直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题-(韩).doc

直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题
一、直角三角形的性质
1．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2=　　度．

2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，求证：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF．

3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角有

4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，
求证：△APQ是等腰直角三角形．

二、含30°角的直角三角形的性质
5．在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，求AD的长

6．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，
求PD的长

7．如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，
求∠EDC的度数

8．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，求AF的长

9．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；

三、 直角三角形斜边中线问题
11．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，求证：△PMN为等边三角形；

12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．
（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；
（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；
（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．

13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，求AC的长

14．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，求∠DFE等于多少

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，求∠ACB′=　　．

17．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，求BC的长度 ．

19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；
（3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．

20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．

四、等腰直角三角形问题
21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．

22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．

23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．

24．如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；
（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．

25．已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°
（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）求证：S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF；
（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．

26．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；
（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）AD与CF的关系是　　；
（3）求证：△ACF是等腰三角形；
（4）△ACF可能是等边三角形吗？　　（填“可能”或“不可能”）．

三角形面积小专题
亲爱的老师，给学生设计题目一定要注意归类训练，抓住重点题型要训练透彻
亲爱的老师，亲爱的同学们，做题一定要注意反思总结：这个题用了什么知识点，给我们什么启示，以后遇到此类问题怎么办？
一、 面积问题的通法是求底和高
1．如图所示，要判断△ABC的面积是△DBC的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要测量（　　）A．1次 B．2次 C．3次 D．3次以上

2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，求△BEF的面积

3．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，
求S△ABD：S△ACD=

4．在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD中点，过点E作垂线交BC于点F，已知BC=10，△ABD的面积为12，求EF的长

根据底和高之间的关系求面积之间的关系
5． 如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，
求图中阴影部分的面积

6．如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，若S△ABC=30，求四边形BEFD的面积

7．△ABC的两条中线AD、BE交于点F，连接CF，若△ABC的面积为24，
求△ABF的面积

8．如图，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，延长边CA到点E，使AE=AC，延长AB到点F，使FB=AB，连接DE，FD，FE，得到△DEF，若S△EFD=168，
求S△ABC

9．如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，求三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比

10．如图，三角形ABC内的线段BD、CE相交于点O，已知OB=OD，OC=2OE．若△BOC的面积=2，求四边形AEOD的面积

11．如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，
求△ABC的面积

等腰三角形专题训练
亲爱的老师，给学生设计题目一定要注意归类训练，抓住重点题型要训练透彻
亲爱的老师，亲爱的同学们，做题一定要注意反思总结：这个题用了什么知识点，给我们什么启示，以后遇到此类问题怎么办？
一、角平分线遇到平行线出现等腰三角形及综合知识应用
1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线
AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，求AD的长

2．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，求DF的长

3．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，
求证：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；

4．如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数

二、等腰三角形三线合一（有前两线必有第三线）及综合知识应用
5．如图，在△ABC中，∠BAC＜90°，AB=AC，AF⊥BC于点F，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于E，交AB边于点G，则图中与∠D相等的角的个数为（　　）

6．如图△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BF平分∠ABC，E是AF的中点，DE⊥AC交AB于D，连接DC交BF于P，求∠DPB的度数

7．如图，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，求DF的长

8．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．若∠BAC=45°，AM=4，DM=3，
求BC的长

9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，
求证：① 点G到△ABC各边的距离相等；
② 设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=nm．

10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．
求证：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③FG∥AC．

11．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，求△ABC的周长 ．

12．如图，在△ABC中，N是三条角平分线的交点，EF⊥BN于点N，EF分别交AB、BC于点E、F，∠BAN=20°，∠ENA=30°，求∠FNC的度数．

注意用好三边相等和60度角30度角
13．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，求DE的长

14．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，
求证：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．

15．如图，已知等边△ABC，点D在AC的外侧，将BD绕点B顺时针旋转60°至BF，点F与点D相对应，连接AF，AD，AD=2，∠CBD=15°，∠AFB=30°，求AF的长 ．

16．如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；②BP=2PQ．

17．等边三角形ABC中，AD是高，AD=3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连结OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．

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