浙江省宁波市高三数学上学期期中试题-理-新人教A版.doc

浙江省效实中学2013届高三数学上学期期中试题 理 新人教A版
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．
第Ⅰ卷（选择题　共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
(A) (B) (C) (D)
2．已知，则等于
(A) (B) (C) (D)
3．若向量满足，且，则与的夹角为
(A) (B) (C) (D)
4．等差数列的公差，且成等比数列，是数列的前项和，
则的值为
(A) (B) (C) (D)
5．函数的单调递增区间是
(A) (B) (C) (D)
6． 已知函数，则下列结论正确的是
(A)函数在区间上为增函数
(B) 函数的最小正周期为
(C) 函数的图象关于直线对称
(D) 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象
7．已知．现有下列不等式：①；②；③；
④．其中正确的是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④

8．是所在平面内一点，动点满足，
则动点的轨迹一定通过的
(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心
9．若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
10．如图放置的正方形
分别在轴、轴的正半轴（含原点）
上滑动，则的最大值是
(A) (B)
(C) (D)
第10题图

第Ⅱ卷（非选择题　共70分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．
11．复数满足，其中是虚数单位，则复数 ▲ ．
12．在的展开式中，含项的系数是 ▲ ．

13．函数
的部分图象如右图，则 ▲ ．
第13题图
14．若函数
在其定义域上有且只有一个零点，
则实数的取值范围是 ▲ ．
15．在中，分别为角所对的边，为边上的高．已知，
且，则 ▲ ．
16．在中，分别为角所对的边，若，
则的最大值为 ▲ ．
17．设正整数数列满足：，且对于任何，有，
则 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．(本题满分9分)已知函数在一个周期内的图象
如图所示，点为图象的最高点，为图象与轴的交点，且三角形的面积为
．
（I）求的值及函数的值域；
（II）若，求的值．

第18题图

19．(本题满分9分)用这六个数字，组成四位数．
（I）可以组成多少没有重复数字的四位数？
（II）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？

20．(本题满分10分)在中，分别为角所对的边，向量，
，且垂直．
（I）确定角的大小；
（II）若的平分线交于点，且，设，
试确定关于的函数式，并求边长的取值范围．

21．(本题满分11分)已知以为首项的数列满足
（I）当时，求数列的通项公式；
（II）当时，试用数列表示数列前100项的和；
（III）当时，正整数时，
证明：数列成等比数列的充要条件是．

22．(本题满分10分)已知函数，， ．
(Ⅰ) 设对任意，恒成立，求的取值范围；
(Ⅱ) 是否存在实数，使得满足的实数有且仅有一个？
若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由．

一、选择题
(1)D． (2) A． (3)C． (4) A． (5) D． (6)C． (7)B． (8)C． (9)B． (10) D．
二、填空题
(11) (12)6 (13) (14) (15) (16) (17)． ks5u
三、解答题
(18)(I)又，，则。
则值域是；ks5u　　　　　　　　　　　
(II)由得，
， 得则ks5u
。
(19)（I）； 　　　　　　　　　　　　　　　
（II）①0重复：；
②其他数重复： (i）有0：
(ii)无0： ；ks5u
所以60+180+360=600个。　　　　　　　　　　　　
(20)（I）由得，

（II）由得，
　　　则．　　　　　　　
由
，得，　　　　　　　　　
(21)（I）由题意得: 　　 ks5u
（II）当时，,,,,,
,，，ks5u
ks5u

（3）（i）当时，；
ks5u
，
,
综上所述，当，数列是公比为的等比数列．

（ii）假设时，

又,
,
,
不成等比数列。所以假设不成立, 。
命题得证　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（22）(Ⅰ)法一： 由得，即；
又当时，，因为，则，于是
，ks5u
即恒成立，故的取值范围是．
法二：当时，，此时；
当时，等价于。
令，，
由，
因为，，
所以，，
于是在，从而，所以．
综上，的取值范围是．　　　　　　　　　　　　　 　
(Ⅱ)假设存在，由等价于，
令，，则。
（ⅰ）若,则,舍去;
（ⅱ）若，即，变形得，ks5u
　　　　　函数与的图象只有一个交点，
　　　　　且，所以存在惟一正数，使，因此符合；　
（ⅲ）若，此时必存在使的正根，记这个正根为，
则，，
得在，
从而最小值为，因为满足的实数有且仅有一个，
所以，
由得，即，
记，，由可知为增
函数，因为,, 所以有且仅有惟一正数，代入
得．
综上，这样的实数存在，且或．　　　　　　　　　　

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用心 爱心 专心