hilfer-Katugampola Fractional Derivative J.Advances in Difference Equations，2020，（01）：1-16.5 ZADEH L A.Fuzzy Sets J.Information&Control，1965，8（03）：338-353.6 NEGOITA C V，RALESCU D A.Applications of Fuzzy Sets to Systems Analysis M.Basel，Switzer-land：Birkhauser，1975：43-64.7 YANG M，WANG Q R.Approximate Controllability of Fractional Differential Inclusions J.Mathematical Methods in the Applied 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uniqueness of the solution25