线性代数_赵树源第4版文档.doc

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赵1A2(1)
这是让用对角线法则计算行列式
1 2 3
3 1 2
2 3 1
= 1*1*1 + 2*2*2 + 3*3*3 - 3*1*2*3
= 1+8+27 - 18
= 18
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赵1A12(3)

1 1 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
0 0 1 0

解: 根据行列式的定义,
每行每列恰取一个元素的乘积构成一个和项
且只需考虑非零的和项.

第1列非零元只有a11, 第4行非零元只有a43
所以行列式
= (-1)^t(1243)a11a22a34a43 + (-1)^t(1423)a11a24a32a43
= -1 + 1 = 0.
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1A18(1)
1 1 2 3
1 2 3 -1
3 -1 -1 -2
2 3 -1 -1
第1步: r2-r1, r3-3r1, r4-2r1, 得
1 1 2 3
0 1 1 -4
0 -4 -7 -11
0 1 -5 -7
第2步: r3 + 4r2, r4 - r2, 得
1 1 2 3
0 1 1 -4
0 0 -3 -27
0 0 -6 -3
第3步: r4 - 2r3 得
1 1 2 3
0 1 1 -4
0 0 -3 -27
0 0 0 51
所以 行列式 = -153
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1A18(2)
2 -5 3 1
1 3 -1 3
0 1 1 -5
-1 -4 2 -3

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1A18(3)
-2 2 -4 0
4 -1 3 5
3 1 -2 -3
2 0 5 1

解:
r2+2r1,r4+r1, r1*(1/2) [第1行提出2], r3+3r1
-1 1 -2 0
0 3 -5 5
0 4 -8 -3
0 2 1 1

r2-r4,r3-2r4
-1 1 -2 0
0 1 -6 4
0 0 -10 -5
0 2 1 1

r4-2r2
-1 1 -2 0
0 1 -6 4
0 0 -10 -5
0 0 13 -7

= 2*(-1)*1*(10*7+5*13)
= -2*135
= -270.
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1A21
0 x x ... x
x 0 x ... x
x x 0 ... x
... ...
x x x ... 0

解: c1+c2+...+cn (所有列加到第1列)
(n-1)x x x ... x
(n-1)x 0 x ... x
(n-1)x x 0 ... x
... ...
(n-1)x x x ... 0

ri-r1,i=2,3,...,n (所有行减第1行)
(n-1)x x x ... x
0 -x 0 ... 0
0 0 -x ... 0
... ...
0 0 0 ... -x

行列式 = (-x)^(n-1) [(n-1)x] = (-1)^(n-1) (n-1)x^n
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1A25(2)
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
第1步: c1+c2+c3+c4 (即2,3,4列都加到第1列), 提出第1列公因子 (3+x), 得
1 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
第2步: 第1行乘 -1 加到 2,3,4行, 得
1 1 1 1
0 x-1 0 0
0 0 x-1 0
0 0 0 x-1
所以行列式 = (3+x)(x-1)^3
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1A26
解: 2的代数余子式A31 = (-1)^(3+1)*
0 4
0 3
= 0

-2的代数余子式A32 = (-1)^(3+2)*
-3 4
5 3
= -(-9-20) = 29.
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1A27
解:第3列的余子式分别为: 5,3,-7,4
所以第3列的代数余子式分别为: (-1)^(1+3)*5,(-1)^(1+3)*3,(-1)^(1+3)*(-7),(-1)^(1+3)*4
即 5,-3,-7,-4
而第3列元素分别为-1,2,0,1
所以 D = (-1)*5+2*(-3)+0*(-7)+1*(-4) = -15.
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1A28
解: A41+A42+A43+A44 =
1 0 4 0
2 -1 -1 2
0 -6 0 0
1 1 1 1

按第3行展开
= (-1)^(3+2)*(-6)*
1 4 0
2 -1 2
1 1 1

= 6*(-3) = -18.
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1A29
解: A11+A12+A13+A14 =
1 1 1 1
d c b b
b b b b
c d a d
=0. (1,3行成比例)
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1A30(1)
1 0 a 1
0 -1 b -1
-1 -1 c -1
-1 1 d 0
0 -1 -1 1 0 1
= (-1)^(1+3)a* -1 -1 -1 + (-1)^(2+3)b* -1 -1 -1
-1 1 0 -1 1 0

1 0 1 1 0 1
+ (-1)^(3+3)c* 0 -1 -1 + (-1)^(4+3)d* 0 -1 -1
-1 1 0 -1 -1 -1

= a + b + d.
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1A30(2)
与(1)类似, 略
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1A32
1 2 3 4 ... n-1 n
1 1 2 3 ... n-2 n-1
1 x 1 2 ... n-3 n-2
1 x x 1 ... n-4 n-3
... ... ... ...
1 x x x ... 1 2
1 x x x ... x 1

ri - r(i+1), i=1,2,...,n-1
0 1 1 1 ... 1 1
0 1-x 1 1 ... 1 1
0 0 1-x 1 ... 1 1
0 0 0 1-x... 1 1
... ... ... ... ...
0 0 0 0 ...1-x 1
1 x x x ... x 1

按第1列展开= (-1)^(1+n)*
1 1 1 ... 1 1
1-x 1 1 ... 1 1
0 1-x 1 ... 1 1
0 0 1-x... 1 1
... ... ... ...
0 0 0 ...1-x 1

ci-c(n-1), i=1,2,...,n-2
0 0 0 ... 0 1
-x 0 0 ... 0 1
-1 -x 0 ... 0 1
-1 -1 -x ... 0 1
-1... ... ... ...
-1 -1 -1 ... -x 1

按第1行展开=(-1)^(1+n)*(-1)^(1+n-1)*
-x 0 0 ... 0
-1 -x 0 ... 0
-1 -1 -x ... 0
-1... ... ... ..
-1 -1 -1 ... -x

行列式 = - (-x)^(n-2) = (-1)^(n-1)x^(n-2)
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1A33
a b 0 ... 0 0
0 a b ... 0 0
0 0 a ... 0 0
... ...
0 0 0 ... a b
b 0 0 ... 0 a

解: 按第1列展开得
a*(-1)^(1+1)*a^(n-1)+b*(-1)^(1+n) * b^(n-1)
=a^n + (-1)^(1+n) * b^n.

注: 按展开定理, 是第1列的每个数乘其代数余子式之和.
代数余子式 Aij = (-1)^(i+j)Mij
第1列非零元只有 a (a11) 和 b(a1n)
b 位于第n行第1列, 所以其代数余子式要乘 (-1)^(n+1)
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1A34
用特殊分块矩阵的行列式的结果
原行列式 = |1 2| * |x 2| = (x-2)(x^2-4) = (x-2)^2(x+2).
|1 x| |2 x|
所以 x=±2.

1 2 1 1
1 x 2 3
0 0 x 2
0 0 2 x
第1步: r2-r1, 再交换 第3,4列, (注意这里行列式变符号) 得
1 2 1 1
0 x-2 2 1
0 0 2 x
0 0 x 2
第2步: r4 - (x/2)r3
1 2 1 1
0 x-2 2 1
0 0 2 x
0 0 0 2- (1/2)x^2
所以行列式 = - { (x-2)*2*[ 2 - (1/2)x^2] }
= (x-2)(x^2 - 4) 或写成 (x+2)(x-2)^2

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1A35
1+x 1 1 1
1 1-x 1 1
1 1 1+y 1
1 1 1 1-y

x=0 或 y=0 时, 行列式有两行相等, 行列式为0
当 xy≠0 时
ri-r1 (i=2,3,4)
1+x 1 1 1
-x -x 0 0
-x 0 y 0
-x 0 0 -y

c1-c2+(x/y)c3-(x/y)c4
x 1 1 1
0 -x 0 0
0 0 y 0
0 0 0 -y

= x^2y^2

所以 x=0 或 y=0.
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1A36
此为Vandermonde行列式
a1=-1,a2=2,a3=1,a4=3

行列式 = 3*2*4 * (-1)*1 * 2 = -48.
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1A37
a+b x+b x+a
x a b
x^2 a^2 b^2

r1+r2 提出第1行公因子 (x+a+b)
1 1 1
x a b
x^2 a^2 b^2

此为Vandermonde行列式
行列式 = (x+a+b)(a-x)(b-x)(b-a)
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1A38
按第3,4行展开得
2 0 * (-1)^(3+4+1+2) 1 1 = 2*2 = 4
0 1 0 2

2 1 * (-1)^(3+4+1+4) 2 1 = 4*(-4) = -16
0 2 4 0

0 1 * (-1)^(3+4+2+3) 3 1 = (-1)*6 = -6
1 0 0 2

0 1 * (-1)^(3+4+2+4) 3 1 = 0
1 2 0 0

1 1 * (-1)^(3+4+3+4) 3 2 = 2*12 = 24
0 2 0 4

行列式=4-16-6+24 = 6
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赵1A39

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赵1A40. 疯了, 非让用Crammer法则解线性方程组!
(1)
D = |2 5| = -1
|3 7|
D1 = |2 1| = 1. D2 = |1 5| = -3
|3 2| |2 7|
x1=D1/D = -1, x2=D2/D = 3.
(2)
D = 4 5 = -43 ≠ 0
3 -7
齐次线性方程组只有零解. 故 x1=x2=0
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赵1A41(1) 验证代入即可(略)
系数行列式=
2 -3 4 -3
3 -1 11 -13
4 5 -7 -2
13 -25 1 11
所有列加到第1列, 第1列全是0, 故行列式=0
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赵1A41(2)
系数行列式=
1 2 3 -1
3 2 1 1
5 5 2 0
2 3 1 -1
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赵1A42.
判断齐次线性方程组是否只有零解
2x1+2x2-x3=0
x1-2x2+4x3=0
5x1+8x2-2x3=0

分析: n元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是
系数行列式不等于0.
解: 系数行列式=
|2 2 -1| |0 0 -1|
|1 -2 4| c1+2c3,c2+2c3 |9 6 4| = 36-6 = 30
|5 8 -2| |1 4 -2|
所以方程组只有零解.
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赵1A43.
如果齐次线性方程组有非零解, k应取什么值?
kx+y+z=0
x+ky-z=0
2x-y+z=0

分析: n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
系数行列式等于0.
解: 系数行列式=
|k 1 1| |k-2 2 0|
|1 k -1| r1-r3,r2+r3 | 3 k-1 0| =(k-1)(k-2)-6 = (k+1)(k-4)
|2 -1 1| | 2 -1 1|
所以 k=-1 或 k=4.
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赵1A44.
k取什么值时,齐次线性方程组仅有零解
kx+y-z=0
x+ky-z=0
2x-y+z=0

分析: n元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是
系数行列式不等于0.
解: 系数行列式=
|k 1 -1| |k+2 0 0|
|1 k -1| r1+r3,r2+r3 | 3 k-1 0| = (k+2)(k-1)
|2 -1 1| | 2 -1 1|
所以 k≠1 且 k≠-2 时仅有零解.
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赵1B1.
行列式 = (k-1)^2-2^2 = (k+1)(k-3)
选(C).
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赵1B2.
行列式=k^2-2-k-4 = k^2-k-6 = (k+2)(k-3)
选(D)
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赵1B3.
行列式=λ1-2. 选(C).
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赵1B4.
(A)τ(12435)=0+0+1+0 = 1
(B)τ(54321)=4+3+2+1 = 10
(C)τ(32514)=2+1+2+0 = 5
(D)τ(54231)=4+3+1+1 = 9
(B)正确.
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赵1B5.
列标按自然序, 计算行标的逆序数τ(ik42)
i=1,k=3时, τ(ik42)=τ(1342)=0+1+1=2 带正号
所以 i=3,k=1时, 带负号
故(2)(3)正确.
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赵1B6.
(A)不是 行标有2个3
(B)τ(42135)=3+1+0+0 = 4 不是
(C)不是 列标2个1
(D)τ(21435)=1+0+1+0 =2 是
选(D).
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赵1B7.
(A)τ(13254)=0+1+0+1 = 2 属于
(B)τ(51432)=4+0+2+1 = 7 属于
(C)τ(31452)=2+0+1+1 = 4 不属于
(D)τ(54321)=4+3+2+1 =10 属于
选(D).
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赵1B8.
D1: c1提4,c2-2c1, c2提(-3) 化成D
所以 D1 = 4*(-3)D = -12.
(A)正确.
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赵1B9.
c2-3c1,c3+c1, r2提(-3), c2提(-2), c3提4
化成原行列式
所以行列式 = (-3)*(-2)*4 = 24.
(B)正确.
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赵1B10.
(A)
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赵1B11.
D1=D2=D, D3 = -D, D4=2D
故(B)正确.
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赵1B12.
行列式 = (-1)^τ(4321)*2a = 2a
所以 a = -1/2
故(A)正确 #
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赵1B13.
ri-r1, i=2.3,...,n 化为上三角行列式
行列式 = (-1)^(n-1).
故(C)正确 #
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赵1B14.
A41 = (-1)^(1+4) * (-1)^(1+3)*a2 *(a3a6-a4a5)
= -a2a3a6 + a2a4a5
故(B)正确 #
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赵1B15.
行列式 = (-a1)(-a2)...(-an)(-1)^τ(n(n-1)...21)
= (-1)^(n-1+n-2+...+1) * (-1)^n * a1a2...an
= (-1)^[n(n-1)/2 + n]a1a2...an
= (-1)^[n(n+1)/2]a1a2...an
故(D)正确.
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赵1B16.
(B)行列式 = (-1)^τ(n(n-1)...21) = (-1)^(n-1+n-2+...+1) = (-1)^[n(n-1)/2]
其余行列式都是由单位矩阵的行列式交换两行得到的, 值都是-1.
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赵1B17.
选1,3行,用Laplace展开得

行列式 = (-1)^(1+3+1+3) |a b| |x y|
|c d| |u v|
= (ad-bc)(xv-yu).
(C)正确 #
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赵1B18
f(x) =
c1+c2+c3+c4
x -1 1 x-1
x -1 x+1 -1
x x-1 1 -1
x -1 1 -1

r1-r4,r2-r4,r3-r4
0 0 0 x
0 0 x 0
0 x 0 0
x -1 1 -1
= - x^4
(D)正确 #
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赵1B19.
(1)行列式 = (-1)^τ(4123) = (-1)^3 = -1.
(2)行列式 = (-1)^τ(3241) = (-1)^4 = 1.
(3)因为行和都是0, 故行列式 = 0.
(4)行列式 =
| 1 2 2 200+1| | 1 2 2 200| | 1 2 2 1|
|-1 3 3 300-1| = |-1 3 3 300| + |-1 3 3 -1| = 0+0 =0
|-2 2 1 100-2| |-2 2 1 100| |-2 2 1 -2|
| 3 5 1 100+3| | 3 5 1 100| | 3 5 1 3|
所以(A)正确 #
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赵1B20.
方程组有唯一解, 故系数行列式等于0
|2 k|
|k 2| = 4-k^2 = (2+k)(2-k).
所以 k=-2 或 k=2.
选(B) #
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赵1B21.
(A) 充分条件
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赵1B22.
系数行列式
a11 -a12
a21 -a22
= -1

x1 = (-1)* |b1 -a12| = |b1 a12|
|b2 -a22| |b2 a22|

x2 = (-1)* |a11 b1|
|a21 b2|
(C) 正确 #
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赵1B23.
因为方程组有非零解, 所以系数行列式等于0
2 -1 1
1 k -1
k 1 1
= 2k + k + 1 - k^2 + 2 +1
= -k^2 +3k + 4
= -(k-4)(k+1)
所以 k=-1 或 k=4.
选(D) #
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赵1B24.
齐次线性方程组只有零解, 故系数行列式不等于0
所以 k≠-1 且 k≠4
选(C) #
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第2章
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2A08
A=
50 30 25 10 5
30 60 25 20 10
50 60 0 25 5
B = (0.95,1.2,2.35,3,5.2)'
该厂各月份的总产值为
AB = (198.25, 271.25, 220.5)'
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2A09
设 A = 0.8 0.1 0.1 B = (30,20)
0.4 0.3 0.3
BA = ( 32, 8, 9)
三种金属的数量分别为 32, 8, 9 吨.
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2A21
解: |2|A|A^T| = 2^n |A|^n |A^T|
= 2^n |A|^(n+1)
= 2^n m^(n+1).
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2A41
解矩阵方程 AX+B=X

解: 由AX+B=X得 (A-E)X=-B
(A-E,-B)=
-1 1 0 -1 1
-1 0 1 -2 0
-1 0 -2 5 -3

r1-r2,r3-r2
0 1 -1 1 1
-1 0 1 -2 0
0 0 -3 7 -3

r2*(-1),r3*(-1/3)
0 1 -1 1 1
1 0 -1 2 0
0 0 1 -7/3 1

r1+r3,r2+r3
0 1 0 -4/3 2
1 0 0 -1/3 1
0 0 1 -7/3 1

r1<->r2
1 0 0 -1/3 1
0 1 0 -4/3 2
0 0 1 -7/3 1

所以 X =
-1/3 1
-4/3 2
-7/3 1
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2A51
设A为三阶矩阵，且|A|=1/2，求|(3A)^-1 - 2A^*|的值

解: (3A)^(-1) = (1/3) A^(-1)
A* = |A|A^(-1) = (1/2) A^(-1)

所以 |(3A)^-1 - 2A^*|
= | (1/3) A^(-1) - (1/2) A^(-1) |
= | (-2/3) A^(-1) |
= (-2/3)^3 | A^(-1) |
= (-2/3)^3 * 2
= - 16/27.
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2A52
设A,B为三阶矩阵, 且|A|=2,|B|=3, 求 |-2(A^TB^-1)^-1|

解: |-2(A^TB^-1)^-1|
= (-2)^3 |A^TB^-1|^-1
= -8 |A^T|^-1 |B^-1|^-1
= -8 |A|^-1 |B|
= -8*(1/2)*3
= -12.
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2A54(1)
2 2 3 1 0 0
1 -1 0 0 1 0
-1 2 1 0 0 1

r1-2r2, r3+r2
0 4 3 1 -2 0
1 -1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1

r1-4r3, r2+r2
0 0 -1 1 -6 -4
1 0 1 0 2 1
0 1 1 0 1 1

r2+r1,r3+r1,r1*(-1)
0 0 1 -1 6 4
1 0 0 1 -4 -3
0 1 0 1 -5 -3

交换行得
1 0 0 1 -4 -3
0 1 0 1 -5 -3
0 0 1 -1 6 4
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2A54(3)
1 1 1 1 1 0 0 0
-1 1 1 1 0 1 0 0
-1 -1 1 1 0 0 1 0
-1 -1 -1 1 0 0 0 1

r2+r1,r3+r1,r4+r1
1 1 1 1 1 0 0 0
0 2 2 2 1 1 0 0
0 0 2 2 1 0 1 0
0 0 0 2 1 0 0 1

r2*(1/2),r3*(1/2),r4*(1/2),
1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1/2 1/2 0 0
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