异方差可加混料模型的直和设计及其D-最优性.pdf

高校应用数学学报2023,38(2):127-136异方差可加混料模型的直和设计及其D-最优性燕飞1，李光辉，张崇岐3*(1.北京师范大学珠海分校应用数学学院，广东珠海51 9 0 8 7;2.凯里学院理学院,贵州凯里556 0 1 1;3.广州大学经济与统计学院，广东广州51 0 0 0 6)摘要：混料试验设计中，对试验误差的异方差性假设更符合实际应用该文主要研究了两种异方差结构下，一般可加混料模型的直和设计及其D-最优性。在给定条件下，将可加混料模型分解成子模型，通过构建子模型的D-最优设计的直和，从而获得可加混料模型的D-最优设计，为构建复杂混料模型的D-最优设计提供了可靠的方法.关键词：混料试验；异方差；D-最优性；直和设计中图分类号：0 2 1 2.6S1 引 言(1)文献标识码：A混料试验 1-3 是将两种或者更多种分量按照一定比例混合在一起进行试验试验者关心的试验指标只取决于每种分量所占比例，而与混合总量无关.混料试验在食品科学，农田试验，汽油调配，洗涤剂配方，药品研究等诸多领域都有广泛的应用例如被广泛应用于海绵城市道路铺装的某种混凝土是由集料，水泥，硅灰，可再分散性乳胶粉，早强剂，减水剂，拌合水等材料混合在一起搅拌而成.通过试验，可以建立试验指标(混凝土强度，抗冻性，成本费用等)与各混料分量关系的经验模型，通过配比各分量取值使得试验指标达到最优.在p分量混料系统中，各分量比例a=（1,2,，a p)T 要满足p-1-=1,0 1,i=.,Pi1其中Sp-1的几何解释是(p1)维正规单纯形由于约束条件(1)的限制，对于一般的混料试验,在&处观察到的响应可表示为(2)收稿日期：2 0 2 2-0 4-0 83修回日期：2 0 2 2-0 9-0 3*通信作者,E-mail:基金项目：国家自然科学基金(1 2 0 7 1 0 9 6)；广东省普通高校青年创新人才类项目(2 0 1 9 KQNCX183)文章编号：1 0 0 0-442 4(2 0 2 3)0 2-0 1 2 7-1 0n()=fT()+s/VX(),128高校应用数学学报第38 卷第2 期其中f=（f i,f 2，f i)T 是定义在Sp-1上关于a的k维实值函数向量，=（1,2，s）T为k维未知参数向量，为随机误差项，且满足E(e）=0,Va r(e)=2，入()为定义在Sq-1上的已知，有界，正实值连续函数，称为效率函数 4。对于模型(2)，任意设计s是定义在Sp-1上的概率测度12W1W2其中aESp-1为支撑点，支撑点上的测度(i）=w;满足wi0,wi=1.矩阵M(S)=Sp-1为设计s关于模型(2)的信息矩阵.如果M($)是非奇异的，记d(,s)=fT()M-1(s)f(a)表示设计在响应预测值上的方差函数.最优设计是从统计角度要求回归方程中参数估计量在精确性方面达到某种最优性质的设计方法其中D-最优性应用最为广泛，它满足参数估计的置信椭球体积最小化，此时等价地使信息矩阵的行列式最大化.Fedorov4详细研究了最优试验设计的理论与方法，并给出各种最优设计的等价判定定理.对于模型(2)，设计SD是D-最优设计的充要条件为对于任意的 E Sp-1,(3)其中k是参数个数.当且仅当取值为D上的支撑点时等号成立.当效率函数入(c)1，模型(2)中试验误差项满足同方差性，有关同方差性混料模型最优设计的研究比较成熟，Chan5曾对混料模型的发展和混料试验的最优设计做了很好的回顾和总结近年来，对于混料模型最优设计的理论研究有：刘妙玲等 6 研究了一阶半变系数混料模型的D-最优设计；朱小渊等 7 研究了缺失项二阶混料模型的I-最优设计；凌羚等 8 研究了含定性因子的二阶Scheff模型多目标最优设计.混料模型最优设计的算法研究也有一些成果，例如李光辉等 9 研究了具有复杂约束混料试验的渐近D-最优设计；张新风等 1 0 研究了混料模型最优试验设计的改进DE算法.当效率函数入(c）1 时，试验误差项具有异方差性.近年来有关异方差性模型的研究主要在各类非混料模型最优设计的构造，证明和算法方面Dette和Trampisch11研究了异方差加权一元多项式回归模型的D-最优设计.Rodriguez等 1 2 研究了多元模型，运用直积设计方法构造乘积模型和一般可加模型在异方差条件下的A-最优设计，之后He和Yue13研究了这些模型R-最优设计：有关异方差性混料模型的研究结果很少但值得注意的是，在某些混料试验中，若各分量比例变化时，响应变量受到其他因素的影响，容易产生试验误差异方差性。例如前面提到的某种混凝土，由于不同城市地理环境，自然条件明显不同，在同样改变各分量比例时，混凝土强度，抗冻性等响应指标出现差异，试验误差与各分量比例相关，出现异方差性在所难免，因此用异方差性模型更符合实际应用.混料模型是含有约束条件的多元模型，异方差条件时直接构造某种最优设计会非常复杂，如果能将复杂混料模型分解成简单的混料子模型，通过构造子模型的最优设计来间接获得复杂模型的最优设计是一个比较合适的思路.刘双喆和关颖男 1 4 在研究了广义塌落模型及其最优设计时提出了直和设计的方法，Yan等 1 5 利用直和设计的原理研究了混料子模型为齐次多项式模Wnf()fT()()s(da)入()d(,SD)k,n=1燕飞等：异方差可加混料模型的直和设计及其D-最优性129型，效率函数结构为指数函数时，齐次可加混料模型的最优设计问题.本文将在这些结论的基础上进一步研究，构造效率函数结构不同情况下一般可加混料模型的D-最优设计.82预备知识首先考虑两个不同的混料系统，感兴趣的响应变量分别用两个混料多项式模型n1()=fT(a)1+/VAi(ac),n2(y)=gT(y)2+/V2(y)来描述，其中f(a）=（f i(a)，f h(a)T 是定义在Sp-1上给定的ki维实值函数向量，每个fi(a)(i=1,ki)的阶数为hi，假设h=min(h1,hki)类似的g(y)=(g1(y),9k2(y)T是定义在Sq-1上给定的k2维实值函数向量，每个g;(g)(j=1,k2)的阶数为lj，设l=min(l1,lk2）.;(i=1,2)是k;维未知参数向量，入;(）是效率函数.然后考虑一个复杂的混料试验，由模型(3)和(4)构造得到n(a,y)=fT()1+gT(y)2+s/VX(c,y),其中试验区域(aT,gT)=(a1,ap,1,a）属于(p+Q-1)维正规单纯形Sp+q-1若入i()=u(),入2(y)=(y)，u(）和(y)分别为c和y的多项式，模型(6)的效率函数定义为(7)若入1()=eu(a),入2(g)=e(),模型(6)的效率函数定义为入(,y)=入i()入2(y).模型(6)定义在(p+q-1)维正规单纯形上,这就意味着有p+q个不同的分量并且这些分量的P和为1.当ai0或者0时，定义在Sp+-1上的fT=1P当;=0 或者=0时，补充定义T(0)=0.类似的当i=0或者=0,定义gT(0)=0.1令(4)(5)(6)(a1,.,p,1,.,a)T E Rp+q-:P9i=1j=1入(ac,y)=入i()+入2(y).1112(8)等价于定义在Sp-1上的fT().=1=11n1p1W1和y11p2W2y12Cpm1wn1y1n2Yq1V1Yq2V2Yqn2Vn2130高校应用数学学报第38 卷第2 期分别是模型(4)和(5)的设计，则称111n100Cp1=i 田(1 -)S2=0apm100y110y1n20Qw1是模型(6)的直和设计，其中0 1,符号表示直和引理2.1 令s1和2 分别是模型(4)和(5)的任意设计，M(s;)(i=1,2)为相应的信息矩阵。若模型(6)的效率函数入(,y)定义如式(7)或式(8),则是模型(6)在直和设计=1(1-)2上的信息矩阵.证 当入(a,y)=入1(a)+入2(y),入i(a)=u(ac),入2()=(y),u(ac)和(y)分别为和y的多项式,有入1(0)=0,入2(0)=0,则M(E)Sp+q-1Sp+q-1J,f(ac)T(a)A1(ac)+入2(0)51(da)+_ J,(1-a)f(0)FT(0)1(0)+2(y)2(dy)一Sp-1J,ag(0)fT(a)A1(a)+入2(0)1(da)+_ J,(1-a)g(y)FT(0)A1(0)+2(y)$2(dy)SP-1J,f(ac)gT(0)1(a)+入2(0)1(da)+_ J,(1-)(0)gT(y)A1(0)+入2(y)52(dy)Sp-1J,ag(0)gT(0)1()+入2(0)51(da)+J(1-)g(y)gT(y)入1(0)+2(y)52(dy)SP-1M(S1)0(1-)M(s2)当入(a,)=入i()入2(y),入1(a)=eu(a),2(g)=eu(),证明过程类似.定理3.1设模型(4)和(5)的效率函数如前述定义入i()=u(),2(y)=(y),u(a)和u(y)分别为和y的多项式，S1和S2分别是模型(4)和(5)的D-最优设计。若对于任意的(T,yT)T ESp+-1,a 0且y 0,条件(9)入卫恒成立，则当o=k1/(k1+k2)时，直和设计=os1(1o)52是模型(6)的D-最优设计.0awn1M(s)=M(s1)田(1 -)M(2)f(a)(fT(c),gT(g)入(a,y)(d(a,y)g(g)f(ac)fT()Ai(ac)+入2(y)f()gT(y)入1(ac)+2(y)g(y)fT(a)1(c)+入2(g)g(y)gT(g)A1(a)+入2(g)083主要结果P2h入1()+入2(y)Yq1(1-)1.:Sq-1Sq-1Sq-1Sq-1=M(s1)田(1 -)M(s2).1入2yjyqn2(1-)Vn2s(d(a,y)217燕飞等：异方差可加混料模型的直和设计及其D-最优性131证假设$1 和2 分别是模型(4)和(5)的D-最优设计，根据等价判定定理(3)有入i(a)di(a,si)ki,E sp-1,A2(y)d2(y,52)k2.y E sq-1.当0且y0时,yf()gPii=1如果条件(9)成立，并且o=k1/(k1+k2),对模型(6)取直和设计=os1(1-o)2,有入(a,y)d(a,y,s)入(a,y)(T(a),gT(g)M-1()(fT(a),gT(g)TA(a,)(f(a),g(u)=M-1(1)甲:91-0M-1(s2)(fT(a),gT(g)1入1(a)+入2(g)-fT(c)M-1(s1)f()入1(a)+入2(y)Py1=1yij=11g(g)M-1(s2)g(u)P2hMi卫i=1=1y21yiyij=1j-1P2hj=121(ki+k2)入i()+入2(y)入1yV2a1+C2+y1+2y2V21+2 2Vy1+22卫 k1+k2.当=0,则fT()=0,入1()=0,入(a,y)d(a,y,s)=当y=0,则gT(y)=0,入2(y)=0,(a,)d(a,y.)=1(a)(a)-(s)(a)kh+n.综上所述，恒有入(a,y)d(ac,y,s)k1+k2.根据等价判定定理(3)，直和设计=os1(1-o)2是模型(6)的D-最优设计.例3.1 考虑一个4分量混料多项式模型=ia1+2a2+12Va1a2+yi+4y2+34y1y2+其中(a1,2,1,y2)TS3.如果直接求这个模型的D-最优设计比较困难，可以将这个模型分解成两个子模型：容易求证模型I和II的D-最优设计分别为1211-0入2(y)gT(y)M-1(2)g(y)k1+k2.QoI:n1=B1a1+2C2+12VC1a2+II:n2=31+42+34y1y2+132高校应用数学学报第38 卷第2 期11-V413331131331041-1101313-130.9元0.80.70.60.521.5Z10.80.60.40.2X0.50图1 例3.1 中条件(9)的证明图示当0且y0时，定理3.1 中的条件(9)等价于X3+(1-X)3+Zx2(1 X)2其中X=ai E(0,1),1-X=1件恒成立，则直和设计22为原4分量混料多项式模型的D-最优设计，也可证明得到，对于任意的(a1,22,U1,y2)T S3，恒X)?X 1,2yj，Z(21+a2)/(1+a2)(y1+2y2)/(y1+y2)j=10010000-16116E(0.5,2)由图1 容易验证此条033-V3001160001001-161116011-V4110V41-110-16燕飞等：异方差可加混料模型的直和设计及其D-最优性133表1例3.1 中入(ac,y)d(a,y,SD)在部分不同试验点上的取值12100100000.50.50.500.5000.500.5000.250.250.5774 0.422600y1001000.500.500.50.2500.45970.5403y20001000.500.50.50.250入(,y)d(a,y,ED)66665.92473.3750333.37505.94082.072166有12i1i2V122(21+&2+y1+2y2)M-1(SD)(1,22,V12,1,2,Y192)6,y1y2y1y2等号成立当且仅当(a1,2,1,y2)取值在D的支撑点上。表1 给出了入(a,)d(ac,y,sD)在部分不同试验点上的取值情况.推论3.1设有n个混料多项式模型，ni(ai)=(fi(ci),fi2(aci),.:,fik;(ci)其中=1,2,n，每个模型中的各分量比例a=（r i 1,i 2，i p:)T Sp i-1，效率函数入;(i)是关于;的多项式，hi为第i个混料多项式模型中的最低阶数，设s;是模型ni(i)(i=1,2,n)的D-最优设计.若对于任意的(a1T,a2T,anT)T Sp1+pa+pm-1，且a0(i=1,2,n),条件恒成立，则当i=ki/(ki+k2+kn)(i=1,2,.,n)时，直和设计=151田252田田(ci)i+入;(aci)BikiPinni=1i=1V;(c)2hii1aiPii=1134高校应用数学学报第38 卷第2 期ansn是模型12n(a1,2,.,an)=(fiT(a1),f2T(c2),.,fnT(an)/(ac1,a2,.,cn)n的D-最优设计,其中入(a1,a2,an)=入1(a1)+入2(a2)+.+入n(an).定理3.2 假设模型(4)和(5)的效率函数分别如前述定义入1(a)=e(a)，2(u)=e(),Si和2 分别是模型(4)和(5)的D-最优设计.若对于任意的(aT,g)TeSp+-1,a0且y0,条件2hi入i()入2(y)恒成立，则当o=k1/(k1+k2)时，直和设计=os1(1-o)52是模型(6)的D-最优设计.21yi1yi(10)证证明方法类似定理3.1.e2ai+22+3y1+2y21:n1=1a1+2C2+12VC1a2+e113例3.2考虑另一个4分量混料多项式模型n=Bici+2a2+B12Via2+B3y1+4y2+B34y1y2+其中(a1,C2,J1,y2)TES3.直接求这个模型的D-最优设计也是比较困难的，将这个模型分解成两个子模型：容易求证子模型1 和2 的D-最优设计分别为3当0且y0时，定理3.2 中的条件(1 0)等价于122+(1+22其中X=ai E(0,1),1-X=2yj,Ze3(1j=1此条件恒成立，则直和设计1000116e2a1+1+222:n2=3y1+4y2+34y192+e3y1+2y0.68800.3120113X?zX-1+(1-X)?zX 1,229192)+2(e91+9200.688010.3120000011660.58050.4195332(1+32231+920010116(e-8000116,e），由图2 容易验证000.58050.419516燕飞等：异方差可加混料模型的直和设计及其D-最优性1351.20.80.6-0.41.51Z0.50.80.40.60.2X00图2 例3.2 中条件(1 0)的证明图示为原4分量混料多项式模型的D-最优设计，也可证明任意(a1,#2,91,J2)TS，恒有12e21+2+31+2u2一等号成立当且仅当(a1,2,1,y2)取值在sD的支撑点上.类似推论3.1，可以将定理3.2 的结论也推广至多个子模型的情况，在此省略讨论.一般情况下，试验误差具有异方差性时，复杂混料模型最优设计的直接构造是比较困难的.本文提出了将复杂可加混料模型分解成相对简单的两个子模型，通过构造子模型最优设计的直和，间接获得原复杂混料模型最优设计的一种方法本文证明了在一定条件下，两种不同异方差结构的可加混料模型，其分解的两个子模型D-最优设计的直和设计，为原可加混料模型的D-最优设计，并将结论推广至多个子模型.这一方法比直接求复杂模型的最优设计更方便快捷。后续研究工作将着手于两点：一是考虑更多的异方差结构问题；二是考虑其他的最优性质.VT12M-1(D)(1,42,V122,Y1,y2,Y1y2)6,y1y2y19284 进一步讨论与总结参考文献：1Scheff H.Experiments with mixturesJ.Journal of Royal Statistical Society,1958,B20:344-360.136高校应用数学学报第38 卷第2 期with heteroscedasticity2 34567朱小渊，郝红花，张崇岐.缺失项二阶混料模型I最优设计 J.高校应用数学学报，2 0 1 9,34(4)：379-388.8 凌羚，李光辉，张崇岐含定性因子的二阶Scheff模型多目标最优设计 J.高校应用数学学报，2022,37(1):15-23.9李光辉，张崇岐具有复杂约束混料试验的渐近D-最优设计 J.应用概率统计，2 0 1 7,33(2)：203-220.10 张新风，朱志彬，李光辉，等混料模型D-最优试验设计的改进DE算法研究 J.数理统计与管理,2 0 2 1,40(1):2 6-35.11 Dette H,Trampisch M.A general approach to D-optimal designs for weighted univariatepolynomial regression modelsJ.Journal of the Korean Statistical Society,2010,39(1):1-26.12 Rodriguez C,Ortiz I,Martinez I.A-optimal designs for heteroscedastic multifactor regres-sion modelsJ.Communications in Statistics-Theory and Methods,2016,45(3):757-771.13 He Lei,Yue Rongxian.R-optimal designs for multi-factor models with heteroscedastic er-rorsJ.Metrika,2017,80,717-732.14刘双喆，关颖男.广义塌落模型及其最优设计 .东北工学院学报(自然科学版)，1 9 9 2,1 2(1)：95-102.15Yan Fei,Zhang Chongqi,Peng Heng.Optimal designs for additive mixture model withheteroscedastic errorsJJ.Communications in Statistics-Theory and Methods,2017,46(13):6401-6411.Direct sum design and its D-optimality for additive mixture model(1.School of Applied Mathematics,Beijing Normal University,Zhuhai,Zhuhai 519087,China;3.School of Economics and Statistics,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)Abstract:The heteroscedasticity hypothesis of experimental error is more suitable for practicalapplication in mixing experiment design.In this paper,the direct sum designs and their D-optimalityfor additive mixtures models with two heteroscedasticity structures are studied.Under certain condi-tions,D-optimal design for a general additive mixtures model is obtained by constructing the directsum of two D-optimal designs for the sub-models,which are decomposed from the original additivemixtures model.It provides a practical method for constructing D-optimal design for complex mixturemodel.Keywords:mixture experiment;heteroscedasticity;D-optimality;direct sum designMR Subject Classification:62K05;62K99Scheffe H.The simplex-centroid design for experiments with mixturesJJ.Journal of RoyalStatistical Society,1963,B25:235-263.Cornell J A.Experiments with mixtures:designs,models,and the analysis of mixturedataM.New York:John Wiley,2011.Fedorov V V.Theory of optimal experimentsM.New York:Academic Press,1972.Chan Lingyau.Optimal design for experiment with mixtures:a surveyJJ.Communicationsin Statistics-Theory and Methods,2000,29(9-10):2281-2312.刘妙玲，张崇岐一阶半变系数混料模型的D-最优设计 J.数理统计与管理，2 0 1 8,37(6):1041-1049.YAN Feil,LI Guang-hui?,ZHANG Chong-qi32.School of science,Kaili University,Kaili 556011,China;