大学物理第9章《真空中的静电场》习题解答.pdf

9 9 9 95 5 5 5 一无限长均匀带电细棒被弯成如一无限长均匀带电细棒被弯成如习题习题 9 9 9 95 5 5 5 图所示的对称形状，试问图所示的对称形状，试问 为何值时为何值时，圆心圆心O O O O点处的场强为零。点处的场强为零。解解：设电荷线密度为设电荷线密度为 ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强。强。在圆弧上取一弧元在圆弧上取一弧元d d d ds s s s=R R R Rd d d d 所带的电量为所带的电量为d d d dq q q q=d d d ds s s s在圆心处产生的场强的大小为在圆心处产生的场强的大小为2200dddd44qsEkrRR=由于弧是对称的，场强只剩由于弧是对称的，场强只剩x x x x分量，取分量，取x x x x轴方向为正，场强为轴方向为正，场强为d d d dE E E Ex x x x=-d d d dE E E Ecoscoscoscos 总场强为总场强为2/20/2cosd4xER=2/20/2sin4R=0sin22R=方向沿着方向沿着x x x x轴正向。轴正向。再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强根据上一题的公式根据上一题的公式可可得得半无限长带电直线在延长上半无限长带电直线在延长上O O O O点产生的场点产生的场强大小为强大小为04ER=由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O O O O点产生的合场强为点产生的合场强为02coscos222xEER=方向沿着方向沿着x x x x轴负向轴负向当当O O O O点合场强为零时，必有点合场强为零时，必有xxEE=，可得，可得tantantantan /2 2 2 2=1 1 1 1因此因此 /2 2 2 2=/4/4/4/4，所以所以 =/2/2/2/29 9 9 96 6 6 6 一宽为一宽为b b b b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为 ，如，如习题习题 9 9 9 96 6 6 6 图所示图所示。试试求求平板所在平面内，离薄板边缘距离为平板所在平面内，离薄板边缘距离为a的的P点处的场强。点处的场强。ROROxddEOEExRPbaOxdxy解：解：建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为 d d d dx x x x的带电直线，电荷的线密度为的带电直线，电荷的线密度为d d d d =d d d dx x x x根据直线带电线的场强公式根据直线带电线的场强公式02Er=得带电直线在得带电直线在P P P P点产生的场强为点产生的场强为00ddd22(/2)xErbax=+其方向沿其方向沿x x x x轴正向。轴正向。由于每条无限长直线在由于每条无限长直线在P P P P点的产生的场强方向相同，所以总场强为点的产生的场强方向相同，所以总场强为/20/21d2/2bbExbax=+/20/2ln(/2)2bbbax=+0ln(1)2ba=+场强方向沿场强方向沿x x x x轴正向。轴正向。9 9 9 97 7 7 7 有一半径为有一半径为r的半球面的半球面,均匀地带有电荷均匀地带有电荷,电荷面密度为电荷面密度为,求球心处的电求球心处的电场强度。场强度。解解:如 图 所 示，在 球 面 上 任 取 一 面 元如 图 所 示，在 球 面 上 任 取 一 面 元ddsind2rS=，其上带电量为，其上带电量为ddsindd2rSq=，电荷元电荷元qd在球心处产生在球心处产生的场强的大小为的场强的大小为22020ddsin41d41drrrqE=方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向下，其大小为向下，其大小为0202004 dcossin4dcosd=EEEz9 9 9 99 9 9 9 面电荷密度为面电荷密度为 的均匀无限大带电平板，以平板上的一点的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O O O O为中心，为中心，R R R R为半径作为半径作一半球面，如习题一半球面，如习题 9 9 9 99 9 9 9 图所示。求通过此半球面的电通量。图所示。求通过此半球面的电通量。RO解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面。球面内包含的电解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面。球面内包含的电荷为荷为q q q q=R2R2R2R2 通过球面的电通量为通过球面的电通量为e e e e=q q q q/0 0 0 0通过半球面的电通量为通过半球面的电通量为 e e e e=e e e e/2/2/2/2=R2R2R2R2 /2/2/2/2 0 0 0 09 9 9 910101010 两无限长同轴圆柱面，半径分别为两无限长同轴圆柱面，半径分别为R R R R1 1 1 1和和R R R R2 2 2 2(R R R R2 2 2 2 R R R R1 1 1 1)，带有等量异号电荷，单位，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为长度的电量分别为 和和-，求（，求（1 1 1 1）r r r r R R R R1 1 1 1；（2 2 2 2）R R R R1 1 1 1 r r r r R R R R2 2 2 2处各点的场强。处各点的场强。解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。（1 1 1 1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E E E E=0 0 0 0，（r r r r R R R R1 1 1 1）（2 2 2 2）在两个圆柱之间做一长度为）在两个圆柱之间做一长度为l l l l，半径为，半径为r r r r的同轴圆柱形高斯面，高斯的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为面内包含的电荷为q q q q=l穿过高斯面的电通量为穿过高斯面的电通量为=SSerlEEdSSdE2根据高斯定理根据高斯定理 e e e e=q q q q/0 0 0 0，所以，所以02Er=，(R R R R1 1 1 1 r r r r R R R R2 2 2 2）9 91212 一个均匀带电圆盘，半径为一个均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为，电荷面密度为，求：，求：(1)(1)轴线上任一点的电势（用轴线上任一点的电势（用x表示该点至圆盘中心的距离表示该点至圆盘中心的距离）；(2)(2)利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布的同心带电细圆环所组成布的同心带电细圆环所组成，距距O点点r处取一宽为处取一宽为dr的的细圆环细圆环，其带电量为其带电量为rdrddq 2S=，dq在在P点点处产生的电势为处产生的电势为22 1 222 1 2001d12dd4()4()qr rVrxrx=+所以，整个带电圆盘在所以，整个带电圆盘在P点产生的电势为点产生的电势为2222 1 20002dd()4()2Rr rVVRxxrx=+轴线上的场强分布为轴线上的场强分布为)1(2dd220 xRxxVEx+=9 9 9 920202020 电量电量q q q q均匀分布在长为均匀分布在长为 2 2 2 2L L L L的细直线上，试求：的细直线上，试求：（1 1 1 1）带电直线延长线上离中点为）带电直线延长线上离中点为r r r r处的电势；处的电势；（2 2 2 2）带电直线中垂线上离中点为）带电直线中垂线上离中点为r r r r处的电势；处的电势；（3 3 3 3）由电势梯度算出上述两点的场强。）由电势梯度算出上述两点的场强。解：电荷的线密度为解：电荷的线密度为 =q/q/q/q/2 2 2 2L L L L（1 1 1 1）建立坐标系，在细线上取一线元）建立坐标系，在细线上取一线元 d d d dl l l l，所带的电量为，所带的电量为d d d dq q q q=d d d dl l l l根据点电荷的电势公式，它在根据点电荷的电势公式，它在P P P P1 1 1 1点产生的电势为点产生的电势为101dd4lUrl=总电势为总电势为10d4LLlUrl=0ln()4LlLrl=0ln8qrLLrL+=（2 2 2 2）建立坐标系，在细线上取一线元）建立坐标系，在细线上取一线元 d d d dl l l l，所带的电量为，所带的电量为 d d d dq q q q=d d d dl l l l，在线的垂直平分线，在线的垂直平分线上的上的P P P P2 2 2 2点产生的电势为点产生的电势为222 1/20dd4()lUrl=+，积分得积分得2221/201d4()LLUlrl=+220ln()4LlLrll=+22220ln8qrLLLrLL+=+220ln4qrLLLr+=（3 3 3 3）P P P P1 1 1 1点的场强大小为点的场强大小为11UEr=oxdlyLr-LP1lolxdl-LLyrP2011()8qL rLrL=+22014qrL=，方向沿着方向沿着x x x x轴正向。轴正向。P P P P2 2 2 2点的场强为点的场强为22UEr=2222014()qrL rrLrLL=+22014qrrL=+方向沿着方向沿着y y y y轴正向。轴正向。9 9 9 921212121 如如习题习题 9 9 9 921212121 图所示图所示，一个均匀带电一个均匀带电，内内、外半径分别为外半径分别为R R R R1 1 1 1和和R R R R2 2 2 2的均匀带电球的均匀带电球壳，所带电荷体密度为壳，所带电荷体密度为 ，试计算：，试计算：（1 1 1 1）A A A A，B B B B两点的电势；两点的电势；（2 2 2 2）利用电势梯度求）利用电势梯度求A A A A，B B B B两点的场强。两点的场强。解解：（1 1 1 1）A A A A点在球壳的空腔内点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等空腔内的电势处处相等，因此因此A A A A点的电势就等于球心点的电势就等于球心O O O O点的电势。点的电势。在半径为在半径为r r r r的球壳处取一厚度为的球壳处取一厚度为 d d d dr r r r的薄壳，其体积为的薄壳，其体积为d d d dV V V V=4 4 4 4 r r r r2 2 2 2d d d dr r r r包含的电量为包含的电量为d d d dq q q q=d d d dV V V V=4 4 4 4r r r r2 2 2 2d d d dr r r r在球心处产生的电势为在球心处产生的电势为00ddd4OqUr rr=球心处的总电势为球心处的总电势为21222100d()2RORUr rRR=这就是这就是A A A A点的电势点的电势U U U UA A A A。过过B B B B点作一球面，点作一球面，B B B B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的。的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的。球面外的电荷在球面外的电荷在B B B B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得得22120()2BURr=球面内的电荷球面内的电荷在在B B B B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在在B B B B点点AOR1BR2rArBOR1R2rdrOR1R2rBB产生的电势。球壳在球面内的体积为产生的电势。球壳在球面内的体积为3314()3BVrR=包含的电量为包含的电量为Q Q Q Q=V V V V这些电荷集中在球心时在这些电荷集中在球心时在B B B B点产生的电势为点产生的电势为332100()43BBBQUrRrr=B B B B点的电势为点的电势为U U U UB B B B=U U U U1 1 1 1+U U U U2 2 2 2322120(32)6BBRRrr=（2 2 2 2）A A A A点的场强为点的场强为0AAAUEr=B B B B点的场强为点的场强为3120()3BBBBBURErrr=讨论讨论：过空腔中过空腔中A A A A点作一半径为点作一半径为r r r r的同心球形高斯面的同心球形高斯面，由于面内没有电荷由于面内没有电荷，根据高斯定理根据高斯定理，可得空腔中可得空腔中A A A A点场强为点场强为E E E E=0 0 0 0，(r r r rR R R R1 1 1 1)过球壳中过球壳中B B B B点作一半径为点作一半径为r r r r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为的同心球形高斯面，面内球壳的体积为3314()3VrR=包含的电量为包含的电量为q q q q=V V V V根据高斯定理得方程根据高斯定理得方程4 4 4 4 r r r r2 2 2 2E E E E=q/q/q/q/0 0 0 0可得可得B B B B点的场强为点的场强为3120()3RErr=，(R R R R1 1 1 1r r r rR R R R2 2 2 2)这两个结果与上面计算的结果相同。这两个结果与上面计算的结果相同。在球壳外面作一半径为在球壳外面作一半径为r r r r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为的同心球形高斯面，面内球壳的体积为33214()3VRR=包含的电量为包含的电量为q q q q=V V V V根据高斯定理得可得球壳外的场强为根据高斯定理得可得球壳外的场强为33212200()43RRqErr=，(R R R R2 2 2 2r r r r)A A A A点的电势为点的电势为ddAAArrUE r=ElElElEl12131200d()d3ARRrRRrrrr=+2332120()d3RRRrr+22210()2RR=B B B B点的电势为点的电势为ddBBBrrUE r=ElElElEl23120()d3BRrRrrr=2332120()d3RRRrr+322120(32)6BBRRrr=A A A A和和B B B B点的电势与前面计算的结果相同点的电势与前面计算的结果相同