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第三章：弹性变形及其本构方程3-5试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V的上下限为0V；证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：11=22=33=p 12=23=31=0如果我们定义材料的体积弹性模量为k，则显然：k=，e为体积应变。将上述应力分量的值代入广义胡克定律： 得：三式相加得：将p=ke代入上式得：（1）由弹性应变能u0的正定性（也就是说在任何非零的应力值作用下，材料变形时，其弹性应变能总是正的。）知k0，E0，G0。因：我们知道体积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由uo的正定性可推知：k0，G0。而又知： 所以：E0。我们将（1）式变化为：（2）由（2）式及k0， G0 ，E0知：1+V0，1-2V0。解得：-1V。但是由于到目前为止，还没有发现有V0的材料，而只发现有V值接近于其极限值的材料（例如：橡胶、石腊）和V值几乎等于零的材料（例如：软木）。因此，一般认为泊松比V的上、下限值为和0，所以得：0V 或：0V；3-10直径为D=40mm的铝圆柱体，紧密地放入厚度为2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E1=70G.V1=0.35,钢的弹性常数E=210G。试求筒内的周向应力。解：设铝块受压而 则周向应变 q=2.8MN/m2钢套 ； ； ； ；4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明v=0。证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。并且可将一点的应力张量ij和应变张量ij分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：(1) 式中：e为体积应变 由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力m确定，由eij中的三个正应力之和为令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力m作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。由单位体积的应变比能公式：；也可说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：由uo的正定性知：E0，1+v0.得：v-1。由于到目前为止还没有v0。3-16给定单向拉伸曲线如图所示，s、E、E均为已知，当知道B点的应变为时，试求该点的塑性应变。解：由该材料的曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：B=e+p故：p=-e；3-19已知藻壁圆筒承受拉应力及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示），；，；于是据miess屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）及扭矩M（遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：解出得：；就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。任意一点的球应力分量m为：应力偏量为：；由增量理论知：于是得：；所以此时的塑性应变增量的比值为：0：0：也即：（-1）：（-1）：2：0：0：6；3-20一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，；讨论下列三种情况：（1）：管的两端是自由的；（2）：管的两端是固定的；（3）：管的两端是封闭的；分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验r值。解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，r0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：（1）：；（2）：；（3）：；显然知，若采用Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：；解出得：；若采用mises屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是得：（1）：解出得：；（2）、（3）：解出得：；3-22给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：（1）：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压q，平均半径为r，壁厚为t，材料为理想弹塑性。（2）：受拉力p和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积bh，材料为理想弹塑性。解（1）：由于是藻壁圆管且1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状态，即r=0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：；若采用 Tresca屈服条件，则有：；故得：； 或：；若采用mises屈服条件，则有：；故得：； 或：；解（2）：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，（受力如图示）且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知得：；若采用Tresca屈服条件，则有：；故得：； 或：；若采用mises屈服条件，则有：故得：；或：；一般以s为准（拉伸讨验）