大学物理 第5章习题解答.doc

第五章 机械振动

5-1一远洋货轮，质量为，浮在水面对其水平截面积为。设在水面附近货轮的截面积与货轮高度无关，试证明此货轮在水中的铅直自由运动是简谐振动，并求其自由振动的周期。
解：取固定坐标xOy，坐标原点O在水面上（图题所示）
设货轮静止不动时，货轮上的A点恰在水面上，则浮力为Sρga.这时
习题5-1图

往下沉一点时，
合力
.
又
故

故作简谐振动

5-2 重物A的质量M=1kg，放在倾角的光滑斜面上，并用绳跨过定滑轮与劲度系数的轻弹簧连接，如习题5-2图所示，将物体由弹簧未形变的位置静止释放，并开始计时，试求:
（1）不计滑轮质量，物体A的运动方程;
（2）滑轮为质量M，半轻r的均质圆盘，物体A的运动方程。
解：取物体A为研究对象，建立坐标Ox轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l0处，此时：
(1)
(1) A物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有
T=kx
列出A在任一位置x处的牛顿方程式

将（1）式代入上式，整理后得

故物体A的运动是简谐振动，且
由初始条件求得故物体A的运动方程为
x=0.1cos(7t+π)m
习题5-2图
(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T1、T2,则对A列出任一位置x处的牛顿方程式为:
(2)
对滑轮列出转动方程为： (3)
式中,T2=k(l0+x) （4）
由式（3）、(4)知代入(2)式知

又由（1）式知
故
即

可见，物体A仍作简谐振动，此时圆频率为：
由于初始条件：
可知，A、不变，故物体A的运动方程为:

由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.

5-3质点作简谐振动的振动曲线如习题5-3图所示，试根据图得出该质点的振动表达式。
解：简谐振动的振动表达式：
习题5-3图
由题图可知，,当t=0时，将代入简谐振动表达式，得：
由,当t=0时，
由图可知，>0,即,故由,取
又因:t=1s 时，将其入代简谐振动表达式，得

由t=1s时,<0知，,取，
即
质点作简谐振动的振动表达式为

5-4在一个电量为Q，半径为R的均匀带电球中，沿某一直径挖一条隧道，另一质量为m，电量为-q的微粒在这个隧道中运动，试求证该微粒的运动是简谐振动，并求出振动周期(设带电球体介电常数为)。
解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为，由高斯定理可知,则微粒在此处受电场力为:
式中，负号表明电场的方向与的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得：

令
则
故微粒作简谐振动，平衡点在球心处.由
知:

5-5如习题5-5图所示，有一轻质弹簧，其劲度系数k=500，上端固定，下端悬挂一质量M=4.0kg的物体A，在物体A的正下方h=0.6m处，以初速度的速度向上抛出一质量m=1.0kg的油灰团B，击中A并附着于A上。
（1）证明A与B作简谐振动;
（2）写出它们共同作简谐振动的振动表达式;
（3）弹簧所受的最大拉力是多少?(取，弹簧未挂重物时，其下端端点位于点)
解：（1）取弹簧原长所在位置为点.当弹簧挂上物体A时，处于静止位置P点，有：
将A与B粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡所在位置O点，取O点为原坐标原点如图题5-5所示，则有：
设当B与A粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量,则A、B系统所受合力为：
习题5.5图

即
可见A与B作简谐和振动.
(2) 由上式知，
以B与A相碰点为计时起点，此时A与B在P点，由图题5-5可知

则t=0时，(负号表P点在O点上方)
又B与A为非弹性碰撞，碰撞前B的速度为:
碰撞后，A、B的共同速度为： （方向向上）
则t=0时，
可求得：

可知A与B振动系统的振动表达式为：
(3) 弹簧所受的最大拉力，应是弹簧最大形变时的弹力，最大形变为：

则最大拉力

5-6 一物体竖直悬挂在劲度系数k的弹簧上简谐振动，设振幅A=0.24m，周期T=4.0s，开始时在平衡位置下方0.12m处向上运动。求:
(1)物体作简谐振动的振动表达式;
(2)物体由初始位置运动到平衡位置上方0.12处所需的最短时间;
(3)物钵在平衡位置上方0.12m处所受到的合外刀的大小及方向(设物体的质量为l.0kg)。
解：(1) 已知A=0.24m, ,如选x轴向下为正方向.
已知初始条件即
而 取,故：

(2) 如图题所示坐标中，在平衡位置上方0.12m, 即x=-0.12m处，有
习题5-6图

因为所求时间为最短时间，故物体从初始位置向上运动，.故
则取
可得：
(3) 物体在平衡位置上方0.12m处所受合外力,指向平衡位置.

5-7如习题5-7图所示，质量m=10g的子弹，以的速度射入一在光滑平面上与弹簧相连的木块，并嵌入其中，致使弹簧压缩而作简谐振动，若木块质量M=4.99kg，弹簧的劲度系数，求简谐振动的振动表达式。
解：子弹射入木块为完全非弹性碰撞，设u为子弹射入木块后二者共同速度，由动量定理可知：

不计摩擦，弹簧压缩过程中系统机械能守恒，即：
（x0为弹簧最大形变量）

由此简谐振动的振幅
系统圆频率
若取物体静止时的位置O（平衡位置）为坐标原点，Ox轴水平向右为正，则初始条件为：
t=0时，x=0,
由得：
则木块与子弹二者作简谐振动，其振动表达式为：

5-8 如习题5-8图所示，质量为m1的光滑物块和弹簧构成振动系统，已知两弹簧的劲度系数分别为k1=3.0，k2=1.0，:此系统沿弹簧的长度方向振动，周朗T1=1.0s，振幅A1=0.05m，当物块经过平衡位置时有质量为m2=0.10kg的油泥块竖直落到物体上并立即粘住，求新的振动周期T2和振幅A。
解：当物体m1向右移动x时，左方弹簧伸长x，右方弹簧缩短x，但它们物体的作用方向是相同的，均与物体的位移方向相反，即

令F=-kx,有:
由
得
则粘上油泥块后，新的振动系统质量为：

新的周期
在平衡位置时，m2与m1发生完全非弹性碰撞.
碰撞前，m1的速度
设碰撞后，m1和m2共同速度为.
根据动量守恒定律，

则
新的振幅

5-9质量为0.2kg的质点作简谐振动，其振动方程为，式中x的单位为m，t的单位为s，求:
(1)振动周期;
(2)质点初始位置，初始速度;
(3)质点在经过且向正向运动时的速度和加速度以及此时质点所受的力;
(4)质点在何位置时其动能、势能相等？
解：（1）由振动方程知，
故振动周期：
(2) t=0时，由振动方程得：

(3) 由旋转矢量法知，此时的位相：
速度
加速度
所受力
（4）设质点在x处的动能与势能相等，由于简谐振动能量守恒，即：

故有：
即
可得：

5-10手持一块平板。平板上放一质量m=0.5kg的砝码，现使平板在竖直方向上振动，设这振动为简谐振动，频率=2Hz，振幅A=0.04m，问:
(1)位移最大时，砝码对平板的正压力多大?
(2)以多大振幅振动时，会便砝码脱离平板?
(3)如果振动频率加快一倍，则砝码随板保持一起振动的振幅上限如何?
解：（1）砝码运动到最高点时，加速度最大，方向向下，由牛顿第二定律，有：

N是平板对砝码的支持力.
故
砝码对板的正压力与N大小相等，方向相反.砝码运动到最低点时，加速度也是最大，但方向向上，由牛顿第二定律，有：

故
砝码对板的正压力与板对砝码的支持力大小相等，方向相反.
（2）当N=0时，砝码开始脱离平板，故此时的振幅应满足条件：

(3) 由,可知，成反比，当时，

5-11有一在光滑水平面上作简谐振动的弹簧振子，劲度系数为k，物体质量为m，振幅为A，当物体通过平衡位置时，有一质量为m'的泥团竖直落在物体上，并与之粘结在一起，求:
(1)系统的振动周期和振幅;
(2)振动总能量损失了多少?
(3)如果当物体达到振幅A时，泥团竖直落在物体上，则系统的周期和振幅又是多？振动的总能量是否改变?物体系统通过平衡位置的速度又是多少?
解：（1）设振子过平衡位置时的速度为，由机械能守恒，有：

由水平方向动量定理：
此后，系统振幅为，由机械能守恒，有：

得：
有：
（2）碰撞前后系统总能量变化为：

式中，负号表示能量损耗，这是泥团与物体的非弹性碰撞所致.
（3）当m达到振幅A时，竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A，周期为，系统的振动总能量不变，为（非弹性碰撞损耗的能量为源于碰撞前的动能）.
物体系统过平衡位置时的速度由：
得：

5-12一水平放置的简谐振子，如习题5-12a图所示，当其从运动到的位置处（A是振幅）需要的最短时间为，现将振子竖直悬挂，如习题5-2b图所示，现由平衡位置向下拉0.1m，然后放手，让其作简谐振动，已知m=5.0kg，以向上方向为x轴正方向，t=0时，m处于平衡位置下方且向x轴负方向运动，其势能为总能量的0.25倍，试求:
(1)振动的周期、圆频率、振幅;
(2)t=0时，振子的位置，速度和加速度;
(3)t=0时，振子系统的势能、动能和总能量;
(4)振动的位移表达式。
习题5-12图
解：（1）由放置矢量法可知，振子从运动到的位置处，
角相位的最小变化为：
则圆频率
周期
由初始状态，在图示坐标中，初始条件为：
则振幅
（2）因为
又
故
得：
根据题意，振子在平衡位置的下方，取x=－0.05m.
根据振动系统的能量守恒定律：

故
根据题意，取
再由

得：
（3）t=0时，

（4）由简谐振动的振动表达式
当t=0时，,可得：
又
故

5-13作简谐振动的P、Q两质点，它们的振幅分别为，，圆频率都为，初相位分别为，，求:
(1)它们各自的振动位移表达式;
(2)当t=ls时，它们的x、v、a各是多少?
(3)判断哪一个质点振动超前?
解：（1）据题意，两质点振动方程分别为：

（2）P、Q两质点的速度及加速度表达分别为：

当t=1s时，有：

（3）由相位差

可见，P点的相比Q点的相位超前.

5-14一质量的质点作振幅为A=的简谐振动，初始位置在位移A处并向着平衡位置运动，每当它通过平衡位置时的动能为。
(1)写出质点的振动表达式;
(2)求出初始位置的势能。
解：（1）由题意得初始条件：

可得： (由旋转矢量法可证出)
在平衡位置的动能就是质点的总能量

可求得：
则振动表达式为：

(2) 初始位置势能

当t=0时，

5-15质量m=10g的小球作简谐振动，其A=0.24m，Hz，当t=0时，初位移为，并向着平衡位置运动，求:
(l)t=0.5s时，小球的位置;
(2)t=0.5s时，小球所受力的大小与方向;
(3)从起始位置到处所需的最短时间;
(4)在处小球的速度与加速度;
(5)t=4s时，以及系统的总能量。
解：（1）由初始条件：

可知，
且
则振动表达式为：
当t=0.5s时，

(2) t=0.5s时，小球所受力：

因t=0.5s时，小球的位置在处，即小球在x轴负方向，而f的方向是沿x轴正方向，总是指向平衡位置.
习题5-15图
(3) 从初始位置到所需最短时间设为t，由旋转矢量法知，

(4) 因为

在

(5) t=4s时，

5-16两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每当它们经过振幅一半时相遇，而运动方向相反，求它们相位差，并作旋转矢量图表示。
解：设两质点的振动表达式分别为：
习题5-16图

由图题可知，一质点在处时对应的相位为：

同理：另一质点在相遇处时，对应的相位为：

故相位差

若的方向与上述情况相反，故用同样的方法，可得：

5-17已知两个简谐振动的曲线如习题5-17图所示，它们的频率相同，求它们的合振动的振动表达式。
解：由图题5-17(图在课本上P200)所示曲线可以看出，两个简谐振动的振幅相同，即,周期均匀，因而圆频率为：
由x-t曲线可知，简谐振动1在t=0时，且，故可求得振动1的初位相.
同样，简谐振动2在t=0时，
故简谐振动1、2的振动表达式分别为：

因此，合振动的振幅和初相位分别为：

但由x-t曲线知，t=0时，.
故合振动的振动表达式：

5-18已知两个同方向、同频率的简谐振动如下：式中x单位为m，t单位为s。
(1)求它们合振动的振幅与初相位;
(2)另有一同方向简谐振动，问为何值时，的振幅最大? 为何值时，的振幅最小?
(3)用旋转矢量法表示(1)、(2)两小问的结果。
解：（1）它们的合振动幅度初相位分别为：

（2）当,即时，的振幅最大；当，即时，的振幅最小.
（3）以上两小问的结果可用旋转矢量法表示，如图题5-18所示.

5-19两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅A=0.20m，合振动的相位与第一个振动的相位差为30o，若第一个振动的振幅A1=0.173m，求第二个振动的振幅及第一、第二两个振动的相位差为多少?
解：根据题意画出振幅矢量合成图，如习题5-19图所示.由习题5-19图及余弦定理可知

习题5-19图

又因为

若,即第一、第二两个振动的相位差为

50