《分式》全章导学案.doc

第16章 分式第1课时 16.1 分式及其基本性质1. 分式的概念学习目标：1、从列规范代数式中认识分式，并能概括分式的概念。2、正确地判断一个代数式是否是分式。一、衔接知识回顾：用规范的代数式填写下列空格。1、被除数除数= ，如：3（整数）4（整数）= （ ），注意:(0 作除数) 。 2、类比：被除式除式 = （商式），例如：7 P= ，a 3b= ，x(x+y)= , (a-b) 4= ， t(a-x) = ,(x2-2xy+y2)(2x-y)= 。3 、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为 米；（2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为_米； （3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是 元。请将1、2、3所写的代数式把分母有共同特征的进行分类，并将同一类填入一个圈内，并说明理由。 特征： 特征; 二、新知自学： 1、 分式的概念：形如 ( 、 是整式，且 中必含有 ， )的式子，叫做分式.其中 叫做分式的分子, 叫做分式的分母. 2、整式和分式统称 。 3、当分母 时，分式有意义； 当分母 时，分式无意义；当分子 且分母 时，分式的值为零. 例如：在分式中，当a 时，分式有意义；当a 时，分式没有意义；当 ,且 时，分式的值为零。三. 探究、合作、展示 问题1：下列各代数式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；（2）； （3）； （4）； (5) ；(6) ；(7)+1. 同步一试：在代数式，x+y，中，分式有（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个问题2：当取什么值时，下列分式有意义？（1） ； （2）. (3)问题3：x为何值时,分式 的值为正？ x为何值时，分式的值为负？ 当x取什么数时，分式 （1）有意义 （2）值为零？四、巩固训练1、有理式，（x+y），中分式有（ ）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 42（2010浙江嘉兴）若分式的值为0，则（ ）（A）（B）（C）（D）3.（2010资阳）使分式有意义，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 4（2010山东聊城）使分式无意义的x的值是（ ）Ax=Bx=C D5、当x= 时，分式 的值为零。五拓展提高：（标有“”是难度较大的题）1分式 的值为，则（ ） A. B C D 2使分式有意义的x的取值是（ ） A.x0 B. x3 C. x-3 D. x33当分式没有意义时，x的值是（ ） A2B1C0D24.当x 时，代数式有意义；当x 时，代数式的值为零。课题：第2课时 16.1 分式及其基本性质2.分式的基本性质（1）学习目标： 掌握分式的基本性质；利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形；了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法；使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式。 一、衔接知识回顾： 学生独立完成后互相对正。1.将下列各分数化成最简分数: = ； = ； = ； = 。注意：化简一个分数，首先找到分子、分母的 数，然后利用分数的 就可将分数化简。2.分数的基本性质是： 。二、看书自学 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或 ） 不等于零的 ，分式的值不变.用式子表示是： = ， =（ 其中M是 的整式）。 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.2.举例约分（1）； 解：分子与分母的公因式是 ，约去公因式即= 。（2）。解：现将分子与分母进行因式分解x2-4= ,x2-4x+4= ，分子与分母的公因式是 ，约去公因式即= 。3.分式约分的依据是 。分式的约分，即把分子与分母的 约去.4.分子与分母没有 的分式称为最简分式.三、问题探究、合作讨论、展示问题1：分式的分子与分母的公因式如何确定？问题2：利用分式基本性质判断下列每组代数式是否相等，若相等请说明理由？（1）与 答： 理由是： （2）与 答： 理由是： 问题3：下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1） =（y0） 答： （2）= 答： 问题4：把下列分式约分： （1）= （2）= （3）= （4）= 问题5：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. = ， = ， = ， = ， = 。 归纳：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。 （2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“”号，括号内各项都变号。 四、课内巩固1、利用分式的性质填空： （1）= ； （2）；（3）=； （4）= 。 2、化简= ； 3、（2009年淄博市）化简的结果为（ ）AB CDb五、拓展提高 1、下列变形正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、化简的结果是（）ABCD 3、将分式中的X,Y都扩大为原来的3倍,分式的值 。 4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1）= ； （2）= . 5、化简：=_, 6.如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ） A扩大10倍 B缩小10倍 C不变 D扩大2倍第3课时 16.1 分式及其基本性质3.分式的基本性质（2）通分学习目标：进一步理解分式的基本性质. 理解分式通分的意义， 会确定几个分式的最简公分母，掌握分式通分的方法及步骤。一、复习与新知自学：1判断下列约分是否正确，若不正确、请将正确答案写在后面。 （1）= （ ） （2）=（ ） （3）=0 （ ）2.4x2y3；20x2y4的公因式是 ；x2-9;x2-6x+9的的公因式是 。 3.利用分数的基本性质可以对分数进行通分. 把分数,通分。 解:最简公分母是 。= ， = ，= 4.分数的通分：把几个异分母的分数化成 的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。 5.和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式 的 的分式叫做分式的通分。 6.通分的关键是确定几个分式的 。各分母系数的 数、所有因式的最 次幂的积作为公分母叫做 公分母。二、问题探索、讨论、展示： 问题1：求下列各组分式的最简公分母。（1）的最简公分母是： （2） 与的最简公分母是： （3） 的最简公分母是： （4）的最简公分母是：问题2：通分（1），（2）， （3），. 解：（1）与的最简公分母为 ， 所以 （2）与因为x2+x= ，x2x= ，最简公分母为 ， 所以 （3） ，因为x2y2_ _, x2xy_,最简公分母为 ， 所以 归纳：求几个分式的最简公分母的步骤？ 1取各分式的分母中系数的 ； 2各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3相同字母（或因式）的幂取指数最 的； 4所得的系数的 与各字母（或因式）的最 次幂的积即为最简公分母。 三、课内巩固训练 通分： （1）和 （2）和 （3）和四、 提高 通分：（1）、；（2），； （3）. 第4课时 16.2 分式的运算1.分式的乘除法（1） 学习目标：掌握分式乘除法的运算法则，会进行分式的乘除法运算。一、类比自学1.计算下列算式：（1）= （2）= （3）= （4）=归纳：两个分数相乘，把 相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的 ；两个分数相除，把除数的分子和分母 位置后，再与被除数 .2.类比猜一猜、再算一算：（字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零） = =如果上面字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法.3.分式的乘除法法则：（分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似）两个分式相乘，把 相乘的积作为积的 ，把 相乘的积作为积的 ；约分化成最简分式。两个分式相除，把除式的 和 颠倒位置后再与 相乘.二. 尝试计算： 计算：（1）； （2）； （3）3xy2； （4） 三、课内巩固 计算;（1） （2） （3） (4) 四、 巩固提高 1化简的结果是( )A Ba Ca1 D 2若实数满足则的最大值是 3计算：(1) (2) 第5课时 16.2分式的运算1.分式的乘除法（2） 学习目标：进一步掌握分式乘除法的运算法则，会进行分式的乘除法运算。 一、自学研究 计算： 二、问题讨论与展示问题1.当分式的分子分母是多项式时，运用分式乘除法法则怎样将分式的乘除法约分化成最简结果？答：1.分式的分子和分母是多项式时，两个分式相乘，把 相乘的积作为积的 ，把 相乘的积作为积的 ；再把分式的分子、分母中的多项式进行 ，约分化成最简分式。2.两个分式相除，把除式的 和 颠倒位置后再与 相乘.化成分式乘法后再按1的方法进行计算。问题2：（1）化简：， （2）化简求值： ，其中三、课内练习：1化简的结果是 ( ) AB CD 2化简：(a2)_3化简:= .四、 达标提高1计算：2已知，求的值3先化简再求值：，其中x=5 第6课时 16.2 分式的运算1.分式的乘方（3） 学习目标：巩固分式乘除法的运算法则，理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算。熟练地进行分式乘除法、乘方的混合运算。一、复习引入：1、计算：-mm= 2、计算下列各题：（1）= ，(2) = ，（3）= 。 二、问题研究、合作探索、展示1. 怎样进行分式的乘方呢？（1） （）4 = = =（2）（）n （n是正整数）=即 = （b0，n为正整数） 三、课内练习：1判断下列各式是否成立，并改正.（1）= （ ） （2）= （ ） （3）= （ ） （4）=（ ）2计算(1) （2）3.计算：（）2（）3（）4 四、课内小结： 1、分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方. 2、分式的乘除与乘方的混合运算，应注意运算顺序：先做乘方，再做乘除.五、巩固达标 计算(1) (2) (3) 第7课时 16.2分式的运算2. 分式的加减法（1）学习目标：掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。一、基础知识自学1同分母的分数加减法法则：同分母的分数相加减，分母 ，把分子相 。 例如：+= ，= 。2同分母的分式的加减法法则(与上面法则类似）：同分母的分式相加减，分母 ，把分子相 。 = （其中a、b既可以是数，也可以是整式，c是含有字母的非零的整式）.举例计算：（1）+= .（2）= （3） = （4） = 注意：计算的结果需化成 （或整式）；互为相反数的分母可转化为同分母的分式的减法，但应注意符号问题。3.异分母分式的加减法法则（1）计算：+ = = 。（2）与异分母分数的加减法类似，异分母分式相加减，需要先 ，变为 的分式，然后再加减. 通分时，最简公分母由下面的方法确定： 1）最简公分母的系数，取各分母系数的 ； 2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最 次幂的积； 3）分母是多项式时一般需先 。（3）举例计算;+ = =二、问题探讨：问题1先化简，再求值；，其中=-1问题2.（1）化简： （2）化简：问题3. a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P Q（填“”、“”或“”）三、 课堂练习1计算结果是（ ）（A）0（B）1（C）1（D）x2化简的结果是（ ）A B C D13化简的结果是（ ） ABCD4.化简,可得( )A. B. C. D.5化简：_.6.（1）化简： （2）化简求值：，其中。四、巩固提高1化简：_ 2计算：=.3若，则的值为 4化简.计算： =_5设，则的值等于 6已知，ab=1，a+b=2，7下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.8.分式的计算结果是（ ） ABCD9.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”小明的做法是：原式；小亮的做法是：原式；小芳的做法是：原式其中正确的是（ ）A小明B小亮C小芳D没有正确的10化简10观察下面的变形规律： 1； ；解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想 ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和： . 11.已知：，求的值第8课时 16.2分式的运算分式的混合运算 学习目标：会进行简单的分式混合运算。能灵活运用运算律简便运算。渗透类比、化归数学思想方法。 一、基础知识自学1.分式的混合运算法则：先算（ ），再算（ ），最后算（ ），有括号先算（ ）里的。2.计算：（1）; （2） （3） 二、 问题探讨、展示问题1：化简：的结果是（）A2BCD问题2：化简，其结果是（ ）ABCD问题3：若=+，求A、B的值. 三、课内练习1.化简的结果为 （ ）A B C D12.化简的结果是（ ）ABCD3.化简的结果是（ ） AB CD 四、小结五、 达标1.化简的结果是（）A4B4C2aD2a2计算：（） ABCD3已知，则代数式的值为_4化简： .5已知：与 | 互为相反数，则式子的值等于 。6若，则 。7先化简，再求值：，其中8计算 9先化简，再求值： ，其中. 第9课时 16.3 可化为一元一次方程的分式方程(1) 学习目标：理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，了解解分式方程验根的必要性。一、基础知识自学1、分式方程的概念：分母中含有 的方程叫做分式方程. 2、有理方程包含 方程和 方程，分式方程要转化为 方程来解 3、解分式方程的过程，实质上是将方程的两边都乘以同一个 ，约去 ，把分式方程转化为 方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的 。 4、一元方程的解也可称为方程的 。 5、增根：将分式方程变形为 方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的 ，并约去 ，有可能产生 原方程的解（或根），这种根通常称为增根因此解分式方程时必须进行 增根也可定义为：使分式方程的 为零的未知数的值。 6、分式方程的一般步骤： （1） ,化分式方程为 方程。（2） 。 （3） 。 二、问题探究、展示问题1：为什么会产生增根呢？ 问题2：分式方程怎样检验？问题3:分式方程的最简公分母是 。 问题4： 解方程 问题5：方程有增根，求的值。三、课内练习 1.在方程=8+，=x，=，x-=0中，是分式方程的有（ ）A和 B和 C和 D和 2.分式方程： 若有增根，则这个曾根是 。 3.分式方程 的最简公分母是 。 4.分式方程=根的情况是（ ） Ax1 Bx2 Cx1 D无解5.关于x的分式方程有增根，求k的值。 四、小结：什么是分式方程？ 解分式方程的一般步骤？解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？ 五、巩固提高1.下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？ （1）2x=10 （ ） ； （2）x =2 （ ）； （3） 3=0 （ ）。2 方程=的解为（ ）Ax=Bx= Cx=2 D无解3 分式方程的根是( ) .A. B. C. D.无实根4分式方程1的解是( ) Ax5 Bx1 Cx1 Dx25分式方程的解为（ ）ABC D6分式方程的解是（ ） A.3B 2 C 3 D 27将分式方程去分母整理后得：（ ）A B C D 8.如果，则 .9.已知，那么= .10.解方程：2 ； ； 第10课时 16.3 可化为一元一次方程的分式方程(2)学习目标：熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。用分式方程来解决现实情境中的问题，培养学生数学应用意识。一、基础知识回顾1分式方程的解为（ ）ABC D2.方程0的解是 3.分式方程的解是 . 4.解分式方程-=。 解方程：； 二、问题探讨、展示问题1：一艘轮船在静水中的速度为20千米/时，它沿江顺流航行100千米所用的时间，与逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设水流的速度是x千米/时 填空：（1）轮船顺流航行速度为 千米/时，逆流航行速度为 千米/时 （2）顺流航行100千米所用时间为 小时；逆流航行60千米所用时间为 小时； （3）相等关系是： ；根据题意可列方程为 : .问题2：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程得：问题3：现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。如果设原来每天能装配x台机器，那么所列的方程是：问题4：（2010珠海）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工 件产品，依题意列方程得 解得:x= 经检验：x= 是原方程的根， 所以 答：甲工厂每天加工 件产品，乙工厂每天加工 件产品. 三、课内练习 1某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务求原计划每天铺设管道的长度如果设原计划每天铺设管道，那么根据题意，可得方程 2去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务. 问原计划每天修水渠多少米？ 解：设原计划每天修水渠 x 米. 根据题意得： 解得： 经检验：答：四、巩固提高1、方程 0的解为_2、方程的解是 。3、甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务设甲计划完成此项工作的天数是，则的值是_4、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为千米/小时,依题意列方程正确的是（ ） 第11课时 16.4.1零指数幂与负整指数幂 学习目标：掌握零指数幂和负整数指数幂=（a0，n是正整数）；进一步掌握整数指数幂的运算性质，并能灵活运用。 一、相关知识链接1正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法： (m,n是正整数)；（2）幂的乘方： (m,n是正整数)；（3）积的乘方： (n是正整数)；（4）同底数的幂的除法： ( a0，m,n是正整数，mn)；（5）商的乘方： (n是正整数)；2.计算；= ； .3化简：= ；a 3 a 2 = 。4.下列运算正确的是（ ） Axx2x2 B(xy) 2xy2 C(x2) 3x6 Dx2x2x45.下列运算，正确的是（ ）A B C D 6.计算的结果是（ ） 7.下列运算正确的是( ) A B C D二、问题探究、展示与基础知识形成 问题1：在同底数幂的除法公式时，有一个附加条件：mn，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m = n或mn时，情况怎样呢？ 问题2：（1）利用运算顺序计算下列算式：5252= ，103103= ，a5a5= (a0). （2）利用同底数幂的除法公式来计算，得 5252 ， 103103 ， a5a5 (a0). 由此：50= ，100= ，a0= （a0）. 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于 . 问题3：零的零次幂等有意义吗？ 问题4：（1）利用运算顺序计算下列算式： 5255= ，103107= 。（2）利用同底数幂的除法公式来计算，得5255 ， 103107 .（3）利用约分，直接算出这两个式子的结果为5255 103107 。 概括： 5-3 ，10-4 . (a0，n是正整数)这就是说，任何不等于零的数的n （n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的 . 四、课堂练习：1.计算：（1）810810= （2）10-2= （3）= （4）= 2.计算： ； 16（2）3（）-1+（-1）03.用小数表示下列各数：（1）10-3= （2）2.110-4= 4.判断下列式子是否成立.（1）； （2）(ab)-3=a-3b-3；（3）(a-3)2=a(-3)2 (4) 5.计算：（1） (2) 五、小结1、不等于零的数的零次幂都等于 。(注意：零的零次幂无意义。)2、规定= 。其中a 、n 。 六、巩固提高1下列运算正确的是（） ABCD 2下列运算正确的是（ ）ABCD3若，则、的大小关系是（ ）A BC D4.计算：(+1)0+( )1 2 第12课时 16.4.2科学记数法学习目标：掌握用科学记数法并会运用它。一、基础知识自学1.用科学计数表示：310000= ，723000000= 。2回忆0指数幂的规定，即当a0时， . 3. ；= ；= ，= ，= 。 4. 计算 （1）(a-3)2(ab2)-3；（2）(2mn2)-2(m-2n-1)-3. （3）(2mn2)-3(mn-2)-5并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。 二、探索绝对值小于1的数的科学记数法1探索：10-1=0.1，10-2= ，10-3= _，10-4= ，10-5= 归纳：10-n=