直角三角形斜边上的中线的性质及其应用.doc

(完整word版)直角三角形斜边上的中线的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
图1
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．
一、有直角、有中点，连线出中线，用性质
例1．如图1，BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，
N是DE的中点．试问：MN与DE有什么关系？证明你的猜想．
猜想：MN垂直平分DE.
证明：如图：连接ME、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=BC，又NE＝ND，∴直线MN是线段DE的垂直平分线，∴NM⊥DE．即MN垂直平分DE.
评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解．
二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质
B
A
D
C
E
F
图2
例2．如图2，在Rt△ABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=∠ABE，
求证：DE=2AB
分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与AB相等，
取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD，
△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．
证明：DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BC，所以∠CBE=∠ADF，又因为∠CBE=∠ABE，所以∠ABF=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB．
B
A
C
D
P
M
N
K
图3
评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．
三、有中点、无直角，造直角，用性质
例3．如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N是AB、CD的中点，
∠ADC+∠BCD=2700，
求证：MN=（AB-CD）．
证明：延长AD、BC交于P，∵∠ADC+∠BCD=2700，
∴∠APB=900，连结PN，连结PM交DC于K，下证N和K重合，则P、N、M三点共线，
∵PN、PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线，∴PN=CN=DN=CD，PM=BM=DM=AB，
∵∠PNC=2∠PDN=2∠A，∠PMB=∠PKC=2∠A，∴∠PNC=∠PKC，∴N、K重合，
∴MN=PM-PN=（AB-CD）．
评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=2700 ”，这样问题就易以解决了
B
A
C
D
E
P
图4
O
四、逆用性质解题
例4．如图4，延长矩形ABCD的边CB至E，使CE=CA，
P是AE的中点．
求证：BP⊥DP．
证明：如图3，连结BD交AC于点O，连结PO，
∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=OB=OD，
∵PA=PE，∴PO=EC，∵EC=AC，∴PO=BD，
即OP=OB=OD，∴BP⊥DP．
评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证BD边的中线等于BD的一半．
请同学们试一试吧！
B
A
C
D
E
图5
1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥DE于D，DE交BC于E，
求证：CD=BE．
2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的
A
C
B
D
M·
图6
中点，求证：AB=2DM．

1．提示：结论中的BE是直角三角形的斜边，由BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，故应取BE的中点F，连结DF，只需证明DC=DF，即证∠C=∠DFC．
2．提示：取AB的中点N，连结DN、MN即可．

直角三角形斜边上中线性质的应用
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用。
一、直角三角形斜边上中线的性质
1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=，D为BC的中点，则。
2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，
所以，
所以AD=BD=DC=，
所以∠1=∠2，∠3=∠4，
因此∠ADB=2∠3=2∠4，
∠ADC=2∠1=2∠2。
因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
二、性质的应用
1、求值
例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．
解析：由性质可知：CD，
所以AB=2CD=8．
例2、（2006年上海市中考）已知：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边上的中点，BC=14，AD=12，。求的值。
解析：由性质拓展可知：∠EDC=∠C。要求tan∠EDC的值，可转化为求tan∠C的值。
在Rt△ADB中，，
所以AB=15。
由勾股定理得：
，
所以DC=BC－BD=5。
在Rt△ADC中，tan∠C=，
所以tan∠EDC=。
2、证明线段相等
例3、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。
（1）求证：DF=BE；
（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证：AG=DG。
分析：（1）因为E为BC的中点，
所以BE=。
要证DF=BE，即为，
连AE，AE=，只需证DF=AE。
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF，而AD=，所以。
故四边形AEFD为平行四边形。
所以DF=AE，从而DF=BE这一命题得证。
（2）由性质拓展可知：∠1=∠2。
由（1）得AE∥DF，所以∠2=∠D。
因为AG∥BC，所以∠1=∠DAG，
因此∠D=∠DAG，所以DG=AG。
3、证明角相等及角的倍分关系
例4、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。
分析：因为BD、CE分别为AC、AB上的高，
所以∠BDC=∠BEC=90°。
在Rt△BDC中DF为斜边上中线，
所以。
同理在Rt△BEC中，，
所以DF=EF，
所以∠FED=∠FDE。
例5、（2003年上海市中考题）已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。
求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。
分析：（1）E是Rt△ADB斜边上中点，连DE，则
，
所以DE=DC。
又因为DG⊥CE，所以G为CE的中点。
（2）因为DE=DC，所以∠1=∠2。
因为∠EDB=∠1+∠2，
所以∠EDB=2∠2。
由性质拓展知：∠B=∠EDB，
所以∠B=2∠2，即∠B=2∠BCE。
4、证明线段的倍分及和差关系
例6、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。
分析：（1）因为AE是Rt△BAD斜边BD上中线，由性质拓展可知：
∠AEC=2∠B。
又因为∠C=2∠B，
所以∠AEC=∠C。
（2）由（1）∠AEC=∠C，所以AE=AC，AE是Rt△BAD斜边上中线。由性质可得：
，所以，
故BD=2AC。
例7、（第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。
分析：延长AD、BC交于G，连GE、GF。
由于∠A+∠B=90°，
所以∠G=90°。
E、F分别为DC、AB中点。
由性质可得：
。
由性质拓展可得：
∠GDE=∠AGE，∠GAF=∠AGF。
因为CD∥AB，
所以∠GDE=∠GAF，
所以∠AGE=∠AGF，
所以G、E、F三点在同一直线上，
所以。
5、证明线段垂直
例8、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。求证：MN⊥DC。
分析：M是Rt△ADB与Rt△ACB斜边上中点，连DM、CM，由性质可得：
，
所以△DMC为等腰三角形。
又因为N为CD的中点，
所以MN⊥DC。
6、证明特殊的几何图形
例9、（2007年新疆维吾尔自治区中考）如图10，将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明．
分析：由于△ACE是△ACB沿直角边AC翻折得到的，
所以AB=AE，∠ACE=90°．
因为D、F分别是Rt△ACB和Rt△ACE斜边上中线，
所以，
所以AD=DC=AF=FC，
所以四边形ADCF为菱形。
三、尝试训练
1、（黑龙江中考）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为 ．
2、（2006年重庆市中考）如图11所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图12所示），将纸张△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。
（1）当△AC1D1平移到如图13所示时，猜想图中D1E与D2F数量关系，并证明猜想：

3、如图14，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相 交于O，∠BOC=，G、E、F分别是AB、OC、OD的中点。求证：△GEF为等边三角形。（提示：连AF、BE）