离散型随机变量的均值与方差.doc

2013—14高三数学（理系列1：学案 主备人：姜顺根 审核人：裴贤喜 2014年3月7日 总第77份
第六节 离散型随机变量的均值与方差
一．考点梳理
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝ 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 ．
(2)方差
称D(X)＝ 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均 ，其中 为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ ；
(2)D(aX＋b)＝ (a、b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝
4. 随机变量均值、方差的求法
若随机变量X不服从特殊的分布时，求法为：
(1)先求出X的分布列．
(2)求E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)利用公式D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2
＋…＋[xn－E(X)]2pn，求方差D(X)．
若随机变量X服从两点分布或二项分布，则直接利用均值方差公式可求．

二．自我检测
1．已知X的概率分布
X
－1
0
1
P

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．
2．某射手射击所得环数X的概率分布如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的数学期望E(X)＝8.9，则y的值为________．
3.设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则n，p的值分别为________．
4.随机变量X的概率分布列由下表给出：
x
7
8
9
10
P(X＝x)
0.3
0.35
0.2
0.15
该随机变量X的均值是________．

三．例题分析
考向一　离散型随机变量的均值与方差的求法
【例1】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的概率分布表及数学期望E(X)、方差D(X)．

【训练1】 (2013·南京模拟)某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为.
(1)若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X的概率分布和数学期望、方差；
(2)假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？

考向二　均值与方差性质的应用
【例2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的概率分布、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．

【训练2】 (2013·苏北四市调研)A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的概率分布表分别为：
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3

(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．

考向三　均值与方差的实际应用
【例3】 (2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

【训练3】　(2011·陕西卷)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．

四．练习反馈
1．已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X)＝6.3，则a的值为________.
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
2．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为________．　
3．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是________．
4．已知X的概率分布为
X
－1
0
1
P

则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.正确的序号是________．
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为________．
6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.
(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；
(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．
所以在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2，方差为.

8．(2012·盐城调研)有一种闯三关游戏的规则规定如下：用抛掷正四面体骰子(各面上分别有1,2,3,4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n＝1,2,3)关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．
(1)求仅闯过第一关的概率；
(2)记成功闯过的关数为X，求X的概率分布和均值．
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