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第8讲 离散型随机变量的期望与方差、正态分布

随堂演练巩固
1.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )
A.100 B.200 C.300 D.400
【答案】 B
【解析】 种子发芽率为0.9,不发芽率为0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故设没有发芽的种子数为则-B(1 000,0.1),∴ .1=100,故需补种的期望为200.
2.已知--且则等于( )
A.15 B.20 C.5 D.10
【答案】 D
【解析】 ∵-有又
∴n=30.
又-
∴故选D.
3.在正态分布中,数值落在内的概率为( )
A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.002 6
【答案】 D
【解析】 ∵∴.
∴随机变量在(-1,1)内取值的概率约为99.74%,
∴数值落在内的概率为0.002 6.
4.已知正态总体落在区间(0.内的概率是0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x= 时,达到最高点.
【答案】 0.2
【解析】 由正态曲线的对称性可知,在对称轴左右两边的概率相等,即且在x处曲线达到最高点,故.2.

课后作业夯基
基础巩固
1.设随机变量X-则等于( )
A.1 B.2 C. D.4
【答案】 A
【解析】 ∵X-∴.∴D(X)=4.
∴.
2.设随机变量X的分布列为Pc为常数,则D(X)等于( )
A. B.2 C. D.
【答案】 C
【解析】 ∵∴.
于是E.
3.若随机变量的分布列如下表,则下列说法正确的是( )

A.及无法计算 B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 由得.
∴.
4.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利（ ）
A.36元 B.37元 C.38元 D.39元
【答案】 B
【解析】 设可获利X元,则
E(X)=0...元).
5.某地区数学考试的成绩x服从正态分布,其密度函数曲线如图:成绩x位于区间(52,68]上的概率是( )

A.0.954 4 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.432 3
【答案】 B
【解析】 ∵x服从正态分布,设其密度函数e由图形知:顶点为∴.
设x位于区间(52,68]上的概率为
P(60-.682 6.
6.随机变量的分布列为

那么等于( )
A.15 B.11 C.2.2 D.2.3
【答案】 A
【解析】 ...3=2.2,
则.
7.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 D
【解析】 由题意

∴化简得
①代入②得
①得∴2xy=192.
∴即.∴|x-y|=4.
8.某公司有5万元资金用于投资开发项目.如果成功,一年后可获利12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:

则该公司一年后估计可获收益的均值是 元.
【答案】 4 760
【解析】 获利的概率.96,
失败的概率.04.
∴分布列为

∴ .96+0.(-25 000)=4 760.
9.若随机变量X-则= .
【答案】
【解析】 X-则其密度曲线关于对称,则.
10.若是离散型随机变量且又已知则的值为 .
【答案】 3
【解析】 由得. ①
由得. ②
解由①②组成的方程组,得.
所以.
11.已知随机变量X的分布列为:

另一随机变量Y=2X-3,则E(Y)= ,D(Y)= .
【答案】 3 4.8
【解析】 E(Y)=2E..0.4+
..

.1.20.4+.2.1]
.4+0.2+0.2+0.4)=4.8.
12.设服从N(0,1),求下列各式的值.
(1;;;.
【解】 由题意知:-N(0,1),
∴.

(11<.682 6.
(2)又图形与x轴所围的面积为1,
∴.∴.

∵∴.
(4.954 4,
∴.477 2.
∵
∴.022 8.
13.(2011江西高考,理16)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求X的分布列;
(2)求此员工月工资的期望.
【解】 (1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P2,3,4),
即

(2)令Y表示新录用员工的月工资,则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500,
则P(Y=3 500)=P
P(Y=2 800)=P
P(Y=2
E(Y)=3 280,
所以新录用员工月工资的期望为2 280元.
拓展延伸
14.(2011陕西高考,理20)如图,A地到火车站共有两条路径和据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求X的分布列和数学期望.
【解】 表示事件”甲选择路径时,40分钟内赶到火车站”,i=1,2,
表示事件”乙选择路径时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2.
用频率估计相应的概率可得
.1+0.2+0.3=0..1+0.4=0.5,
∵∴甲应选择;
.1+0.2+0.3+0.2=0..1+0.4+0.4=0.9,
∵∴乙应选择.
(2)A,B分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,
由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,
又由题意知,A,B独立,
∴P(X=0)=P()=P()P()=0..1=0.04,
P(X=1)=P()=P()P(B)+P(A)P()
=0..9+0..1=0.42,
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0..9=0.54.
∴X的分布列为

∴...54=1.5.