离散型随机变量的方差与标准差.doc

江苏省镇江中学2011级高二数学学案
希尔伯特（D. Hilbert) 强调说，“数学知识终究要依赖于某种类型的直觉洞察力。 ”
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课题：离散型随机变量的方差与标准差.doc
学习目标
1. 会求离散型随机变量的方差和标准差；
2. 理解离散型随机变量的方差与标准差的意义；
3. 掌握0-1分布、超几何分布、二项分布的方差和标准差的计算方法．
重点与难点
重点：0-1分布、超几何分布、二项分布的方差和标准差的计算；
难点：理解离散型随机变量的方差与标准差的意义。
诵读预热
回顾与思考

其中，，
方差也可用公式计算．
随机变量的方差也称为的概率分布的方差．的方差的算术平方根称为的标准差．即

展示导入

情境：甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用，表示，，的概率分布如表所示．

0
1
2
3

0.6
0.2
0.1
0.1

0
1
2
3

0.5
0.3
0.2
0
思考：如何比较甲、乙两名工人的技术？

计算： ； ．
问题：当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢?

探究准备

一般地，若离散型随机变量的概率分布如表所示，

则描述了相对于均值的偏离程度，故（其中，，）刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差．记为或．即

其中，，
方差也可用公式计算．
随机变量的方差也称为的概率分布的方差．的方差的算术平方根称为的标准差．即
思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系?

随机变量的方差和标准差都反映了随机变垦的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小．随机变量偏离于均值的平均程度就越小．

合作探究

题型一、求随机变量的方差与标准差
例1.已知随机变量的分布如表所示，求方差和标准差。

0
1

例1. 例2.高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为，求的数学期望、方差和标准差．

题型二、综合运用
例3.从批量较大的成品中随机取出件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为，随机变量表示这件产品中不合格品数，求随机变量的数学期望、方差和标准差．

学习小结

当堂检测
1. 设随机变量的关系为，则与的关系是 ，与的关系是 。

2. 设是一个离散型随机变量，其分布列如右表，
则 ； 。

课后作业（建议）
1.已知随机变量的分布列如下左图，则 。

2.如果随机变量，那么 。
3.已知随机变量的分布列如上右图，且，则 。
4.已知，且，，则 。

1
2
3
4

5.已知随机变量的分布列如右图，则 。
； ； 。
6.一只口袋中装有20只白球，10只黑球，从中一次摸出5
只球， 其中黑球的个数的方差是 。
7.甲、乙两种水稻在相同条件下各种100亩，结果如下：
甲
亩产
300
320
330
340
亩数
20
25
40
15

乙
亩产
310
320
330
340
亩数
30
20
40
10
试问：哪种水稻品种较好？

9.设随机变量的概率分布如下表所示，试求的标准差．

1
2
3
4
5

10.假定1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，求15件中不合格品件数的标准差．

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