直角三角形斜边上的中线的性质及其应用.doc

(完整word版)直角三角形斜边上的中线的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 图1“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明一、有直角、有中点，连线出中线，用性质例1如图1，BD、CE是ABC的两条高，M是BC的中点，N是DE的中点试问：MN与DE有什么关系？证明你的猜想猜想：MN垂直平分DE.证明：如图：连接ME、MD，在RtBEC中，点M是斜边BC的中点，ME=BC，又NEND，直线MN是线段DE的垂直平分线，NMDE即MN垂直平分DE.评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质BADCEF图2例2如图2，在RtABC中，C=900，ADBC，CBE=ABE，求证：DE=2AB分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与AB相等，取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得AFD，ABF均为等腰三角形，由此结论得证证明：DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，所以DAF=ADF，又因为ADBC，所以CBE=ADF，又因为CBE=ABE，所以ABF=AFB，所以AF=AB，即DE=2ABBACDPMNK图3评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题三、有中点、无直角，造直角，用性质例3如图3，梯形ABCD中，ABCD，M、N是AB、CD的中点，ADC+BCD=2700，求证：MN=（AB-CD）证明：延长AD、BC交于P，ADC+BCD=2700，APB=900，连结PN，连结PM交DC于K，下证N和K重合，则P、N、M三点共线，PN、PM分别是直角三角形PDC、PAB斜边上的中线，PN=CN=DN=CD，PM=BM=DM=AB，PNC=2PDN=2A，PMB=PKC=2A，PNC=PKC，N、K重合，MN=PM-PN=（AB-CD）评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“ADC+BCD=2700 ”，这样问题就易以解决了BACDEP图4O四、逆用性质解题例4如图4，延长矩形ABCD的边CB至E，使CE=CA，P是AE的中点求证：BPDP证明：如图3，连结BD交AC于点O，连结PO，四边形ABCD是矩形，AO=OC=OB=OD，PA=PE，PO=EC，EC=AC，PO=BD，即OP=OB=OD，BPDP评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造PBD，证BD边的中线等于BD的一半请同学们试一试吧！BACDE图51如图5，ABC中，AB=AC，ABD=CBD，BDDE于D，DE交BC于E，求证：CD=BE2如图6，ABC中，B=2C，ADBC于D，M是BC的ACBDM图6中点，求证：AB=2DM1提示：结论中的BE是直角三角形的斜边，由BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，故应取BE的中点F，连结DF，只需证明DC=DF，即证C=DFC2提示：取AB的中点N，连结DN、MN即可直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用。一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图1，在RtBAC中，BAC=，D为BC的中点，则。2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，所以，所以AD=BD=DC=，所以1=2，3=4，因此ADB=23=24，ADC=21=22。因而可得如下几个结论：直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍二、性质的应用1、求值例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD是RtABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= 解析：由性质可知：CD，所以AB=2CD=8例2、（2006年上海市中考）已知：如图3，在ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边上的中点，BC=14，AD=12，。求的值。解析：由性质拓展可知：EDC=C。要求tanEDC的值，可转化为求tanC的值。在RtADB中，所以AB=15。由勾股定理得：，所以DC=BCBD=5。在RtADC中，tanC=，所以tanEDC=。2、证明线段相等例3、（2004年上海市中考）如图4，在ABC中，BAC=90，延长BA到D点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AGBC，交DF于G。求证：AG=DG。分析：（1）因为E为BC的中点，所以BE=。要证DF=BE，即为，连AE，AE=，只需证DF=AE。因为EF为ABC的中位线，所以EF，而AD=，所以。故四边形AEFD为平行四边形。所以DF=AE，从而DF=BE这一命题得证。（2）由性质拓展可知：1=2。由（1）得AEDF，所以2=D。因为AGBC，所以1=DAG，因此D=DAG，所以DG=AG。3、证明角相等及角的倍分关系例4、已知，如图5，在ABC中，BAC90，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：FED=FDE。分析：因为BD、CE分别为AC、AB上的高，所以BDC=BEC=90。在RtBDC中DF为斜边上中线，所以。同理在RtBEC中，所以DF=EF，所以FED=FDE。例5、（2003年上海市中考题）已知：如图6，在ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DGCE，G为垂足。求证：（1）G是CE的中点；（2）B=2BCE。分析：（1）E是RtADB斜边上中点，连DE，则，所以DE=DC。又因为DGCE，所以G为CE的中点。（2）因为DE=DC，所以1=2。因为EDB=1+2，所以EDB=22。由性质拓展知：B=EDB，所以B=22，即B=2BCE。4、证明线段的倍分及和差关系例6、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在ABC中，C=2B，D是BC上的一点，且ADAB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）AEC=C；（2）求证：BD=2AC。分析：（1）因为AE是RtBAD斜边BD上中线，由性质拓展可知：AEC=2B。又因为C=2B，所以AEC=C。（2）由（1）AEC=C，所以AE=AC，AE是RtBAD斜边上中线。由性质可得：，所以，故BD=2AC。例7、（第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图8，在梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。分析：延长AD、BC交于G，连GE、GF。由于A+B=90，所以G=90。E、F分别为DC、AB中点。由性质可得：。由性质拓展可得：GDE=AGE，GAF=AGF。因为CDAB，所以GDE=GAF，所以AGE=AGF，所以G、E、F三点在同一直线上，所以。5、证明线段垂直例8、如图9，在四边形ABCD中，ACBC，BDAD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。求证：MNDC。分析：M是RtADB与RtACB斜边上中点，连DM、CM，由性质可得：，所以DMC为等腰三角形。又因为N为CD的中点，所以MNDC。6、证明特殊的几何图形例9、（2007年新疆维吾尔自治区中考）如图10，将RtACB沿直角边AC所在直线翻折180得到RtACE，点D与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形请给予证明分析：由于ACE是ACB沿直角边AC翻折得到的， 所以AB=AE，ACE=90因为D、F分别是RtACB和RtACE斜边上中线，所以，所以AD=DC=AF=FC，所以四边形ADCF为菱形。三、尝试训练1、（黑龙江中考）在ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为 2、（2006年重庆市中考）如图11所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图12所示），将纸张AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。（1）当AC1D1平移到如图13所示时，猜想图中D1E与D2F数量关系，并证明猜想：3、如图14，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，AC与BD相 交于O，BOC=，G、E、F分别是AB、OC、OD的中点。求证：GEF为等边三角形。（提示：连AF、BE）