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第7讲 离散型随机变量的均值与方差

A级　基础演练（时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分）
1．(2013·西安模拟）样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1，2,3。若该样本的平均值为1,则样本方差为 (　　)．
A。 B。 C. D．2
解析　由题意，知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1。
s2＝＝2.
答案　D
2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为 (　　）．
A．5 B．5。25 C．5.8 D．4。6
解析　由题意可知，X可以取3,4,5,6，
P（X＝3)＝＝，P（X＝4)＝＝,
P(X＝5）＝＝,P（X＝6）＝＝.
由数学期望的定义可求得E(X)＝5。25.
答案　B
3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p

则E（ξ）的最大值为 (　　)．
A．1 B. C。 D．2
解析　由p≥0，－p≥0，则0≤p≤，E（ξ)＝p＋1≤。
答案　B
4．（2013·广州一模)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0。6），则E（η），D(η）分别是 (　　）．
A．6和2.4 B．2和2。4 C．2和5。6 D．6和5.6
解析　由已知随机变量X＋η＝8,所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X）＝8－10×0。6＝2，D（η）＝(－1）2D（X）＝10×0。6×0。4＝2。4.
答案　B
二、填空题（每小题5分，共10分)
5．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0。3
y
已知ξ的期望E（ξ）＝8。9，则y的值为________．
解析　x＋0。1＋0。3＋y＝1，即x＋y＝0。6. ①
又7x＋0.8＋2。7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5。4。 ②
由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4。
答案　0。4
（2013·温州调研）已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E（X)＝0，D(X)＝1,则a＝________，b＝________.
X
－1　0　1　2　
P
a　b　c　

解析　由题意知解得
答案　　
三、解答题(共25分)
7．(12分)若随机事件A在一次试验中发生的概率为p（0〈p〈1)，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数．
（1）求方差D（X）的最大值；(2）求的最大值．
解　随机变量X的所有可能的取值是0.1,
并且有P（X＝1)＝p，P（X＝0）＝1－p.
从而E(X）＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D（X)＝(0－p）2×(1－p)＋（1－p)2×p＝p－p2。
（1）D(X)＝p－p2＝－2＋.
∵0<p〈1，∴当p＝时，D(X)取最大值，最大值是。
(2）＝＝2－。
∵0<p<1，∴2p＋≥2。
当2p＝，即p＝时取“＝”．
因此当p＝时，取最大值2－2.
8．（13分）(2013·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n＝1，2,3，4）．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
（1)求X的分布列、期望和方差；
(2）若η＝aX＋b，E（η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
解　（1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

∴E(X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1。5.
D（X）＝(0－1。5)2×＋（1－1。5）2×＋(2－1.5）2×＋（3－1.5)2×＋(4－1。5）2×＝2。75。
（2)由D(η)＝a2D（X），得a2×2。75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(X）＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1。5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，由1＝－2×1。5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．

B级　能力突破(时间：30分钟　满分:45分）

一、选择题（每小题5分，共10分)
1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c∈（0,1）)，已知他投篮一次得分的均值为2,则＋的最小值为 (　　）．
A. B. C。 D。
解析　由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，
即3a＋2b＝2，其中0<a〈,0<b<1.
又＋＝
＝3＋＋＋≥＋2 ＝，
当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”,又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D。
答案　D
2．（2012·上海）设10≤x1<x2〈x3〈x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0。2,随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2。若记D（ξ1）、D（ξ2）分别为ξ1、ξ2的方差，则 (　　）．
A．D(ξ1）〉D（ξ2）
B．D(ξ1）＝D(ξ2)
C．D(ξ1）<D(ξ2）
D．D(ξ1）与D（ξ2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
解析　利用期望与方差公式直接计算．
E（ξ1)＝0。2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0。2x5
＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5）．
E(ξ2）＝0.2×＋0。2×＋…＋0。2×
＝0.2（x1＋x2＋x3＋x4＋x5）．
∴E（ξ1）＝E（ξ2），记作，
∴D(ξ1)＝0.2[（x1－)2＋(x2－）2＋…＋（x5－）2］
＝0。2[x＋x＋…＋x＋52－2（x1＋x2＋…＋x5）]
＝0。2（x＋x＋…＋x－52)．
同理D(ξ2)＝0.22＋2＋…＋2－5 2。
∵2<，…，2〈，
∴2＋2＋…＋2<x＋x＋x＋x＋x。∴D（ξ1)〉D(ξ2)．
答案　A
二、填空题（每小题5分,共10分)
3．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列．若E（ξ）＝，则D（ξ）的值是________．
解析　根据已知条件:
解得：a＝,b＝，c＝，
∴D（ξ）＝×2＋×2＋×2＝.
答案　
4．(2013·滨州一模)设l为平面上过点（0,1）的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0,，，2,用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E（ξ）＝________。
解析　当l的斜率k为±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0,此时坐标原点到l的距离d＝；当k为±时,d＝；当k为±时，d＝；当k为0时,d＝1,由古典概型的概率公式可得分布列如下:
ξ

1
P

所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.
答案　
三、解答题（共25分）
5．（12分）(2013·大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a（0〈a<1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.
(1)求ξ的分布列及数学期望;
(2)在概率P(ξ＝i)（i＝0，1,2,3)中，若P(ξ＝1）的值最大，求实数a的取值范围．
解　（1）P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中"的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.
P（ξ＝0）＝(1－a）2＝(1－a)2，
P(ξ＝1)＝(1－a)2＋a（1－a)＋(1－a)a＝(1－a2）,
P(ξ＝2）＝a2＋（1－a)a＋a(1－a)＝(2a－a2），
P(ξ＝3)＝。
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(1－a）2
（1－a2）
（2a－a2)

ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a）2＋2×(2a－a2)＋3×＝。
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0）＝［（1－a2）－(1－a)2]＝a(1－a)，
P（ξ＝1）－P(ξ＝2）＝［(1－a2）－（2a－a2)］＝，
P(ξ＝1)－P（ξ＝3)＝［(1－a2)－a2]＝。
由及0<a〈1，得0<a≤，
即a的取值范围是.
6．（13分)(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ。
（1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润（即ξ的均值)；
（3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4。73万元，则三等品率最多是多少?
思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值,理清随机变量取值时的概率．
解　(1）由于1件产品的利润为ξ,则ξ的所有可能取值为6，2，1，－2，由题意知P(ξ＝6）＝＝0。63，P(ξ＝2)＝＝0。25，P(ξ＝1)＝＝0。1,P（ξ＝－2)＝＝0.02.
故ξ的分布列为
ξ
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0。1
0。02
(2）1件产品的平均利润为
E（ξ）＝6×0.63＋2×0。25＋1×0。1＋(－2）×0。02＝4.34(万元）．
(3）设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ）＝6×0.7＋2×（1－0。7－x－0.01）＋1×x＋（－2）×0.01＝4.76－x.
由E（ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3％。
探究提高　(1）求解离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
（2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求E（X)，D(X）即可.
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