相似全章导学案.doc

班级___________ 姓名_________ 詹大悲中学九年级数学下册第27章《相似》导学案
27.1图形的相似

一、学习目标
(1) 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．
(2) 了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
(3) 知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
(4) 会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
二、学习重点、难点
1． 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念及相似多边形的主要特征与识别
2． 难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．
三、自主学习
（一） 观察图片，体会相似图形
1 、同学们，请观察课本P34几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)

2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念 ．什么是相似图形?

3 、思考：如图27.1-3(课本图P35)是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?

归纳：形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形 或 而得到的。
（二）成比例线段概念
观察思考，小组讨论回答：
1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的比是多少？

归纳：两条线段的比，就是________________．
2、成比例线段：
对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；
（2）线段的比是一个没有单位的正数；
（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d；
（4）若四条线段满足，则有ad=bc．

（三）观察图片，体会相似图形性质(教材P36页)
(1) 图27.1-4(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？

图27.1-4
(2)对于图27.1-4(2)中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？

(3)如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．

3．【结论】：
（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．
反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC和⊿A1B1C1中
若．
，则⊿ABC和⊿A1B1C1相似
（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．
问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．
四、例题讲解
例1、如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）

例2、下列说法正确的是（ ）
A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似

例3、已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．
解：

五、巩固练习
1．观察下列图形，指出哪些是相似图形：
相似图形：
_____和______；
_____和______；
_____和______。

2．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，
（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm；
（2）（小） ；（大） ．
（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？

3．如图所示的两个五边形相似，求未知边、、、的长度．

4.△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF 与△ABC与的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）
（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？

7．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？

8．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？

9．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．

10．如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值． （:1）

27.2.1相似三角形的判定（一）

一、学习目标
(1) 会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △;
(2) 知道当△ABC与△的相似比为k时，△与△ABC的相似比为1/k．
(3) 理解掌握平行线分线段成比例定理
二、学习重点、难点
教学重点: 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
教学难点: 掌握平行线分线段成比例定理应用．
三、自主学习
（一）、知识链接
1、相似多边形的主要特征是什么？

2、相似三角形有什么性质？

（二）、合作探究
1、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且．
2、问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？

明确：（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △;
（3）当△ABC与△的相似比为k时，△与△ABC的相似比为1/k．
3、活动1 (教材P40页 探究1)
(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5.分别量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?

(2) 问题，AB︰AC=DE︰（ ），BC︰AC=（ ）︰DF．强调“对应线段的比是否相等”
(3) 归纳总结：
平行线分线段成比例定理：三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；

4、活动2平行线分线段成比例定理推论
思考：1、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

2、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

3、 归纳总结：
平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.
4、小结巩固

四、例题讲解
例1、如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

例2、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

五、课堂练习
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．

3 、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，AE=FC，，，求AE的长。

27.2.1 相似三角形的判定（二）
一、学习目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．
2．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
二、学习重点、难点
1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2．难点：三角形相似的预备定理的应用．
三 、学习过程
（一）知识链接
（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2） 平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？

（3）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′, 且． 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
（4）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
（二）合作探究
1 问题：如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？

2 思考
如上图在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。
问题：
（1） △ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？

（2） △ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？

（3） 根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？（作辅助线EF∥AB）
你能证明AE:AC=DE:BC吗？

（4）写出△ABC∽△ADE的证明过程。

（三）合作探究
归纳总结：判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

四、例题讲解
例1、如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．
解：

例2、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长．
解：

五、课堂练习
1.如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．

3．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

4、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)

27.2.1相似三角形的判定（三）
一、学习目标
(1) 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
(2) 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、学习重点、难点
学习重点: 掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
学习难点: （1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
三 、学习过程
(一)知识链接
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？

(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？

(二 )合作探究
探讨问题：
1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？

3、 探究2
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。

（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？

（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）
如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，，
求证△ABC∽△A′B′C′ 证明 ：

4 【归纳】
三角形相似的判定方法1
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．

5 、探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？
（画图，自主展开探究活动）

6 【归纳】
三角形相似的判定方法2
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．

四、例题讲解

解：

归纳分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，画草图，看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．
例2 、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．
解：

五、课堂练习
1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？

2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．

3．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．

4．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP．

27.2.1 相似三角形的判定（四）
一、学习目标
1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、学习重点、难点
1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”
2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．
三、自主学习
（一）知识链接
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？

（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．

（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？

（4）【归纳】
三角形相似的判定方法3
如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

四、例题讲解
例1（教材P48例2）．弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA•PB=PC•PD
分析：要证PA•PB=PC•PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．

例2 已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．

五、课堂练习
1．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
2 、填一填
（1）如图，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，
△ACD∽△ABC。
（2）如图，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足
条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。
A
B
D
C
图 3
●
A
B
C
E
图 4

3．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

4.如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D

5 .在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？

6.已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：．

7．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：AC•BC=BE•CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．

8 .已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °求证：AD·AB= AE·AC

9.如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D ，若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，
求证：AB : BC=DF : BF
A
B
D
C
E
F

27.2.2相似三角形应用举例（一）
一、学习目标
1． 进一步巩固相似三角形的知识．
2． 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3． 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
二、学习重点、难点
1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
三、自主学习
(一)知识链接
1、判断两三角形相似有哪些方法?

2、相似三角形有什么性质？

(二)合作探究
1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？

2、世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
你知道古时候是怎样测量大金字塔的高度的吗？

四、例题讲解
例1在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金物体的高度．
解：

例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
分析：设河宽PQ长为x m ，由于此种测量方法构造了
三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有
，即．再解x的方程可求出河宽．
解：

问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？

五、当堂检测
1 .如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？

2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
A
B
C
D

E

3、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为　　　　米．

4.小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？

4.如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。

5 .如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在
AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
N
M
Q
P
E
D
C
B
A

6.如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,此时有AM/AD=HG/BC
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=X,确定y与X的函数关系式
(2)当X为何值时,矩形EFGH的面积S最大?
A
G
H
C
B
D
E
M
F

7.如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积为S平方米。
（1）分别求出面积S与时间t的关系式
B
A
C
Q
P
D

（2）探究:在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。

8. 如图, △ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上运动,过P点作∠DPB=∠A,PD交AB于D,设PB=x,AD=y. (1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围.
(2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?
P
A
B
C
D

27.2.3相似三角形的周长与面积
一、学习目标
1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。
2、 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
3、 能用三角形的性质解决简单的问题．
二、学习重点、难点
1．重点：相似三角形的性质与运用．
2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
三、自主学习
（一）知识链接
1．问题：已知： ∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？
（从对应边上看； 从对应角上看：）

问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？

（二）合作探究
1．思考：
（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
我们知道，如果△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′

的相似比为k，即 因此AB=k A′B′,BC=k B′C′,

CA=k C′A′，从而

由此我们得到： 相似三角形周长的比等于相似比.

（2）如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线、中线，对应角的平分线之间有什么关系？写出推导过程。

（3）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？写出推导过程。

（4）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？

2 、结论——相似三角形的性质：
性质1 _______________________________________
即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ，
那么 ．
性质2 ___________________________________________．
即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ，
那么 ．

四、例题讲解
例 1 已知：△ABC ∽△A′B′C′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AB、A′B′、A′C′的长．
分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长．
解：

例2如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是12，求ΔDEF的周长和面积。
分析：根据已知可以得到，又有夹角∠D=∠A，由相似三角形的判定方法2 可以得到这两个三角形相似，且相似比为，故△DEF的周长和面积可求出．
解：

五、课堂练习
1．填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是
12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
2．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．

3.蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm，一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？
（假设两种蛋糕高度相同）

4.在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩比例是多少?这个多边形的面积发生了怎样的变化?

5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
F
E
D
C
B
A

6.如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝　　　　．

6．已知：如图，△ABC中，DE∥BC，
（1）若，① 求的值； ② 求的值；
③ 若，求△ADE的面积；
（2）若，，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积；
（3）若， ，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积．

27. 3 位似（一）
一、学习目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、自主学习
1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？

2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？

三、例题讲解
例1、如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．

分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：
例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
四、课堂练习
1．画出所给图中的位似中心．

2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．

3．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，
使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求
（1）位似中心在△ABC的外部；
（2）位似中心在△ABC的内部；
（3）位似中心在△ABC的一条边上；
（4）以点C为位似中心．
27. 3 位似（二）
一、学习目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
二、自主学习
1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．
2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．
3．探究：
（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
（2）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：

三、例题讲解
例1（教材P63的例题）
解：

问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！
解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6×，6×），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）
例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？
分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．
四、课堂练习
1． △ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．

2． 如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．

3．如图，将图中的△ABC以A为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．

4．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．
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