一类带跳随机微分方程的时滞反馈稳定化.pdf

第4 9卷 第3期2 0 2 3年6月东华大学学报(自然科学版)J OUR NA L O F D ON GHUA UN I V E R S I T Y(NA TUR A L S C I E N C E)V o l.4 9,N o.3J u n.2 0 2 3 文章编号:1 6 7 1-0 4 4 4(2 0 2 3)0 3-0 1 5 4-0 9D O I:1 0.1 9 8 8 6/j.c n k i.d h d z.2 0 2 1.0 5 9 2收稿日期:2 0 2 1-1 0-2 5通信作者:尤苏蓉,男,副教授,研究方向为随机微分方程,E-m a i l:s r y o u d h u.e d u.c n引用格式:余蕾,尤苏蓉.一类带跳随机微分方程的时滞反馈稳定化J.东华大学学报(自然科学版),2 0 2 3,4 9(3):1 5 4-1 6 2.YU L,YOU S R.D e l a y f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n f o r a c l a s s o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h j u m p s J.J o u r n a l o f D o n g h u a U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e),2 0 2 3,4 9(3):1 5 4-1 6 2.一类带跳随机微分方程的时滞反馈稳定化余 蕾,尤苏蓉(东华大学 理学院,上海 2 0 1 6 2 0)摘要:针对一类不稳定的带跳随机微分方程(s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s,S D E s),研究用线性时滞反馈控制器使其稳定的问题。在系数满足多项式增长条件和K h a s m i n s k i i型条件下方程的解存在且唯一。通过构造积分型的L y a p u n o v泛函确定了控制器的系数矩阵以及时滞量的大小。关键词:随机微分方程;渐近稳定;L y a p u n o v泛函;I t 公式中图分类号:O 2 9 文献标志码:AD e l a y f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n f o r a c l a s s o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h j u m p sY U L e i,Y O U S u r o n g(C o l l ege o f S c i e n c e,D o ngh u a U n i v e r s i ty,S h a ngh a i 2 0 1 6 2 0,C h i n a)A b s t r a c t:F o r a c l a s s o f u n s t a b l e s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l equ a t i o n s(S D E s)w i t h ju mps,t h e pr o b l e m o f s t a b i l i z a t i o n w i t h l i n e a r t i m e-d e l ay f e e d b a c k c o n t r o l l e r i s s t u d i e d.S u c h a n equ a t i o n w i l l h a v e a u n iqu e s o l u t i o n,pr o v i d e d t h a t i t s c o e f f i c i e n t s s a t i s fy po lyn o m i a l gr o w t h c o n d i t i o n a n d K h a s m i n s k i i ty pe c o n d i t i o n.By c o n s t r u c t i ng i n t egr a l Lyapu n o v f u n c t i o n a l,t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x a n d t i m e d e l ay o f t h e c o n t r o l l e r a r e d e t e r m i n e d.K e y w o r d s:s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l equ a t i o n;a sympt o t i c a l s t a b i l i ty;Lyapu n o v f u n c t i o n a l;I t f o r m u l a 随机微分方程(s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s,S D E s)广泛应用于受随机因素影响的系统建模分析,如研究期权定价股票风险1、经济金融优化问题2、生态系统的发展变化规律3。针对S D E s的分析内容主要包括解的唯一性、稳定性分析及稳定化控制器的设计等。关于S D E s的稳定性分析有较为丰富的研究结果4-7。当系统发生突变时,跳扩散系统更适合描述许多物理、金融和动力系统中的相关分析,如金融市场的突然波动8。关于带跳S D E s解存在唯一性和稳定性,在满足线性增长的条件下,Z h u9 将布朗运动情况下给出的一些结果推广到了由L v y噪声驱动的S D E s的情况,证明了带跳S D E s渐近稳定性和几乎必然的稳定性。M a o 等1 0在多项式增长条件、K h a s m i n s k i i型条件下研究了带跳S D E s解的稳定性,以及数值解的概率收敛性。L i等1 1引入新的非线性增长条件,利用L y a p u n o v函数和半鞅收敛定理,证明了所考虑的随机系统具有唯一的全局解,此外,还研究了解的p阶矩指数稳定性和几乎必然指数稳定性。近年来,已有很多关于带马尔可夫切换的S D E s稳定化的研究。采取的研究方法有很多,例如:M a o 第3期余 蕾,等:一类带跳随机微分方程的时滞反馈稳定化等1 2利用线性矩阵不等式的方法研究解的均方指数稳定;在此基础上,X u等1 3用线性矩阵不等式的形式给出均方指数稳定性的一个改进条件,使得保守性降低;还可以通过构造L y a p u n o v泛函来研究S D E s的 稳 定 化 问 题1 4。但 研 究 带 泊 松 跳 跃 的S D E s稳定化的文献较少,且现有研究是基于系数满足线性增长的条件,例如:Z h a n g等1 5利用线性矩阵不等式,应用状态反馈控制器,研究随机跳跃扩散方程的几乎必然指数稳定和均方指数稳定;S o n g等1 6利用鞅论中的有效性质,采用线性矩阵不等式的方法来研究H控制问题。目前尚未涉及非线性增长条件下的带跳S D E s的稳定化研究。本文在系数满足非线性增长的条件下,研究用线性时滞反馈控制器使带跳S D E s稳定的问题。1 背景与问题陈述 设(,F,Ftt0,P)是一个概率空间,Ftt0满足通常性条件(即Ft递增右连续,且F0包括所有的P零集)。若A是一个矩阵,定义其迹范数为A=t r a c e(ATA)。w(t)是定义在概率空间上的一维布朗运动,N(t,z)定义在R+Rn-0 上Ft可适的泊松测度,且与w(t)相互独立。记(dv)是L v y测度,满足Rn-0(|v|21)(dv),其补偿为N(dt,dv)N(dt,dv)-(dv)dt。考虑式(1)所示的由L v y噪声驱动的S D E s。dx(t)=f(x(t-),t)dt+g(x(t-),t)dw(t)+Zh(x(t-),t,v)N(dt,dv)(1)初值为x(t0)=x0Rn。其中映射f:RnR+Rn,g:RnR+Rn,h:RnR+Rn RnZ=|v|c,c(0,是允许最大跳跃大小。假设1 对任意的整数d1,存在一个正数kd使得对任意满足xyd的x,yRnf(x,t)-f(y,t)2g(x,t)-g(y,t)2kdx-y2Zh(x,t,v)-h(y,t,v)2(dv)kdx-y2 假设2 存在正常数k,qi(i=1,2)和有界函数h-(v)使得f(x,t)2g(x,t)2k(x2+xq1+2),x+h(x,t,v)2k h-(v)(x2+xq2+2)成立,其中h-(v)满足Ch-Zh-(v)(dv)12k Ch-,对任意给定初值x0Rn,则方程(1)存在唯一的解x(t)。当方程(1)满足假设1 3时,存在唯一的解,但是其不一定稳定。本文研究的是给定一个不稳定方程(1),通过设计合适的控制器,使受控系统渐近稳定,即对任意给定初值x0Rn,满足l i mt E x(t)2=0,t0。2 主要结论2.1 设计线性控制器 首先考虑设计一个线性控制器u(x,t)=A x,其中A是nn阶负定矩阵,记其最大、最小特征值分别为1,2,210,使得受控方程dx(t)=f(x(t-),t)+u(x(t),t)dt+g(x(t-),t)dw(t)+|v|12k Ch-,10),设计更符合现实的控制是依赖过去状态x(t-)。因此,镇定问题就变成了通过设计时滞反馈控制u(x(t-),t),使得受控方程dx(t)=f(x(t-),t)+u(x(t-),t)dt+g(x(t-),t)dw(t)+Zh(x(t-),t,v)N(dt,dv)(4)渐近稳定。定理1 若方程(4)满足假设13,且212k Ch-,对任意给定初值x0Rn,方程(4)存在唯一解x(t)。证明:由文献4 可知,若满足假设1,则方程(4)存在局部最大解x(t),t0,e),e是爆炸时间。为了证明解是全局的,只需证明e=。假设n00充分大,使得n0 x0。对于任意整数nn0,定义停时n=i n ft0,e):x(t)n ,n N 根据n的定义,很显然n是关于n递增的,所以当n,ne,其中i n f=(为空集)。如果证明了=,那么e=,意味着x(t)是方程(4)的全局解。由假设13以及I t 公式可知E x(tn)2=E x02+Etn02xT(sn)f(x(sn),sn)+u(x(sn-),sn)+g(x(sn),sn)2ds+Etn0Z x(sn)+h(x(sn),sn,v)2-x(sn)2(dv)dsE x02+Etn021x(sn)2-22x(sn)+2 ds+Etn0 x(sn)2+u(x(sn-),sn)2ds+Etn0 k Ch-x(sn)2+x(sn)q2+2 -(Z)x(sn)2 dsE x02+Etn021+1+k Ch-(Z)x(sn)2ds+Etn0u(x(sn-),sn)2ds+Etn0-22x(sn)+2+k Ch-x(sn)q2+2 dsE x02+Etn021+1+2k Ch-(Z)x(sn)2ds+Etn0u(x(sn-),sn)2ds+Etn0-22x(sn)+2+k Ch-x(sn)+2 ds(5)根据积分的变换利用式(3)得tn0u(x(sn-),sn)2ds0-u(x(sn),sn)2ds+tn0u(x(sn),sn)2ds220-x(sn)2ds+22tn0 x(sn)2ds(6)把式(6)代入式(5),因为212k Ch-,则 E x(tn)2E x02+22E0-x(sn)2ds+Etn021+1+2k Ch-(Z)+22 x(sn)2ds(7)651 第3期余 蕾,等:一类带跳随机微分方程的时滞反馈稳定化 记H0=E x02+22E0-x(sn)2ds,对式(7)应用G r o w a l l不等式得E x(tn)2H0e21+1+2k Ch-(Z)+22 t 又E x(tn)2=Ex(n)1nt2 Ex(n)1nt2 n2P(nt)因此,对所有的nN,有P(nt)n-2E x(tn)2n-2H0e21+1+2k Ch-(Z)+22 t则l i mn P(nk Ch-2k2Ch-,44,1-1-k Ch-+(Z)2 -1-k2Ch-,42+(Z)4,0(Z),取正常数满足0充分小并满足*1*2*3(22-k Ch-)222k Ch-12 6|2|,则对给定初值x0Rn,方程(4)的解是渐近稳定,即l i mt E x(t)2=0,t0(8)其中Ch-,4Z2h-(v)2(dv),*1、*2、*3分别为方程P1()=0、P2()=0、P3()=0的唯一正根,P1()、P2()、P3()分别为P1()222k+442 2+22k+422k Ch-+222(Z)+21+21-(Z)+2k Ch-+2P2()222k2+22k+41+2k2Ch-,4-(Z)+41+1 6P3()222k2+22k-42+1 6+k2Ch-,4 证明:定义xtx(t+s):-2s0,t0。因为xt在0t2上有意义,令x(s)=x0,其中s-2,0)。本文L y a p u n o v泛函具有以下形式V(x,t)=x(t)2+x(t)4+tt-ts f(x(),)+u(x(-),)2+g(x(),)2+Zh(x(),v)2(dv)dds 为稍后确定的正数,因为dtt-ts f(x(),)+u(x(-),)2+g(x(),)2+Zh(x(),v)2(dv)dds =f(x(t),t)+u(x(t-),t)2+g(x(t),t)2+Zh(x(t),t,v)2(dv)dt-tt-f(x(s),s)+u(x(s-),s)2+g(x(s),s)2+Zh(x(s),s,v)2(dv)ds dt 利用 I t 公式751东华大学学报(自然科学版)第4 9卷 L V(x,t)=2xT(t)f(x(t),t)+u(x(t-),t)+g(x(t),t)2+Z x(t)+h(x(t),v)2-x(t)2(dv)+4x(t)2xT(t)f(x(t),t)+u(x(t-),t)+2x(t)2g(x(t),t)2+4xT(t)g(x(t),t)2+Z x(t)+h(x(t),v)4-x(t)4(dv)+f(x(t),t)+u(x(t-),t)2+g(x(t),t)2+Zh(x(t),t,v)2(dv)-tt-f(x(s),s)+u(x(s-),s)2+g(x(s),s)2+Zh(x(s),s,v)2(dv)ds(9)利用假设13以及基本不等式可得2xT(t)f(x(t),t)+u(x(t-),t)+g(x(t),t)2+Z x(t)+h(x(t),v)2-x(t)2(dv)=2xT(t)f(x(t),t)+u(x(t),t)+g(x(t),t)2+Z x(t)+h(x(t),v)2-x(t)2(dv)+2xT(t)u(x(t-),t)-u(x(t),t)21+21+k Ch-(Z)x(t)2-22x(t)+2+k Ch-x(t)q2+2+4 x(t)2+14u(x(t-),t)-u(x(t),t)221+21+k Ch-(Z)+4 x(t)2-22x(t)+2+k Ch-x(t)q2+2+224x(t-)-x(t)2(1 0)同理4x(t)2xT(t)f(x(t),t)+u(x(t-),t)+2x(t)2g(x(t),t)2+4xT(t)g(x(t),t)2+Z x(t)+h(x(t),v)4-x(t)4(dv)4x(t)2xT(t)f(x(t),t)+32g(x(t),t)2 +Z(k h-(v)(x(t)2+x(t)q2+2)2-x(t)4(dv)+4x(t)2xT(t)u(x(t),t)+4x(t)2xT(t)u(x(t-),t)-u(x(t),t)4x(t)21x(t)2-2x(t)+2 +Z k h-(v)2(2x(t)4+2x(t)2q2+4)-x(t)4(dv)+41x(t)4+1 6 x(t)6+224x(t-)-x(t)2 41+k2Ch-,4-(Z)+41 x(t)4+1 6 x(t)6-42x(t)+4+k2Ch-,4x(t)2q2+4+224x(t-)-x(t)2(1 1)利用假设2和式(3)可知 f(x(t),t)+u(x(t-),t)2+g(x(t),t)2+Zh(x(t),t,v)2(dv)2 2f(x(t),t)2+g(x(t),t)2+Z 2x(t)+h(x(t),t,v)2+2x(t)2(dv)+2 222x(t-),t)2(2 2k+k)(x(t)2+x(t)q1+2)+2 k Ch-(x(t)2+x(t)q2+2)+2 (Z)x(t)2+4 222x(t)2+4 222x(t)-x(t-)2(2 k+4 22)2+k+2 k Ch-+2(Z)x(t)2+(2 k 2+k)x(t)q1+2+2 k Ch-x(t)q2+2+4 222x(t)-x(t-)2(1 2)将式(1 0)(1 2)代入式(9)得851 第3期余 蕾,等:一类带跳随机微分方程的时滞反馈稳定化L V(x,t)21+21+k Ch-(Z)+4 x(t)2-22x(t)+2+k Ch-x(t)q2+2+224x(t-)-x(t)2+41+k2Ch-,4-(Z)+41 x(t)4+1 6 x(t)6-42x(t)+4+k2Ch-,4x(t)2q2+4+224x(t-)-x(t)2+(2 k+4 22)2+(k+2 k Ch-+2(Z)x(t)2+(2 k 2+k)x(t)q1+2+2 k Ch-x(t)q2+2+4 222x(t)-x(t-)2-tt-f(x(s),s)+u(x(s-),s)2+g(x(s),s)2+Zh(x(s),s,v)2(dv)ds21+21+k Ch-(Z)+4+(2 k+4 22)2+k+2 k Ch-+2(Z)x(t)2-22x(t)+2+k Ch-x(t)q2+2+41+k2Ch-,4-(Z)+41 x(t)4+1 6 x(t)6-42x(t)+4+k2Ch-,4x(t)2q2+4+(2 k 2+k)x(t)q1+2+2 k Ch-x(t)q2+2+222x(t-)-x(t)2+4 222x(t)-x(t-)2-tt-f(x(s),s)+u(x(s-),s)2+g(x(s),s)2+Zh(x(s),s,v)2(dv)ds21+21+2k Ch-(Z)+4+(2 k+4 22)2+(k+4 k Ch-+2(Z)x(t)2+(-22+k Ch-+2 k Ch-)x(t)+2+41+2k2Ch-,4-(Z)+41+1 6+2 k 2+k x(t)4+(-42+1 6+k2Ch-,4+2 k 2+k)x(t)+4+222x(t-)-x(t)2+4 222x(t)-x(t-)2-tt-f(x(s),s)+u(x(s-),s)2+g(x(s),s)2+Zh(x(s),s,v)2(dv)ds(2 k+4 22)2+(k+4 k Ch-+2(Z)+21+21+2k Ch-(Z)+4 x(t)2+(2 k 2+k-42+1 6+k2Ch-,4)x(t)+4+222x(t-)-x(t)2+4 222x(t)-x(t-)2-tt-f(x(s),s)+u(x(s-),s)2+g(x(s),s)2+Zh(x(s),s,v)2(dv)ds(1 3)由方程(4)可知x(t)-x(t-)=tt-f(x(s),s)+u(x(s-),s)ds+tt-g(x(s),s)dw(s)+tt-Zh(x(s),s,v)N(ds,dv)进而有x(t)-x(t-)23tt-f(x(s),s)+u(x(s-),s)ds2+3tt-g(x(s),s)dw(s)2+3tt-Zh(x(s),s,v)N(ds,dv)2 再由H l d e r不等式以及K u n i t a不等式可知E x(t)-x(t-)23Ett-f(x(s),s)+u(x(s-),s)2+g(x(s),s)2+Zh(x(s),s,v)2(dv)ds(1 4)951东华大学学报(自然科学版)第4 9卷 令=22,因为12 6|2|,对式(1 3)取期望,把式(1 4)代入得到E L V(x,t)222k+442 2+22k+422k Ch-+222(Z)+21+21+2k Ch-(Z)+4 E x(t)2+222k2+22k-42+1 6+k2Ch-,4 E x(t)+4则E V(x,t)V(x0)+222k+442 2+22k+422k Ch-+222(Z)+21+21+2k Ch-(Z)+4 Et0 x(s)2ds+222k2+22k-42+1 6+k2Ch-,4 Et0 x(s)+4ds 根据定理2条件知P1(*1)=0,P3(*3)=0,又因为0*1*3,所以P1()0,P3()0,可得Et0 x(s)2dsV(x0)-P1(),Et0 x(s)+4dsV(x0)-P3()使用F u b i n i定理,令t可得0E x(t)2dt,0E x(t)+4dttn+2,由式(1 5)得n=1tntn-2E x(s)2dt0E x(s)2ds,n=1tntn-2E x(s)+4dt0E x(s)+4ds 则存在n0,使得tntn-2E x(s)2dt2C,tntn-2E x(s)+4dt2C(1 7)另一方面,对于任意nn0,ttn-,tn,则有E x(tn)2=E x(t)2+2EtntxT(s)(f(x(s),s)+u(x(s-)ds+Etntg(x(s),s)2ds+EtntZ xs +h(xs ,v)2-xs 2(dv)ds(1 8)利用假设13得到E x(tn)2-E x(t)22Etntx(s)2ds+Etntf(x(s),s)2ds+Etntu(x(s-)2ds+Etntg(x(s),s)2d+EtntZ k h-(v)(x(s)2+x(s)q2+2)-(Z)x(s)2(dv)ds2Etntx(s)2ds+Etntkx(s)2+x(s)q1+2 ds+22Etntx(s-)2ds+Etntk(x(s)2+x(s)q1+2)ds+Etnt k Ch-(x(s)2+x(s)q2+2)-(Z)x(s)2 ds2+2k+k Ch-(Z)Etntx(s)2ds+22Etntx(s-)2ds+2k Etntx(s)q1+2ds+k Ch-Etntx(s)q2+2dstntC E x(s)2+E x(s-)2+E x(s)+4 dstntn-C E x(s)2+E x(s-)2+E x(s)+4 dstntn-2C E x(s)2+E x(s)+4 ds其中C是一个常数,利用式(1 5)可得E x(tn)2-E x(t)2(1 9)061 第3期余 蕾,等:一类带跳随机微分方程的时滞反馈稳定化 结合式(1 6)、(1 9)得E x(tn)2-E x(t)2,ttn-,tn故0E x(t)2dtn=n0tntn-E x(s)2dtn=n0 t=(2 0)与式(1 5)相互矛盾,所以l i mt E x(t)2=03 算 例 考虑一维方程dx(t)=f(x(t-),t)dt+g(x(t-),t)dw(t)+Zh(x(t-),t,v)N(dt,dv)(2 1)其中c=1,f(x,t)=x-x3,g(x,t)=14x32,h(x,t,v)=-x+0.1v x54,L v y测度满足(dv)=12 ve-(l nv)22dv,0v。图1给出了方程(2 1)的数值模拟,结果表明该方程是不稳定的。图1 原不稳定方程(2 1)数值模拟F i g.1 N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f t h e o r i g i n a l u n s t a b l e e q u a t i o n(2 1)选取线性控制器u(x)=-4x,考虑受控方程dx(t)=f(x(t-),t)+u(x(t-)dt+g(x(t-),t)dw(t)+Zh(x(t-),t,v)N(dt,dv)(2 2)按照定理2的分析,可以验证得到f(x,t)2g(x,t)22(x2+x6),x+h(x,v)20.0 1v(x2+x3)xTf(x)+12g(x)23 33 2x2-3 13 2x4Ch-=|v|1h-(v)(dv)=100.0 1v12 ve-(l nv)22dv0.0 2eCh-,4=|v|12h-(v)2(dv)=100.0 0 0 2v212 ve-(l nv)22dv0.0 0 0 2 e2则有1=3 33 2,2=3 13 2,q1=4,q2=1,k=2,=2,1=-4且h-=0.0 1v,此外由对数正态分布f(v)的性质可知(Z)=1。取=0.1,=0.0 0 1 0,因为通过计算可知*1=0.0 1 2 5,*2=0.0 0 7 0,*3=0.0 1 7 2,(22-k Ch-)222k Ch-=0.0 8 8 7,满足所需条件*1*2*3(22-k Ch-)222k Ch-12 6|2|,由定理2可知,受控方程(2 2)渐近稳定。用线性控制器后所得到的受控方程的稳定特征如图2所示。161东华大学学报(自然科学版)第4 9卷 图2 受控方程(2 2)的数值模拟F i g.2 N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f t h e c o n t r o l l e d e q u a t i o n(2 2)4 结 语 本文分别通过构造L y a p u n o v函数和L y a p u n o v泛函,利用 I t 公式、基本不等式、H l d e r不等式以及K u n i t a不 等 式 等 放 缩 技 巧,研 究 受 控 的 带 跳S D E s的镇定问题,研究结果表明受控带跳S D E s解是存在且唯一性的,它的解具有渐近稳定性,并通过实例证实该方法具有可行性。参 考 文 献1赵丹阳.基于非线性期望的标准欧 式期权定价及实 证分析D.济南:山东大学,2 0 2 0.2汪浩.若干最优投资、消费及再保险问题的研究D.上海:华东师范大学,2 0 2 0.3杨凯祥.具有时滞的随机种群模型的定性分析D.重庆:重庆邮电大学,2 0 2 0.4MAO X R.S t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d a p p l i c a t i o n sM.L o n d o n:I m p e r i a l C o l l e g e P r e s s,2 0 0 6.5S I AKA L L I D A.A s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d r i v e n b y l v y n o i s eJ.J o u r n a l o f A p p l i e d P r o b a b i l i t y,2 0 0 9,4 6(4):1 1 1 6-1 1 2 9.6陈晓晨,尤苏蓉.高阶非线性混杂随机时滞微分方程的多项式稳定性分析J.东华大学学报(自然科学版),2 0 1 9,4 5(3):4 7 7-4 8 2.7L I X Y,MAO X R.S t a b i l i s a t i o n o f h i g h l y n o n l i n e a r h y b r i d s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l d e l a y e q u a t i o n s b y d e l a y f e e d b a c k c o n t r o lJ.A u t o m a t i c a,2 0 2 0,1 1 2(4):1 0 8 6 5 7.8杨璐,张成科,朱怀念.带泊松跳的线性M a r k o v切换系统的随机微分博弈及在金融市场中的应用J.系统科学与数学,2 0 1 8,3 8(5):5 3 7-5 5 2.9Z HU Q X.A s y m p t o t i c s t a b i l i t y i n t h e pt h m o m e n t f o r s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h L v y n o i s eJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s&A p p l i c a t i o n s,2 0 1 4,4 1 6(1):1 2 6-1 4 2.1 0MAO W,YOU S R,MAO X R.O n t h e a s y m p t o t i c s t a b i l i t y a n d n u m e r i c a l a n a l y s i s o f s o l u t i o n s t o n o n l i n e a r s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h j u m p sJ.J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l&A p p l i e d M a t h e m a t i c s,2 0 1 6,3 0 1:1-1 5.1 1L I H D,Z HU Q X.T h e pt h m o m e n t e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y a n d a l m o s t s u r e l y e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l d e l a y e q u a t i o n s w i t h P o i s s o n j u m p J.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 9,4 7 1(1/2):1 9 7-2 1 0.1 2MAO X R,L AM J,HUANG L R.S t a b i l i s a t i o n o f h y b r i d s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b y d e l a y f e e d b a c k c o n t r o lJ.S y s t e m s&C o n t r o l L e t t e r s,2 0 0 8,5 7(1 1):9 2 7-9 3 5.1 3XU S Y,L AM J,MAO X R,e t a l.N e w LM I c o n d i t i o n f o r d e l a y-d e p e n d e n t r o b u s t s t a b i l i t y o f s t o c h a s t i c t i m e-d e l a y s y s t e m sJ.A s i a n J o u r n a l o f C o n t r o l,2 0 1 0,7(4):4 1 9-4 2 3.1 4YOU S R,L I U W,L U J Q,e t a l.S t a b i l i z a t i o n o f h y b r i d s y s t e m s b y f e e d b a c k c o n t r o l b a s e d o n d i s c r e t e-t i m e s t a t e o b s e r v a t i o n sJ.S i a m J o u r n a l o n C o n t r o l&O p t i m i z a t i o n,2 0 1 5,5 3(2):9 0 5-9 2 5.1 5Z HAN G Y,L I R F,L I D G,e t a l.S t a b i l i z a t i o n o f t h e s t o c h a s t i c j u m p d i f f u s i o n s y s t e m s b y s t a t e-f e e d b a c k c o n t r o lJ.J o u r n a l o f t h e F r a n k l i n I n s t i t u t e,2 0 1 4,3 5 1(3):1 5 9 6-1 6 1 4.1 6S ON G B,Z HAN G Y,P A R K J H.H c o n t r o l f o r P o i s s o n-d r i v e n s t o c h a s t i c s y s t e m sJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t a t i o n,2 0 2 1,3 9 2:1 2 5 7 1 6.1 7A L B E V E R I O S,B R Z E Z N I AK Z,WU J L.E x i s t e n c e o f g l o b a l s o l u t i o n s a n d i n v a r i a n t m e a s u r e s f o r s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d r i v e n b y P o i s s o n t y p e n o i s e w i t h n o n-L i p s c h i t z c o e f f i c i e n t sJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 0,3 7 1(1):3 0 9-3 2 2.1 8L I M L,D E N G F Q.A l m o s t s u r e s t a b i l i t y w i t h g e n e r a l d e c a y r a t e o f n e u t r a l s t o c h a s t i c d e l a y e d h y b r i d s y s t e m s w i t h L v y n o i s eJ.N o n l i n e a r A n a l y s i s H y b r i d S y s t e m s,2 0 1 7,2 4:1 7 1-1 8 5.(责任编辑:冀宏丽)261