有关身高与体重之间函数关系的探究.doc

有关身高与体重之间函数关系的探究(转载）
队员：陈初燕、石冬梅、张文静 吉首市民族中学高一年级162班
指导老师：陈峻孝

摘要：本文通过对身高、体重等有关数据的分析，采用图像、数据拟合、表格描述等方法，建立了关于身高与体重的函数模型，并选取我校某班50多名同学为样本，收集了相关数据来验证该函数模型，并给出了一些说明和评价.同时，本文对有关身高、体重、性别的关系及生活水平对身高体重的影响等研究有一定的参考作用.

关键词：身高；体重；数据分析；数学模型

一、问题的提出
以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：
表一：
身高（cm）
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重（kg）
6.13
7.9
9.99
12.15
15.02
17.5
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
所要研究的问题：
问题1：根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数.
问题2：在你的学校中采集至少50组有关性别、年龄、身高、体重的数据，做一个真实的统计表.
问题3：根据采集的数据验证你求出的函数是否适合不同的年龄和性别.给出验证的方法、公式和标准，提出修正的意见.
问题4：若体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦.根据你的公式，再对你所统计数据中的每个人做出评价.
（注：本题目来自东北地区06年数学建模竞赛中学生试题）

二、问题的分析
本文给出了有关身高与体重的数据，要求建立相关的函数模型.为此，我们可先把身高与体重在一直角坐标系中画出散点图，然后观察该系列散点的变化趋势，从而预测出与我们熟悉的函数模型，最后建立一般的函数关系式并求解.针对问题二、问题三、问题四我们可以在我们学校选择一个班级收集相关数据，并验证上述建立的模型，并给出相应的解释和结论.

三、模型的建立与求解
问题一：根据表中提供的数据，体重y与身高x之间函数关系的探究.
根据该地区不同身高的未成年男性的体重平均值表所给的数据，以体重y为纵轴，以身高x为横轴建立直角坐标系，并描出相应的散点图如下：

图一
观察上述图像，并利用EXCEL分别用线性（即一次函数）、二阶多项式（即二次函数）进行拟合发现，该散点图的变化趋势与二次函数的图像比较接近，添加趋势线后的图像如下：

图二
因此，可以设身高与体重的函数模型的一般表达式为：
Y=ax2+bx+c (a≠0) 
选取最靠近趋势线的几个点（70，7.9）、（110，17.5）、（130，26.86）、（150，38.85），分别带入模型得到：a=0.0037,b=-0.431,c=19.697.故，根据该地区不同身高（x）的未成年男性的体重（y）之间的函数关系为：
Y=0.0037x2-0.431x+19.697
问题二：我校某班有关性别、年龄、身高、体重的数据，及相关统计表
表二：有关性别、年龄、身高的数据统计表
姓名
性别
身高cm
体重kg
年龄岁
姓名
性别
身高cm
体重kg
年龄岁
罗俊杰
男
135
28
13
曾芳群
女
145
36
12
吴国栋
男
145
36
13
田依可
女
150
36
12
姚 舟
男
138
35
12
易希玲
女
155
43
13
江哲浩
男
140
36
12
卜 艳
女
150
41
12
向 清
男
141
36.5
13
张静霄
女
153
45
13
张忠斌
男
136
35
13
郑学苏
女
162
50
12
向安磊
男
155
43
13
石资娴
女
147
38
14
文 祥
男
165
53
13
彭朝晖
女
155
46
12
张 翔
男
155
43
13
杨圆圆
女
140
32
13
黄 杰
男
140
30
13
邹 柔
女
140
30
12
周春雨
男
145
35
13
张学莉
女
150
35
13
向 龙
男
145
35
13
李 杨
女
158
40
12
龙书高
男
148
40
13
龙 亭
女
148
34.2
12
李 波
男
140
32.5
12
石 建
女
154
39
12
李程伟
男
145
35
14
曾 灿
女
158
39
13
杨 帆
男
156
42
13
田 菲
女
154
42
13
冀 新
男
150
52
12
张 敏
女
140
30
13
田 过
男
140
25
12
王高敏
女
155
44
13
孙 浩
男
152
38
13
吴 姚
女
145
40
13
李浩男
男
145
35
13
郑富连
女
158
41
13
张 科
男
145
31
13
田 甜
女
150
38
13
杨秋菊
女
140
30
13
史文杰
女
150
44
14
张灵艳
女
140
25
12
唐广源
女
152
35.5
12
张 涵
女
154
40
13
张 倩
女
147
36
13
杨 捷
女
148
33
12
陈 杰
女
145
32
12
高 雨
女
150
35
13
曾 雨
女
155
40
12
梁慧娟
女
145
36
12
彭颖可
女
153
37.5
12

问题三：根据采集的数据验证你求出的函数是否适合不同的年龄和性别，及修正意见.
为了衡量所求函数是否适合表一中不同的年龄和性别，我们需要引入相应的验证方法、公式和标准.
引入1：一个近似数与它准确数的差的绝对值，称为绝对误差.
引入2： 测量的绝对误差与被测量〔约定〕真值之比，称为相对误差.常乘以100所得的数值，以百分数表示.用a表示近似数，A表示它的精确数，那么近似数a的相对误差就是|a-A|/A.
表三：男生体重误差

考虑到本数据的特殊性，我们分别不同性别和年龄段的数据进行分析，并按照不同的年龄进行误差分析.结果如下：
姓名
年龄
体重拟合值
绝对误差
相对误差
姓名
年龄
体重拟合值
绝对误差
相对误差
姚 舟
12
30.6818
4.3182
0.123377
张忠斌
13
29.5162
5.4838
0.15668
江哲浩
12
31.877
4.123
0.114528
向安磊
13
41.7845
1.2155
0.028267
李 波
12
31.877
0.623
0.019169
文 祥
13
49.3145
3.6855
0.069538
冀 新
12
38.297
13.703
0.263519
张 翔
13
41.7845
1.2155
0.028267
田 过
12
31.877
6.877
0.27508
黄 杰
13
31.877
1.877
0.06257
罗俊杰
13
28.9445
0.9445
0.03373
周春雨
13
34.9945
0.0055
0.000157
吴国栋
13
34.9945
1.0055
0.027931
向 龙
13
34.9945
0.0055
0.000157
向 清
13
32.4857
4.0143
0.109981
龙书高
13
36.9538
3.0462
0.076155
李浩男
13
34.9945
0.0055
0.000157
杨 帆
13
42.5042
0.5042
0.012
张 科
13
34.9945
3.9945
0.12885
孙 浩
13
39.6698
1.6698
0.04394
李程伟
14
34.9945
0.0055
0.000157
总计（平均）
35.6862
2.7773
0.0750
表四：女生体重误差

姓名
年龄
体重拟合值
绝对误差
相对误差
姓名
年龄
体重拟合值
绝对误差
相对误差
曾芳群
12
34.9945
1.0055
0.027931
易希玲
13
41.7845
1.2155
0.028267
田依可
12
38.297
2.297
0.06381
张静霄
13
40.3673
4.6327
0.102949
卜 艳
12
38.297
2.703
0.065927
杨圆圆
13
31.877
0.123
0.003844
郑学苏
12
46.9778
3.0222
0.060444
张学莉
13
38.297
3.297
0.0942
彭朝晖
12
41.7845
4.2155
0.091641
曾 灿
13
43.9658
4.9658
0.12733
邹 柔
12
31.877
1.877
0.06257
田 菲
13
41.0722
0.9278
0.02209
李 杨
12
43.9658
3.9658
0.09915
张 敏
13
31.877
1.877
0.06257
龙 亭
12
36.9538
2.7538
0.08052
王高敏
13
41.7845
2.2155
0.050352
石 建
12
41.0722
2.0722
0.05313
吴 姚
13
34.9945
5.0055
0.125138
唐广源
12
39.6698
4.1698
0.11746
郑富连
13
43.9658
2.9658
0.07234
陈 杰
12
34.9945
2.9945
0.09358
田 甜
13
38.297
0.297
0.00782
曾 雨
12
41.7845
1.7845
0.04461
张 倩
13
36.2933
0.2933
0.00815
彭颖可
12
40.3673
2.8673
0.07646
杨秋菊
13
31.877
1.877
0.06257
张灵艳
12
31.877
6.877
0.27508
张 涵
13
41.0722
1.0722
0.02681
杨 捷
12
36.9538
3.9538
0.11981
高 雨
13
38.297
3.297
0.0942
梁慧娟
12
34.9945
1.0055
0.027931
史文杰
14
38.297
5.703
0.129614
石资娴
14
36.2933
1.7067
0.044913
总 计
38.3416
2.69807
0.07343
综合上述两个表格的数据可以发现，我们根据所建立的函数模型求出男生体重的绝对误差为2.7773，相对误差约为7.5%；女生体重的绝对误差约为2.6980，相对误差约为7.34%，能够比较近似地反映出身高与体重的关系.

问题四：若体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦.根据你的公式，再对你所统计数据中的每个人做出评价.
表四：男生各身高段有关体重的评价

考虑到数据的特殊性，我们把身高分以10cm为组距，分别计算出不同性别下相应分组的体重平均值，然后作出相应评价如下：

身高
平均体重
姓名
体重kg
比例系数
评价结果
身高
平均体重
姓名
体重kg
比例系数
评价结果
135厘米
至
145厘米
32.25
罗俊杰
28
0.8682
合理
145厘米
至
155厘米
37.44
吴国栋
36
0.9615
合理
张忠斌
35
1.0853
合理
周春雨
35
0.9348
合理
姚 舟
35
1.0853
合理
向 龙
35
0.9348
合理
江哲浩
36
1.1163
合理
李程伟
35
0.9348
合理
黄 杰
30
0.9302
合理
李浩男
35
0.9348
合理
李 波
32.5
1.0078
合理
张 科
31
0.8280
合理
田 过
25
0.7752
偏瘦
龙书高
40
1.0684
合理
向 清
36.5
1.1318
合理
冀 新
52
1.3889
偏胖
155厘米
至
165厘米
45.25
向安磊
43
0.9503
合理
孙 浩
38
1.0150
合理
张 翔
43
0.9503
合理

杨 帆
42
0.9282
合理

文 祥
53
1.1713
合理

表五：女生各身高段有关体重的评价

身高
平均体重
姓名
体重kg
比例系数
评价结果
身高
平均体重
姓名
体重kg
比例系数
评价结果
135厘米
至
145厘米
32.33千克
杨秋菊
30
0.9280
合理
145厘米
至
155厘米

38.08千克

石资娴
38
0.9979
合理
张灵艳
25
0.7733
合理
张 倩
36
0.9454
合理
杨圆圆
32
0.9898
合理
杨 捷
33
0.8666
合理
邹 柔
30
0.9279
合理
龙 亭
34.2
0.8981
合理
张 敏
30
0.9279
合理
高 雨
35
0.9191
合理
梁慧娟
36
1.1135
合理
田依可
36
0.9454
合理
曾芳群
36
1.1135
合理
卜 艳
41
1.0767
合理
吴 姚
40
1.2372
偏胖
张学莉
35
0.9191
合理
陈 杰
32
0.9898
合理
田 甜
38
0.9979
合理
155厘米

至
165厘米

42.87千克
易希玲
43
1.0028
合理
史文杰
44
1.1555
合理
彭朝晖
46
1.0728
合理
唐广源
35.5
0.9322
合理
王高敏
44
1.0261
合理
张静霄
45
1.1817
合理
曾 雨
40
0.9328
合理
彭颖可
37.5
0.9848
合理
李 杨
40
0.9328
合理
张 涵
40
1.0504
合理
曾 灿
39
0.9095
合理
石 建
39
1.0242
合理
郑富连
41
0.9562
合理
田 菲
42
1.1029
合理
郑学苏
50
1.1660
合理

三、建模心得
本文通过以身高、体重为指标，收集相关数据、分析数据，并建立相应的数学模型，从而初步感受了数学应用和把实际问题转化为数学模型的过程和意义，达到了学以致用的目的.
同时，我们在研究该实际问题的过程中，从选题到小论文的完成得到了陈老师的用心指导，特别是在论文规划、写作以及如何利用excel处理数据等方面的指导，特此鸣谢！

参考文献：
[1]袁震东等.新专题教程高中数学7.数学建模.山海：华东师范大学出版社，2009年
[2]刘绍学.数学（必修1）.北京：人民教育出版社，2009年
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