多角度探索与直线有关的一个最值问题.doc

多角度探索与直线有关的一个最值问题湖北省荆州中学（434020 ） 魏烈斌 题目 过点作一条直线分别交轴正半轴、轴正半轴于A、B两点，求的最小值，并指出此时直线的方程.分析 欲求的最小值，关键在于根据直线运动所依赖的条件，选择适当的参变量（如点的坐标、直线的倾斜角、直线的斜率、截距以及有关距离、角度、比值等）来表示，进而转化为函数的最小值或用不等式求最小值，然后根据等号成立的条件建立直线的方程.角度一. 由于直线过定点，斜率确定则直线确定.因此可以选择斜率作参数，用来表示.解法一. 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，令有，令有，所以点、.由题设知，即.，.所以.当且仅当与即时. 此时直线的方程为，即.所以当仅当直线的方程为时，取得最小值.角度二. 由于直线与坐标轴都相交，且不过原点，可以考虑用截距表示直线，进而用截距表示.解法二. 设、，由题设知，. 于是直线的方程可设为.由直线过点知 由 知， 所以.当且仅当即时，取得最小值，此时直线的方程为.解法三. 设点在轴、轴上的射影分别是Q、，如图2 ，则Q，所以，.从而.设、，由题设知，则，并且.所以.当且仅当及即时，取得最小值，此时直线的方程为.角度三. 由于直线过定点，所以直线随着的变化而变化，可以考虑用来表示.图1 图2解法四.设，如图2，则，并且，所以.由有，所以，从而.当且仅当即直线的斜率为时，取得最小值. 此时直线的方程为.角度四. 直线的位置的确定依赖于点分向量所成的比，于是可以考虑用来表示.解法五. 设、，则直线的方程为，且，. 令点分向量所成的比为，则有，所以.由直线过点知 ，所以，且. 于是，当且仅当即时取等号.所以当时，取得最小值，此时直线的方程为.角度五. 直线的位置的确定依赖于直线的倾斜角，可以考虑用直线的倾斜角来表示解法六. 设直线的倾斜角为 ，则. 设直线的方程为.令得，从而；令得，从而.由 知 ，所以 .所以.当且仅当即时，取得最小值，此时直线的方程为.4