多角度探索与直线有关的一个最值问题.doc

多角度探索与直线有关的一个最值问题

湖北省荆州中学（434020 ） 魏烈斌

题目 过点作一条直线分别交轴正半轴、轴正半轴于A、B两点，求的最小值，并指出此时直线的方程.
分析 欲求的最小值，关键在于根据直线运动所依赖的条件，选择适当的参变量（如点的坐标、直线的倾斜角、直线的斜率、截距以及有关距离、角度、比值等）来表示，进而转化为函数的最小值或用不等式求最小值，然后根据等号成立的条件建立直线的方程.
角度一. 由于直线过定点，斜率确定则直线确定.因此可以选择斜率作参数，用来表示.
解法一. 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，令有，令有，所以点、.
由题设知，即.
，.
所以≥.
当且仅当与即时. 此时直线的方程为，即.
所以当仅当直线的方程为时，取得最小值.
角度二. 由于直线与坐标轴都相交，且不过原点，可以考虑用截距表示直线，进而用截距表示.
解法二. 设、，由题设知，. 于是直线的方程可设为.
由直线过点知 ①
由① 知， ②
所以≥.
当且仅当即时，取得最小值，此时直线的方程为.
解法三. 设点在轴、轴上的射影分别是Q、，如图2 ，则△Q∽△，△∽△，所以，.从而.
设、，由题设知，，则，，，并且.
所以≥.
当且仅当及即时，取得最小值，此时直线的方程为.
角度三. 由于直线过定点，所以直线随着∠的变化而变化，可以考虑用∠来表示.

图1 图2
解法四.设∠，如图2，则，并且，，所以.
由有，所以≤，从而≥.
当且仅当即直线的斜率为时，取得最小值. 此时直线的方程为.
角度四. 直线的位置的确定依赖于点分向量所成的比，于是可以考虑用来表示.
解法五. 设、，则直线的方程为，且，. 令点分向量所成的比为，则有，所以.
由直线过点知 ，所以，且.
于是≥，当且仅当即时取等号.
所以当时，取得最小值，此时直线的方程为.
角度五. 直线的位置的确定依赖于直线的倾斜角，可以考虑用直线的倾斜角来表示
解法六. 设直线的倾斜角为 ，则. 设直线的方程为.
令得，从而；
令得，从而.
由 知 ，所以 ≤.
所以≥.
当且仅当即时，取得最小值，此时直线的方程为.

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