专题二函数与导数.doc

专题二 函数与导数
函数﹑基本初等函数I的图像与性质
函数的概念及其表示
1.（2014广州高三第二次质检）

【答案】B
【解析】由得，故函数的定义域是
2.

【答案】C
【解析】当转动角度不超过45°时，阴影面积增加的越来越快，图象下凸；当转动角度超过45°时，阴影面积增加的越来越慢，图象上凸，故选C
3.（2014成都高三月考）

【答案】D
【解析】，所以
5.

【答案】A
【解析】因为，所以由函数定义知：；；；，……,数列是以4为周期的数列，故
二、填空题
6. （合肥市2014年第一次教学质量检测）函数的值域是__________
【答案】
【解析】因为，所以，所以
7. （珠海市2013-2014学年度第一学期期末学生学业质量监测）定义在上的函数满足，则 ．
【答案】
【解析】因为当时，，所以，所以，即，所以函数的周期为6，故

函数的性质及其应用
1.（浙江绍兴2014届高三月考） 同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是(　　)
A．f(x)＝－x|x| B．f(x)＝x3
C．f(x)＝sinx D．f(x)＝
【答案】A
【解析】：为奇函数的是A、B、C，排除D. A、B、C中在定义域内为减函数的只有A.
2. （汕头市2014年普通高中高三教学质量监控测评试题）设为奇函数，当时，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为奇函数，所以=
3.
【答案】
【解析】，所以，而是奇函数，，所以
4
【答案】C
【解析】当时，，又所以
5.
函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是
(　　)
A．(0,1) B．[，1) C．(0，] D．(0，]
【答案】B
【解析】据单调性定义，f(x)为减函数应满足：即≤a<1.
二、填空题
6.（成都外国语学院2014届高三月考）函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
【答案】[0,1)
【解析】由条件知，g(x)＝
如图所示，其递减区间是[0,1)．
7 （河南省商丘市2014届高三数学上学期期末统考试）
设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________
【答案】{x|x<0，或x>4}
【解析】由于f(x)是偶函数，故当x<0时，f(x)＝2－x－4，
当x－2<0时，由f(x－2)＝2－(x－2)－4>0，解得x<0；
当x－2≥0时，由f(x－2)＝2x－2－4>0，解得x>4.
综上可知不等式解集为{x|x<0或x>4}．
8. （湖北省黄冈中学2014年高三数学期末考试）
．已知是定义在上以2为周期的偶函数，且当时，，则=___________．
【答案】2
【解析】因为的周期为2，所以，又是偶函数，所以

一次函数与二次函数
1. （成都七中2014届高三上期中考试）函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】当时，符合题意；当时，由题意，解得，综上
2. （山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学）若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是
A． B．或 C． D．
【答案】B
【解析】要使函数在上存在一个零点，则有，即，所以，解得或，故选B.
3.

【答案】B
【解析】函数的对称轴为，而当时，，故比离对称轴近，所以
4. （沈阳2014届高三上学期摸底）已知函数的图象与x轴的交点分别为（a， 0）和（b，0），则函数图象可能为

【答案】：C
【解析】由函数的图象知，①或，当①成立时，C符合题意；当②成立时，没有图象符合题意
5. （2014武昌模拟）.若不等式≥0对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式≥0对恒成立等价于对恒成立，设，只需，解得
6. （石家庄2014届高三上学期月考）某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）。若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51
【答案】B
【解析】设在甲地销售辆车，则在乙地销售15-辆车.获得的利润为
当时，最大，但，所以当时，故选B.
二、填空题
7. （2014杭州第一次统测）
【答案】
【解析】因为，所以结合二次函数的图象可得，解得
8. （2014浙江宁波市高三第一学期期末考试）设函数，则实数a的取值范围是 。
【答案】
【解析】显然，当，所以由得；当，由得，综上实数a的取值范围是
9. （西安2014届高三第二次诊断性测试数学）对于函数，现给出四个命题：
①时，为奇函数
②的图象关于对称
③时，方程有且只有一个实数根
④方程至多有两个实数根
其中正确命题的序号为 .
【答案】①②③
【解析】若，则，为奇函数，所以①正确。由①知，当时，为奇函数图象关于原点对称，的图象由函数向上或向下平移个单位，所以图象关于对称，所以②正确。当时，，当，得，只有一解，所以③正确。取，，由，可得有三个实根，所以④不正确，综上正确命题的序号为①②③。

指数与指数函数、幂函数
1. （山东省实验中学2014届高三第二次诊断性测试）已知幂函数的图像经过（9，3），则=
A.3 B. C. D.1
【答案】C
【解析】设幂函数为，则，即，所以，即，所以，故选C.
2.（ 广州2014届高三七校第二次联考）设函数（）的定义域为，其中，且在上的最大值为，最小值为，则在上的最大值与最小值的和是 ( )
A. B. 9 C. 或9 D. 以上不对
【答案】C
【解析】设，则由题意知为奇函数或偶函数。当为奇函数时，由在上的最大值为，最小值为得在上的最大值与最小值-2和-5，从而的最大值和最小值为-1和-4，其和为-5；当为偶函数时，由在上的最大值为，最小值为得在上的最大值与最小值5和2，从而的最大值和最小值为6和3，其和为9.
3. （成都七中2014届高三上期中考试）若函数，其定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】由题意得的解集为，即的解集为。设，因为，所以，故只需，所以
4. （武汉2014届高三11月月考）已知函数定义在区间上的奇函数，则下面成立的是（ A ）
A． B． C． D．与大小不确定
【答案】：A
【解析】因为函数是奇函数，所以，解得。当时，函数为，定义域不是[-6,6],不合题意；当时，函数为在定义域[-2,2]上单调递增，又，所以
5. （2014届安徽省蚌埠市高三第一次质量检查考试）设，且，则“函数”在R上是增函数”是“函数”在R上是增函数”的（ ）
(A)充分不必要条件 　　　　　　　　 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 　　　　　　　　　　　 (D)既不充分也不必要条件
【答案】D.
【解析】函数在R上是增函数，即；但当时,函数在R上不是增函数. 函数在R上是增函数时,可有,此时函数在R上不是增函数.选D.
二、填空题.
6.

【答案】2
【解析】由幂函数定义知，所以，当时，函数为在区间上不是减函数；当时，函数为在区间上是减函数，符合题意。
7.（厦门2014届高三11月诊断检测）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿.
【答案】
【解析】在上是增函数，则，所以。若，则函数单调递增，此时有，，此时不成立，所以不成立。若，则函数单调递减，此时有，，此时成立，所以.

对数与对数函数
1. （湖南长沙2014届高三第一次教学质量诊断）的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】：B
【解析】=
2（陕西西安2014届高三上学期期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】：B
【解析】由题意恒成立。当时符合题意；当时只需，解得，综上应选B

【答案】B
【解析】因为在定义域内是单递增函数，所以，又，所以
4. （山东省实验中学2014届高三第二次诊断性测试）若，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得，即，所以，选B.
5. （2014届江西省师大附中、临川一中高三上学期1月联考）设a，b，c依次是方程的根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】

6. （浙江省宁波市2014届高三上学期期末考试数学文试题）设函数定义在实数集R上，，且当时=，则有
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由可知函数关于直线对称，所以，且当时，函数单调递增，所以，即，即选C.
二、填空题、
7. （蚌埠市2014届高三年级第一次教学质量检查考试）
若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
【答案】12
【解析】由题意，所以
8. （2014届江西省南昌一中、南昌十中高三上学期联考）方程的实数解为__________________
【答案】
【解析】两边同乘以，整理得：，解得。

函数与方程﹑函数模型及其应用
函数的图象、函数与方程
1.（福建厦门2013-2014年度上学期高三第一次考试）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）
【答案】B
【解析】因为函数单调递增，且，所以函数的零点在区间（，1）内
2. （合肥市2014年第一次教学质量检测）函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，函数在区间上有且仅有一个零点时，解得；当时，函数在区间上有一个或两个零点，解得；当时，函数的零点为符合题意，当时，函数的零点为，不符合题意，故选D
3.

【答案】A
【解析】函数为偶函数且当，故选A
4.（汕头市2014年普通高中高三教学质量监控测评试题）已知函数的图象如左图所示，则函数的图象可能是（ ）

【答案】C
【解析】由函数的图象知：，故函数的图象可以由左移b个单位得到，所以应选C
5. 湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考)已知，在上都有且只有一个零点，的零点为，的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的零点是函数的交点的横坐标，的零点是函数的交点的横坐标，在同一个坐标系中画出这些函数的图象，可以看出

6. （2014吉林一中高三年级11月教学质量检测）某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数 图象大致为 （ ）

【答案】D
【解析】设原来森林蓄积量为，因为某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长
9.5%，所以一年后，森林蓄积量为，两年后，森林蓄积量为，
经过y年，森林蓄积量为，因为要增长到原来的x倍，需经过y年，
所以，所以答案应选D。
二、填空题
7.（福建周宁一中、政和一中2014届高三第四次联考）已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】在坐标系中画出函数的图象，可见当时，直线与函数的图象有两个不同的交点

8. （中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试）
已知函数有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为二次函数最多有两个零点，所以函数必有一个零点，从而，所以函数必有两个零点，故需要，解得
导数及其应用
导数运算及其几何意义的应用
1.（ 2014吉林一中高三年级11月教学质量检测）函数的导数是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，因此选B。
2. （湖北省襄阳市四校2014届高三数学上学期期中联考试题）
函数的图像在点处的切线的倾斜角为(　　)
A、 B、0 C、 D、1
【答案】A
【解析】
3.

【答案】D
【解析】由得：，所以，所以
4. （2014长沙教学质量检测）若曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为（ ）
A．（—1，2） B．（1，—3） C．（1，0） D．（1，5）
【答案】C
【解析】设点P的坐标为，因为，所以，把代入函数得，所以点P的坐标为（1，0）。
5.
已知函数，若存在满足的实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C

二、填空题
6. （江西省2014届高三新课程适应性考试） 已知函数的图象在处的切线方程是,则  .
【答案】3
【解析】
7（2014广东清远高三月考）

【解析】由导数的几何意义，切线的斜率为，所以，由直线方程的点斜式得直线的方程为.
8. （2014山东省实验中学高三适应训练）已知，则 .

【答案】
【解析】函数的导数为，解得，所以，故
9.（湖北省武昌区2014届高三1月调考数学）
设，定义为的导数，即，N
若的内角满足，则的值是 .
【答案】
【解析】因为，所以,所以的内角=，故

导数在研究函数性质中的应用
1. （河南省郑州市2014届高三数学第一次质量预测试题）设函数 则的单调减区间为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得函数的单调减区间是，所以的单调减区间是
2. （四川内江市高中2014届第三次模拟考试题）
已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值，则c的取值范围为
A.c< B. c≤ C. c≥ D.c>
【答案】A
【解析】由题意，解得c<
3.（成都高新区2014届高三10月统一检测）函数是定义域为的函数，对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】因为对任意实数都有成立，所以函数的图象关于对称，又由于若当时，不等式成立，所以函数在上单调递减，所以
4.（湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试）已知函数，若对于任意的，，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D

5. (河南省周口市2014届高三数学上学期期末抽测调研试题)
已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知的两根x1，x2满足x1Î(0, 1)，x2Î(1, +¥)，所以，画出其表示的可行域D，因为的图象上存在区域D内的点，所以，所以实数a的取值范围为。
6. (湖南常德市2013-2014学年度上学期高三检测考试)
定义在R上的函数满足：恒成立，若，则与的大小关系为
A． B.
C. D. 的大小关系不确定
【答案】A
【解析】设，由题意，所以单调递增，当时，，即所以
二、填空题
7.
【答案】
【解析】由题意的两个零点满足，所以，解得

利用导数研究函数的单调性
1. （广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三数学上学期期末联考）对于集合M，定义函数，对于两个集合M、N，定义集合．已知，．
（Ⅰ）写出与的值，
（Ⅱ）用列举法写出集合；
【解析】
2．（河南省郑州市2014届高三数学第一次质量预测试题）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求f（x）的解析式．
（2）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣3，3]，且在区间[﹣3，0]内递增，求满足f（2m﹣1）+f（m2﹣2）＜0的实数m的取值范围．
【解析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3=x2+2x﹣3，
又f（x）为奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣2x+3，
而f（﹣0）=﹣f（0），即f（0）=0，
所以f（x）=．
（2）因为f（x）为奇函数，且在[﹣3，0]内递增，所以在[0，3]内也递增，
所以f（x）在定义域[﹣3，3]内递增，
f（2m﹣1）+f（m2﹣2）＜0，可化为f（m2﹣2）＜﹣f（2m﹣1），
由f（x）为奇函数，得f（m2﹣2）＜f（1﹣2m），
又f（x）在定义域[﹣3，3]内递增，
所以，解得﹣1≤m＜1．
故满足f（2m﹣1）+f（m2﹣2）＜0的实数m的取值范围为：[﹣1，1）．

利用导数研究函数的极值与最值
1. （成都七中2014届高三上期中考试）已知函数.
（1）当时，画出函数的简图，并指出的单调递减区间；
（2）若函数有4个零点，求a的取值范围．
【解析】：（1）当时，,
由图可知，的单调递减区间为和………………6分

（2）由，得,
∴曲线与直线有4个不同交点,
∴根据(1)中图像得………………12分
2． 【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】
已知函数
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并予以证明；
（Ⅲ）求使成立的的集合.
【解析】（Ⅰ）
由 ………………2分
所求定义域为 ………………3分
（Ⅱ）令 ………………4分
定义域为

∴ ……………8分
（Ⅲ） ……………9分

当 . 不等式解集为空集
综上：
当 不等式的解集为空集 ……………14分

3. 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）
（1） 求函数的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解析】（1）当时
令，解得
………2分
当时，

上述不等式的整数解为

故
定义域为 ………6分
（2）对于，
显然当时，（元） ………8分
对于
当时，（元） ………10分
，
∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.
导数研究函数的性质
1.（ 湖北省黄冈中学2014届高三数学上学期10月月考试题 ）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(0,0)，(2,0)．
(1)求a，b的值；
(2)求x0及函数f(x)的表达式．
【解析】：(1)由题设可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f′(x)的图象过点(0,0)，(2,0)，
∴解得a＝－3，b＝0.
(2)由f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0，
∴在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x＝2处取得极小值，所以x0＝2，由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1.

2. （2014届江西省南昌一中、南昌十中高三上学期联考）设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.
【解析】 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
2(1－ln 2＋a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)．
(2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为
g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.
于是对任意x∈R都有g′(x)＞0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.
即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.

3. （山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）函数;
(1)求在上的最值;
(2)若,求的极值点

条件求值、条件求角
1. （四川省泸州市2014届高三数学第一次教学质量诊断性考试试题 ）设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..
【解析】（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M
∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴
∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增
∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1
∴g（x）max﹣g（x）min=
∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．
由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1
∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立
记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0
∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）max=h（1）=1
∴a≥1

2．（山西省太原市2014届高三数学模拟考试试题）已知函数 (，为自然对数的底数)．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
(2)求函数的极值；
(3)当时，若直线与曲线没有公共点，求的
最大值．
(1)a＝e.(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
(3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋.直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，
等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋在R上没有实数解，即关于x的方程：
(k－1)x＝(*)在R上没有实数解．①当k＝1时，方程(*)可化为＝0，在R上没有实数解．②当k≠1时，方程(*)化为＝xex.令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex.
令g′(x)＝0，得x＝－1，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)

－

当x＝－1时，g(x)min＝－，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为－，＋∞.所以当∈时，方程(*)无实数解．
解得k的取值范围是(1－e，1)．综上①②，得k的最大值为1.

3. （山东省青岛一中2013届高三调研考试文科数学）已知函数,在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式;
(2)若对于区间上任意两个自变量的值,都有,求实数的最小值;
(3)若过点,可作曲线的三条切线,求实数 的取值范围.
【解析】:(1)
根据题意,得 即
解得
(2)令,解得
f(-1)=2, f(1)=-2,
时,
则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值,都有

所以所以的最小值为4
(3)设切点为
, 切线的斜率为
则
即,
因为过点,可作曲线的三条切线
所以方程有三个不同的实数解
即函数有三个不同的零点,
则
令

0
(0,2)
2
(2,+∞)

+
0
—
0
+

极大值

极小值

即,∴

4.

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