四川省成都外国语学校2011高三数学期中 理 旧人教版 .doc

成都外国语学校2011届高三上期期中考试数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知O、N、P在所在平面内，且，， ，则点O、N、P依次是（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
3．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．若与在区间上都是减函数，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．数列中，，前n项和，a、b、c为常数，则a-b+c=（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆上任一点，其坐标均使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，得到的函数图像的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
8．设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．9
9．若平面内共线的A、B、P三点满足条件，，其中为等差数列，则a2008等于（ ）
A．1 B． C． D．
10．若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知下列命题四个命题：
①函数的单调递增区间是；
②若x是第一象限的角，则是增函数；
③，且，则；
④若，则的最大值是。
其中真命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。请把答案填写在答题卷的相应位置。
13．已知，则的值为 。
14．已知 （，）是R上的增函数，则的取值范围是 。
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，且角A、B、C所对的边a、b、c满足a+b=cx，则实数x的取值范围是 。
16．歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如（）的分数之和”的问题。为了便于表述，引入记号：
写出你对此问题的研究结论： （用数学符号表示）。
成都外国语学校2011届高三上期期中考试数学试题（理科）答题卷
二、填空题（16分）
13． ；14． ；15． ；16． 。
三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
解关于的不等式：。
18．（本小题满分12分）
已知向量，，。、、是锐角三角形角、、的对边，且，，。
（1）在所给坐标系下用“五点法”作出（）的图像；
（2）求角；
（3）求的面积。
19．（本小题满分12分）
设是数列的前项和，若是非零常数，则称数列为“和等比数列”。
（1）若数列是首项为2 ，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；
（2）若数列是首项为 ，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的关系。
20．（本小题满分12分）
某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩。
（1）若所植树苗全部成活，则到哪一年年初植树后可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量自然增长率为20%，求全部绿化后的那一年年底该山林的木材总量（精确到1立方米，）。
21．（本小题满分12分）
已知函数对任意的实数都有：，且时，。
（1）求证：是R上的增函数；
（2）若关于的不等式的解集是，求的值；
（3）在（2）的条件下，设，问：是否存在，使得数列从第项开始的连续20项之和等于102。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分14分）
已知函数， ，其中。
（1）若曲线的切线过点，求其切线方程；
（2）若对任意的，存在，使得成立，求的取值范围；
（3）是否存在实数，对任意的都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
成都外国语学校2011届高三上期期中考试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
D
A
A
A
D
C
C
B
A

二、填空题
13．； 14．； 15．； 16．。
17．解：原不等式等价于（*）
（1）时，
（2）时，（*）式化为
①时，；②时，无解；③时，。
（3）时，（*）式化为
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为。
18．解：（1）由已知
列表如下：

0

0

作出图像为：
（2） ，或
或（舍去，为锐角三角形）。
。
（3）在中，由余弦定理得：
。
19．解：（1）数列是首项为2 ，公比为4的等比数列，所以，。
设数列的前项和为，则，，所以，因此为“和等比数列”。
（2）设数列的前项和为，且（为常数，且）。
因为数列是等差数列，所以，
对于都成立，得，所以。由得，，所求与之间的关系为。
20．解：（1）设植树年后可将荒山全部绿化，记第年初植树量为，由题意数列是首项为，公差的等差数列，所以，。。到2009年年初植树后可以将荒山全部绿化。
（2）设2002年初木材存量为，到2009年底木材存量增加为，
2003年初木材存量为，到2009年底木材存量增加为，，
2009年初木材存量为，到2009年底木材存量增加为
则到2009年底木材总量为
作差得：
答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量立方米。
21．（1）证明：设，则，
是R上的增函数。
（2）解：设，
。
在中，令得
。
数列是首项为2 ，公差为1的等差数列。
。
（3）解：由（2）知
设从第项开始连续20项之和为，则
时，；时，。
或。
存在满足题意的值为2或5。
22．解：（1） 。
设切点为，则其切线方程为：。
又切线过点，或。
所求切线方程为：或。
（2）
而。
又恒成立。
“对任意的，存在，使得成立”等价于
在上是单调递增函数 。
而在上单调递增函数 。
由得。
（3）“对任意的都有成立”等价于。
而，
满足条件的存在，取值范围为。