讲离散型随机变量的均值与方差.doc

(完整word)讲离散型随机变量的均值与方差第6讲离散型随机变量的均值与方差【2013年高考会这样考】1考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题基础梳理1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn（1）均值称E(X）x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D（X）为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2两点分布与二项分布的均值、方差（1)若X服从两点分布，则E（X)p，D(X)p(1p）(2）若XB（n，p）,则E(X)np,D（X)np(1p) 两个防范在记忆D（aXb)a2D（X)时要注意：D（aXb）aD(X）b，D（aXb）aD（X)三种分布（1）若X服从两点分布，则E(X）p，D（X）p(1p）;(2)XB(n，p)，则E（X)np，D（X）np(1p）;（3）若X服从超几何分布,则E（X）n.六条性质（1)E（C）C（C为常数)（2)E（aXb）aE（X)b（a、b为常数）(3)E(X1X2)EX1EX2（4)如果X1,X2相互独立，则E(X1X2）E（X1）E(X2）(5)D(X)E（X2）(E（X)）2（6）D（aXb）a2D（X）双基自测1(2010山东)样本中共有五个个体，其值分别为a，0,1，2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为(）A。 B. C. D2解析由题意知a012351，解得，a1.s22.答案D2已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为（)A。 B4 C1 D1解析E(X)，E（Y）E（2X3）2E(X)33.答案A3(2010湖北）某射手射击所得环数的分布列如下:78910Px0。10。3y已知的期望E()8。9，则y的值为(）A0.4 B0。6 C0。7 D0.9解析x0.10。3y1，即xy0。6。又7x0.82.710y8。9，化简得7x10y5.4。由联立解得x0.2,y0.4。答案A4设随机变量XB(n，p)，且E（X）1。6,D(X）1。28，则（）An8,p0。2 Bn4，p0。4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45解析XB（n,p)，E（X）np1。6,D(X）np（1p）1.28,答案A5(2010上海)随机变量的概率分布列由下表给出:78910P0.30.350.20。15该随机变量的均值是_解析由分布列可知E（）70。380.3590.2100.158。2.答案8。2考向一离散型随机变量的均值和方差【例1】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B1A2和B2A3和B3现按表中对阵方式出场胜队得1分,负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y(1)求X，Y的分布列；（2)求E(X），E(Y）审题视点 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率,列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望解（1）X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.P(X3),P(X2），P（X1)，P(X0）;根据题意XY3，所以P（Y0）P（X3）,P（Y1）P（X2）,P（Y2）P(X1)，P(Y3)P(X0）.X的分布列为X0123PY的分布列为Y3210P（2）E（X）3210；因为XY3,所以E（Y）3E(X）。 (1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列,然后利用公式计算(2)由X的期望、方差求aXb的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解【训练1】 (2011四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望E（)解(1）由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A）.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2）可能取的值有0，2,4,6，8。P(0);P（2）；P(4）；P（6）;P(8）。甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列为02468P所以E()02468.考向二均值与方差性质的应用【例2】设随机变量X具有分布P（Xk）,k1,2,3,4，5，求E(X2)2，D(2X1),。审题视点 利用期望与方差的性质求解解E（X)123453.E（X2）12232425211.D(X）（13）2（23)2(33)2(43）2（53）2（41014）2。E(X2)2E（X24X4）E（X2)4E(X）41112427。D(2X1）4D（X）8,. 若X是随机变量，则f（X）一般仍是随机变量，在求的期望和方差时,熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2，3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号（1）求X的分布列、期望和方差；(2)若aXb，E（)1，D（)11，试求a，b的值解（1)X的分布列为X01234PE（X）012341。5。D（X）（01。5)2(11.5）2（21。5）2(31。5)2（41。5)22.75。（2）由D(）a2D(X),得a22。7511，即a2。又E()aE(X）b，所以当a2时，由121。5b，得b2。当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求考向三均值与方差的实际应用【例3】(2011福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，,8，其中X5为标准A，X3为标准B。已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0。1且X1的数学期望E（X1）6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望(3）在(1)、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由注：(1)产品的“性价比；(2)“性价比”大的产品更具可购买性审题视点 （1)利用分布列的性质P1P2P3P41及E（X1）6求a,b值（2）先求X2的分布列,再求E(X2）,(3)利用提示信息判断解（1）因为E(X1)6，所以50。46a7b80.16,即6a7b3。2.又由X1的概率分布列得0。4ab0.11，即ab0。5。由解得(2）由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20。10。10。1用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0。30.20。20.10。10。1所以E(X2）30.340。250.260.170。180。14.8。即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4。8。(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所以其性价比为1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4。8，价格为4元/件,所以其性价比为1。2.据此，乙厂的产品更具可购买性 解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的概率，本题第（1）问中充分利用了分布列的性质p1p2pn1.【训练3】 某公司有10万元资金用于投资,如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，,；如果投资乙项目，一年后可能获利20，也可能损失20，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求X的概率分布及E（X)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求的取值范围解（1)依题意，X的可能取值为1,0，1，X的分布列为X101PE（X)。（2）设Y表示10万元投资乙项目的收益,则Y的分布列为:Y22PE(Y）2242,依题意要求42，1。规范解答23-离散型随机变量的均值与方差的计算【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查【解决方案】 (1）掌握好期望与方差的性质（2）记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等(3)注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算,运算时注意一些项的合并【示例】（本小题满分12分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为，乙机投弹一次命中目标的概率为,两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响（1）若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2）记目标被命中的次数为随机变量，求的分布列和数学期望 对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法求解，注意运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第（2)问，根据题意，随机变量0,1，2,3，4，根据独立重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望解答示范 设Ak表示甲机命中目标k次,k0，1，2,Bl表示乙机命中目标l次,l0，1，2，则Ak，Bl独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Ak)Ck2k,P（Bl）Cl2l.据此算得P（A0），P(A1），P（A2）.P(B0),P(B1),P(B2）。（2分)(1）所求概率为1P（A0B0A0B1A1B0）11.（4分)（2）的所有可能值为0,1,2，3,4，且P（0)P（A0B0）P(A0）P（B0），P(1)P（A0B1）P(A1B0），P（2）P(A0B2)P(A1B1）P(A2B0)，（8分）P（3）P(A1B2）P（A2B1），P(4)P（A2B2）。（10分）综上知,的分布列如下：01234P从而的期望为E(）01234.(12分) 概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法若本题第(2)问是单纯求随机变量的数学期望，则可以直接根据二项分布的数学期望公式和数学期望的性质解答：令1,2分别表示甲、乙两机命中的次数，则1B,2B，故有E（1）2，E（2)21，而知E(）E（1)E（2)。7 / 7