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直角三角形斜边上的中线
一、 选择题
1．（2012济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）
A．　　　B．　　　C．　　D．
O
y
x
A
C
B
2．（09潍坊17．）已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 ．

二、 填空题
1．直角三角形的两边长为3、4，则斜边上的中线长为 ．

三、 解答题
1． 已知，△ABC中，∠ACB=90°，AD∥BC，BD与AC交于点E，且DE=2AB．
求证：∠ABD=2∠CBD．（或∠ABC=3∠CBD）

变式：（2012天津18．）“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN，设．
（Ⅰ）当∠MAN=69°时，∠α的大小为 （度）；
（Ⅱ）如图，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5cm．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明做法（不要求证明） 。

2．已知，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=15°，CD⊥AB于D．求证：．

3．如图5，已知：四边形ABCD是矩形，E是CB延长线上的一点，
O是AE的中点.求证：OC=OD.

图5
38.如图所示，E为矩形ABCD边CB延长线上一点，CE=CA，F为AE的中点，求证：BF⊥FD

4.如图，E是□ABCD外一点，且 AE⊥CE，BE⊥DE，□ABCD是矩形吗？试说明理由.

5.如图，锐角△ABC中，BE、CF是高，点M、N分别为BC、EF的中点，求证：MN⊥EF.

变式1：如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点，
求证：EF⊥BD.
变式2：如图，锐角△ABC中，两条高BD、CE交于点F，点M、N分别为BC、AF的中点，求证：MN垂直平分ED.

6．如图，已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点.
求证：

7.已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分别是AD、BC的中点.
求证：

8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E、F、G为三边中点.
求证：四边形DEFG为等腰梯形.
（变式：求证：∠EDF=∠FGE）

9．（05海淀区二次函数或圆）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.
⑴请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由.
⑵在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.

10．如图，已知在△ABC中，CE⊥AD于E，BD⊥AD于D，BM=CM．求证：ME=MD．

11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥DE于D，DE交BC于E．
求证：．

12.如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．求证：⑴BE⊥AC；⑵EG=EF．

四、 竞赛题
1．（2006安庆市初中数学竞赛题）（2008河南高一）
已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，M是CD的中点.
求证：MB=ME

变式：如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC，垂足为P，OQ⊥AB，垂足为Q.
求证：DQ=DP