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第三章：弹性变形及其本构方程

3-5．试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V的上下限为0＜V＜；
证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：
σ11=σ22=σ33=p σ12=σ23=σ31=0
如果我们定义材料的体积弹性模量为k，则显然：k=，e为体积应变。
将上述应力分量的值代入广义胡克定律： 得：
三式相加得：
将p=ke代入上式得：……………………（1）
由弹性应变能u0的正定性（也就是说在任何非零的应力值作用下，材料变形时，其弹性应变能总是正的。）知k＞0，E＞0，G＞0。
因：
我们知道体积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由uo的正定性可推知：
k＞0，G＞0。
而又知： 所以：E＞0。
我们将（1）式变化为：

……………………………………（2）
由（2）式及k＞0， G＞0 ，E＞0知：1+V≥0，1-2V≥0。
解得：-1≤V≤。
但是由于到目前为止，还没有发现有V＜0的材料，而只发现有V值接近于其极限值的材料（例如：橡胶、石腊）和V值几乎等于零的材料（例如：软木）。因此，一般认为泊松比V的上、下限值为和0，所以得：0＜V＜ 或：0≤V≤；

3-10．直径为D=40mm的铝圆柱体，紧密地放入厚度为2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E1=70G.V1=0.35,钢的弹性常数E=210G。试求筒内的周向应力。
解：设铝块受压
而
则周向应变

∵ q=2.8MN/m2
钢套
； ； ； ；

4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明v=0。
证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。
并且可将一点的应力张量σij和应变张量εij分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。

而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。
通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：

(1) 式中：e为体积应变
由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力σm确定，由eij中的三个正应力之和为令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力σm作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。
由单位体积的应变比能公式：；也可说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。
当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：
由uo的正定性知：E>0，1+v>0.得：v>-1。
由于到目前为止还没有v<0的材料，所以，v必须大于零。即得：v>0。

3-16．给定单向拉伸曲线如图所示，εs、E、E′均为已知，当知道B点的应变为ε时，试求该点的塑性应变。
解：由该材料的σ—ε曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：εB=ε=εe+εp
故：εp=ε-εe

；

3-19．已知藻壁圆筒承受拉应力及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。
解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示）
，，；，；；
于是据miess屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）ρ及扭矩M（遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：

解出τ得：；
τ就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。
任意一点的球应力分量σm为：
应力偏量为：；；；
；；
由增量理论知：
于是得：；；；
；；
所以此时的塑性应变增量的比值为：
：：：：：：：：0：0：
也即：：：：：：（-1）：（-1）：2：0：0：6；
3-20．一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，；讨论下列三种情况：
（1）：管的两端是自由的；
（2）：管的两端是固定的；
（3）：管的两端是封闭的；
分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验σr值。
解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，σr≈0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：
（1）：；
（2）：；；；
（3）：；；；
显然知，若采用Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：
；
解出得：；
若采用mises屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是得：
（1）：
解出得：；
（2）、（3）：
解出得：；

3-22．给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：
（1）：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压q，平均半径为r，壁厚为t，材料为理想弹塑性。
（2）：受拉力p和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积b×h，材料为理想弹塑性。
解（1）：由于是藻壁圆管且<<1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状态，即σr=0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：
；；；
若采用 Tresca屈服条件，则有：
；
故得：； 或：；
若采用mises屈服条件，则有：

；
故得：； 或：；

解（2）：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，（受力如图示）

且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知
得：；
若采用Tresca屈服条件，则有：
；
故得：； 或：；
若采用mises屈服条件，则有：

故得：；或：；
一般以σs为准（拉伸讨验）