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1、有关身高与体重之间函数关系的探究(转载） 队员：陈初燕、石冬梅、张文静 吉首市民族中学高一年级162班 指导老师：陈峻孝 摘要：本文通过对身高、体重等有关数据的分析，采用图像、数据拟合、表格描述等方法，建立了关于身高与体重的函数模型，并选取我校某班50多名同学为样本，收集了相关数据来验证该函数模型，并给出了一些说明和评价.同时，本文对有关身高、体重、性别的关系及生活水平对身高体重的影响等研究有一定的参考作用. 关键词：身高；体重；数据分析；数学模型 一、问题的提出 以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表： 表一： 身高（cm） 60 70 80
2、 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重（kg） 6.13 7.9 9.99 12.15 15.02 17.5 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 所要研究的问题： 问题1：根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数. 问题2：在你的学校中采集至少50组有关性别、年龄、身高、体重的数据，做一个真实的统计表. 问题3：根据采集的数据验证你求出的函数是否适合不同的年龄和性别.
3、给出验证的方法、公式和标准，提出修正的意见. 问题4：若体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦.根据你的公式，再对你所统计数据中的每个人做出评价. （注：本题目来自东北地区06年数学建模竞赛中学生试题） 二、问题的分析 本文给出了有关身高与体重的数据，要求建立相关的函数模型.为此，我们可先把身高与体重在一直角坐标系中画出散点图，然后观察该系列散点的变化趋势，从而预测出与我们熟悉的函数模型，最后建立一般的函数关系式并求解.针对问题二、问题三、问题四我们可以在我们学校选择一个班级收集相关数据，并验证上述建立的模型，并给出相应的解释和结论. 三、模型的建立与
4、求解 问题一：根据表中提供的数据，体重y与身高x之间函数关系的探究. 根据该地区不同身高的未成年男性的体重平均值表所给的数据，以体重y为纵轴，以身高x为横轴建立直角坐标系，并描出相应的散点图如下： 图一 观察上述图像，并利用EXCEL分别用线性（即一次函数）、二阶多项式（即二次函数）进行拟合发现，该散点图的变化趋势与二次函数的图像比较接近，添加趋势线后的图像如下： 图二 因此，可以设身高与体重的函数模型的一般表达式为： Y=ax2+bx+c (a≠0) 选取最靠近趋势线的几个点（70，7.9）、（110，17.5）、（130，26
5、86）、（150，38.85），分别带入模型得到：a=0.0037,b=-0.431,c=19.697.故，根据该地区不同身高（x）的未成年男性的体重（y）之间的函数关系为： Y=0.0037x2-0.431x+19.697 问题二：我校某班有关性别、年龄、身高、体重的数据，及相关统计表 表二：有关性别、年龄、身高的数据统计表 姓名 性别 身高cm 体重kg 年龄岁 姓名 性别 身高cm 体重kg 年龄岁 罗俊杰 男 135 28 13 曾芳群 女 145 36 12 吴国栋 男 145 36 13 田依可 女 150 36
6、 12 姚 舟 男 138 35 12 易希玲 女 155 43 13 江哲浩 男 140 36 12 卜 艳 女 150 41 12 向 清 男 141 36.5 13 张静霄 女 153 45 13 张忠斌 男 136 35 13 郑学苏 女 162 50 12 向安磊 男 155 43 13 石资娴 女 147 38 14 文 祥 男 165 53 13 彭朝晖 女 155 46 12 张 翔 男 155 43 13 杨圆圆 女 140 32 13
7、 黄 杰 男 140 30 13 邹 柔 女 140 30 12 周春雨 男 145 35 13 张学莉 女 150 35 13 向 龙 男 145 35 13 李 杨 女 158 40 12 龙书高 男 148 40 13 龙 亭 女 148 34.2 12 李 波 男 140 32.5 12 石 建 女 154 39 12 李程伟 男 145 35 14 曾 灿 女 158 39 13 杨 帆 男 156 42 13 田 菲 女 154 42 13
8、冀 新 男 150 52 12 张 敏 女 140 30 13 田 过 男 140 25 12 王高敏 女 155 44 13 孙 浩 男 152 38 13 吴 姚 女 145 40 13 李浩男 男 145 35 13 郑富连 女 158 41 13 张 科 男 145 31 13 田 甜 女 150 38 13 杨秋菊 女 140 30 13 史文杰 女 150 44 14 张灵艳 女 140 25 12 唐广源 女 152 35.5 12 张 涵
9、 女 154 40 13 张 倩 女 147 36 13 杨 捷 女 148 33 12 陈 杰 女 145 32 12 高 雨 女 150 35 13 曾 雨 女 155 40 12 梁慧娟 女 145 36 12 彭颖可 女 153 37.5 12 问题三：根据采集的数据验证你求出的函数是否适合不同的年龄和性别，及修正意见. 为了衡量所求函数是否适合表一中不同的年龄和性别，我们需要引入相应的验证方法、公式和标准. 引入1：一个近似数与它准确数的差的绝对值，称为绝对误差. 引入2： 测量的绝对误差与被测量
10、〔约定〕真值之比，称为相对误差.常乘以100所得的数值，以百分数表示.用a表示近似数，A表示它的精确数，那么近似数a的相对误差就是|a-A|/A. 表三：男生体重误差 考虑到本数据的特殊性，我们分别不同性别和年龄段的数据进行分析，并按照不同的年龄进行误差分析.结果如下： 姓名 年龄 体重拟合值 绝对误差 相对误差 姓名 年龄 体重拟合值 绝对误差 相对误差 姚 舟 12 30.6818 4.3182 0.123377 张忠斌 13 29.5162 5.4838 0.15668 江哲浩 12 31.877 4.123 0.114528
11、向安磊 13 41.7845 1.2155 0.028267 李 波 12 31.877 0.623 0.019169 文 祥 13 49.3145 3.6855 0.069538 冀 新 12 38.297 13.703 0.263519 张 翔 13 41.7845 1.2155 0.028267 田 过 12 31.877 6.877 0.27508 黄 杰 13 31.877 1.877 0.06257 罗俊杰 13 28.9445 0.9445 0.03373 周春雨 13 34.9945 0.00
12、55 0.000157 吴国栋 13 34.9945 1.0055 0.027931 向 龙 13 34.9945 0.0055 0.000157 向 清 13 32.4857 4.0143 0.109981 龙书高 13 36.9538 3.0462 0.076155 李浩男 13 34.9945 0.0055 0.000157 杨 帆 13 42.5042 0.5042 0.012 张 科 13 34.9945 3.9945 0.12885 孙 浩 13 39.6698 1.6698 0.04394 李程伟
13、 14 34.9945 0.0055 0.000157 总计（平均） 35.6862 2.7773 0.0750 表四：女生体重误差 姓名 年龄 体重拟合值 绝对误差 相对误差 姓名 年龄 体重拟合值 绝对误差 相对误差 曾芳群 12 34.9945 1.0055 0.027931 易希玲 13 41.7845 1.2155 0.028267 田依可 12 38.297 2.297 0.06381 张静霄 13 40.3673 4.6327 0.102949 卜 艳 12 38.297 2.703
14、0.065927 杨圆圆 13 31.877 0.123 0.003844 郑学苏 12 46.9778 3.0222 0.060444 张学莉 13 38.297 3.297 0.0942 彭朝晖 12 41.7845 4.2155 0.091641 曾 灿 13 43.9658 4.9658 0.12733 邹 柔 12 31.877 1.877 0.06257 田 菲 13 41.0722 0.9278 0.02209 李 杨 12 43.9658 3.9658 0.09915 张 敏 13 31.87
15、7 1.877 0.06257 龙 亭 12 36.9538 2.7538 0.08052 王高敏 13 41.7845 2.2155 0.050352 石 建 12 41.0722 2.0722 0.05313 吴 姚 13 34.9945 5.0055 0.125138 唐广源 12 39.6698 4.1698 0.11746 郑富连 13 43.9658 2.9658 0.07234 陈 杰 12 34.9945 2.9945 0.09358 田 甜 13 38.297 0.297 0.00782 曾
16、 雨 12 41.7845 1.7845 0.04461 张 倩 13 36.2933 0.2933 0.00815 彭颖可 12 40.3673 2.8673 0.07646 杨秋菊 13 31.877 1.877 0.06257 张灵艳 12 31.877 6.877 0.27508 张 涵 13 41.0722 1.0722 0.02681 杨 捷 12 36.9538 3.9538 0.11981 高 雨 13 38.297 3.297 0.0942 梁慧娟 12 34.9945 1.0055 0.
17、027931 史文杰 14 38.297 5.703 0.129614 石资娴 14 36.2933 1.7067 0.044913 总 计 38.3416 2.69807 0.07343 综合上述两个表格的数据可以发现，我们根据所建立的函数模型求出男生体重的绝对误差为2.7773，相对误差约为7.5%；女生体重的绝对误差约为2.6980，相对误差约为7.34%，能够比较近似地反映出身高与体重的关系. 问题四：若体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦.根据你的公式，再对你所统计数据中的每个人做出评价. 表四：男生各身高段有关体重的评价
18、 考虑到数据的特殊性，我们把身高分以10cm为组距，分别计算出不同性别下相应分组的体重平均值，然后作出相应评价如下： 身高 平均体重 姓名 体重kg 比例系数 评价结果 身高 平均体重 姓名 体重kg 比例系数 评价结果 135厘米 至 145厘米 32.25 罗俊杰 28 0.8682 合理 145厘米 至 155厘米 37.44 吴国栋 36 0.9615 合理 张忠斌 35 1.0853 合理 周春雨 35 0.9348 合理 姚 舟 35 1.0853 合理 向 龙 35 0.9348 合理
19、 江哲浩 36 1.1163 合理 李程伟 35 0.9348 合理 黄 杰 30 0.9302 合理 李浩男 35 0.9348 合理 李 波 32.5 1.0078 合理 张 科 31 0.8280 合理 田 过 25 0.7752 偏瘦 龙书高 40 1.0684 合理 向 清 36.5 1.1318 合理 冀 新 52 1.3889 偏胖 155厘米 至 165厘米 45.25 向安磊 43 0.9503 合理 孙 浩 38 1.0150 合理 张 翔 43 0.9503 合
20、理 杨 帆 42 0.9282 合理 文 祥 53 1.1713 合理 表五：女生各身高段有关体重的评价 身高 平均体重 姓名 体重kg 比例系数 评价结果 身高 平均体重 姓名 体重kg 比例系数 评价结果 135厘米 至 145厘米 32.33千克 杨秋菊 30 0.9280 合理 145厘米 至 155厘米 38.08千克 石资娴 38 0.9979 合理 张灵艳 25 0.7733 合理 张 倩 36 0.9
21、454 合理 杨圆圆 32 0.9898 合理 杨 捷 33 0.8666 合理 邹 柔 30 0.9279 合理 龙 亭 34.2 0.8981 合理 张 敏 30 0.9279 合理 高 雨 35 0.9191 合理 梁慧娟 36 1.1135 合理 田依可 36 0.9454 合理 曾芳群 36 1.1135 合理 卜 艳 41 1.0767 合理 吴 姚 40 1.2372 偏胖 张学莉 35 0.9191 合理 陈 杰 32 0.9898 合理 田 甜 38 0.9979
22、 合理 155厘米 至 165厘米 42.87千克 易希玲 43 1.0028 合理 史文杰 44 1.1555 合理 彭朝晖 46 1.0728 合理 唐广源 35.5 0.9322 合理 王高敏 44 1.0261 合理 张静霄 45 1.1817 合理 曾 雨 40 0.9328 合理 彭颖可 37.5 0.9848 合理 李 杨 40 0.9328 合理 张 涵 40 1.0504 合理 曾 灿 39 0.9095 合理 石 建 39 1.0242 合理 郑富连 41
23、0.9562 合理 田 菲 42 1.1029 合理 郑学苏 50 1.1660 合理 三、建模心得 本文通过以身高、体重为指标，收集相关数据、分析数据，并建立相应的数学模型，从而初步感受了数学应用和把实际问题转化为数学模型的过程和意义，达到了学以致用的目的. 同时，我们在研究该实际问题的过程中，从选题到小论文的完成得到了陈老师的用心指导，特别是在论文规划、写作以及如何利用excel处理数据等方面的指导，特此鸣谢！ 参考文献： [1]袁震东等.新专题教程高中数学7.数学建模.山海：华东师范大学出版社，2009年 [2]刘绍学.数学（必修1）.北京：人民教育出版社，2009年 5
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