平方根与立方根及实数(综合提高).doc

“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
2、立方根：
⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、本身为非负数，即≥0；有意义的条件是a≥0。
4、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）；（2）；（3）； ⑷

例2 求下列各式的值
（1）；（2）；（3）；（4）.

（5），（6），（7）（8）

例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.729

二、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a≥0时，a的平方根是±，即a是非负数.
例4、若求yx的立方根.

练习：已知求的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a≥0时，a的平方根是±，而
例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.

练习：若和是数的平方根，求的值.

四、巧解方程
例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.
例4、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.

练习
①已知，求xyz的值。

②已知互为相反数，求a，b的值。

六、实数
1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：
①按属性分类： ②按符号分类

2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．
3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、 等．
思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？
（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？
(3)的整数部分为a,小数部分为b,则a=__, b=_
(4)实数包括__________或_______________；
(5)下列各数：，，，0，，，，，．无理数有（ ）个
七、实数大小比较的方法
一、平方法 比较和的大小

二、移动因式法 比较和的大小

三、求差法 比较和1的大小

四、求商法 比较和的大小

练习：比较下列各组数的大小：
①和；

②和；

③和；

④和－2.45。

八、解答题（每题4分，共8分）
1、当时，化简

2、已知实数a 、b在数轴上表示的点如上图，
化简+

3