《确定一次函数表达式》典型例题.doc

第12周 《确定一次函数表达式》
例1 已知一次函数，求；
（1）为何值时，随增大而减小；
（2）为何值时，函数图像与轴的交点在轴下方；
（3），分别取何值时，函数图像经过原点；
（4）若，，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标；
（5）若图像经过一、二、三象限，求，的取值范围.

例2 设一次函数，当时，，当时，。
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

例3（1）已知一次函数图像经过点（0，2）和（2，1）.求此一次函数解析式.
（2）已知一次函数图像平行于正比例函数的图像，且经过点（4，3）.求此一次函数的解析式.

例4求下列一次函数的解析式：
（1）图像过点（1，－1）且与直线平行；
（2）图像和直线在y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.

例5 已知一次函数的图像与另一个一次函数的图像相交于y轴上的点A，且x轴下方的一点在一次函数的图像上，n满足关系式，求这个一次函数的解析式。

例6 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．

例7 求直线关于x轴成轴对称的图形的解析式。

例8 如图，是边长为4的等边三角形，求直线和的解析式．

例9 如图，直线y=x＋3的图象与x轴、y轴交于A、B两点．直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1两部分．求直线l的解析式．

即学即练：
1、下面图像中，不可能是关于x的一次函数的图像的是（ ）

2、已知：，那么的图像一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知直线与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、正比例函数的图像如图所示，则这个函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
5、已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，求这条直线的函数解析式．

6、已知直线过点（，0），且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．

小专题：图像的平移规律
1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。
2. 直线y=向左平移2个单位得到直线
3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线
4. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线
5. 直线向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
6. 直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线 。
7. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是 。
8. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是 .
9．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________；
10．直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=____________；
过手练习
1、已知直线
1) 当k__________________时，直线过原点；
2) 当k__________________时，直线与y轴的交点坐标是（0，-2）；
3) 当k__________________时，直线与x轴交于点（
4) 当k__________________时，y随x的增大而增大；
5) 当k__________________时，该直线与直线平行。
2、已知点A在函数的图像上，则a=____________。
3、一次函数，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过 象限。
4、已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( 　)

A B C D
5、一次函数y=ax+b与y=ax+c (a>0)在同一坐标系中的图象可能是（　 　）

A B C D
6、已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，求这条直线的函数解析式．

7、已知：函数y = (m+1) x+2 m﹣6
（1）若函数图象过（﹣1 ，2），求此函数的解析式。
（2）求满足（1）条件的直线与y = ﹣3 x + 1 的交点并求这两条直线 与y 轴所围成的三角形面积

【能力提升训练】
1、已知是整数，且一次函数的图象不过第二象限，则为 .
2、若直线和直线的交点坐标为，则 .
3、函数，如果，那么的取值范围是
4、若直线与的交点在轴上，那么等于（ ）

5、已知关于的一次函数在上的函数值总是正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．都不对
6、如图6，两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

7、已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点B，，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案
例1 分析 （1）已知一次函数图像上两个点的坐标，代入解析式中可以求k、b值。（2）求出直线与x轴、y轴两个交点，利用这两个交点与坐标轴所围的三角形是直角三角形可求出面积。
解 （1）由题意，得 解得
∴ 所求一次函数的解析式为
（2）直线与x轴交于，与y轴交于.
∴ 这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为

例2 分析 由于与y轴的交点很容易求出，因此，要求的解析式，只要再求出上另一点的坐标就可以了，而在x轴下方，因此，利用求出n的值就知道B点的坐标了。
解 设点A的坐标为，∵ 点在一次函数的图像上，
∴ ，即点A的坐标为.
∵ 点在x轴下方，∴ ，，而，
∴ ，点B的坐标为.
又点，在一次函数的图像上，
∴ 解得
∴ 这个一次函数的解析式为
例3 解 设所求的直线解析式为. ∵ ， ∴
当时，，即图像过对称轴上点，显然这一点也在上。
在上任取一点P，如时，，则可以知道P点关于x轴对称点的坐标为。
∴ 都在所求的直线上，∴
∴ ∴ 所求直线的解析式为.
例4 分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值．已知条件中给出了△MON的面积，而△MON的面积，因底边NO可以求到，因此实际上需要把△MON的面积转化为M点的纵坐标
解：根据题意画示意图，过点M作MC⊥ON于C

　　 ∵点N的坐标为(-6，0)
　　∴|ON|=6

　　 ∴MC=5
　　∵点M在第二象限
　　 ∴点M的纵坐标y=5
　　∴点M的坐标为(-4，5)
　　∵一次函数解析式为y=k1x+b
　　正比例函数解析式为y=k2x
　　直线y=k1x+b经过(-6，0)

　　∵正比例函数y=k2x图象经过(-4，5)点，

例5 解：（1）把变形为.
∵所求直线与平行，且过点（1，－1）.
∴设所求的直线为，将代入，解得.
∴所求一次函数的解析式为.
（2）∵所求的一次函数的图像与直线在y轴上的交点相同.
∴可设所求的直线为.
把代入，求得.
∴所求一次函数的解析式为.
说明：如果两直线平行，则；如果两直线在y轴上的交点相同，则.掌握以上两点，在求一次函数解析式时，有时很方便.
例6 解：（1）由A可得故，∴A可能；
由B可得 故，∴B可能；
由C可得此不等式组无解.故C不可能，答案应选C.
（2）由已知得 三式相加得：
，
∴，故直线即为.
此直线不经过第四象限，故应选D.
（3）直线与x轴的交点坐标为：
即异号，∴②、③正确，故应选B.
（4）∵正比例函数经过点（1，－1），
∴，故应选B.
说明：一次函数中的的符号决定着直线的大致位置，题（3）还可以通过的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中的热点题型，同学们一定要熟练掌握.

例7 解：（1）因为随增大而减小，
所以，解得：.
所以当，为任何实数时，随的增大而减小.
（2）因为图像与轴交点在轴下方，
所以 解得
所以当且图像与轴交点在轴的下方.
（3）因为图像经过原点，
所以 解得
所以且，图像经过原点.
（4）把，代入中得，
.
令，解得，
所以图像与轴交点为（0，1）.
令，解得，
所以图像与轴交点为.
（5）因为图像经过一、二、三象限，
所以 解得
所以当且时，图像经过一、二、三象限.
说明：主要考查一次函数的知识。

例8 分析：求一次函数的解析式，也就是确定、的值。根据题目已知条件列出关于、的二元一次方程组即可．
解：（1）设函数解析式为
因为图像经过（0，2）和（2，1），
所以 解得
所以所求函数解析式为；
（2）设函数解析式为
因为函数图像是平行于的图像，
所以 .
因为直线过（4，3），
所以所以，
所以所求函数解析式为.
说明：本题考查一次函数的知识，确定一次函数的解析式，必须确定、的值，根据题目的已知条件列出关于它们的方程或方程组即可．

例9 解：由图像可知一次函数的图像经过点（-1，0）和（0，-2），可用待定系数法解.
设一次函数的解析式为，则有
解得
所以一次函数的解析式为.
故选A.
说明：本题主要考查学生的识图能力。

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