利用函数的最值求不等式恒成立问题.docx

考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题
例3、已知过函数的图象上一点的切线的斜率为－3．
（1）求的值；
（2）求的取值范围，使不等式对于恒成立；
【解析】（1）=
依题意得
，把代入得

（2）令得或

要使对于恒成立，则的最大值

变式训练1、设函数
（Ⅰ）若为的极值点，求实数.
（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意恒有成立（注：为自然对数的底数）.
【解析】（I）求导得
因为是的极值点，所以
解得或．
经检验，符合题意，所以，或

（II）①当时，对于任意的实数，恒有成立，即符合题意
②当时即 时，由①知，时，不等式恒成立，故下研究函数在上的最大值，
首先有此值随着的增大而增大，故应有
，即
故参数的取值范围是或，且.
同步训练

1、(2011·荆州质检题)函数对于总有成立，则的取值为(　　)
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．{4} D．[2,4]
【解析】，当时，，，不合题意；
当时，，在[－1,1]上为减函数，
，，不合题意；当时，且，解得.综上所述，，故选C.答案：C
2、设函数在内有定义.对于给定的正数K,定义函数 取函数.若对任意的,恒有,则( )
A.K的最大值为2 B.K的最小值为2
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
【解析】 因为恒成立，所以K≥
时，解得
故时，；时
所以在上为单调递增函数；在上为单调递减函数。
在处取得最大值，即。答案：D
3、设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】可令，则满足条件，验证各个选项，知B、C、D都不恒成
立，故选A.
4、（2012辽宁文）设，证明：
（1）当时，
（2）当时，
【解析】（1）记，则当时，
，又，故
，即
（2）记，则当时，由（1）得

令，

因此在内是递减函数，又由，得，所以.
所以，在内是递减函数，又，所以
于是，当时，.
5、（2012辽宁理）设，曲线与直线
在点相切.
（1）求的值；
（2）证明：当时，
【解析】（1）由的图像过点，代入得
由在处的切线斜率为，又，得
（2）（证法一）由均值不等式，当时，，故
记，则
，令，则当时，

因此在内是减函数，又由，得，所以
因此在内是减函数，又由，得，
于是当时，
6、（2012新课标理）已知函数满足满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值。
【解析】（1）
令得：

得：

在上单调递增

得：的解析式为
且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
③当时，
得：当时，

令；则

当时，
当时，的最大值为

7、已知函数，对任意的，恒有。
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意不等式恒成立，求的最小值.
【解析】（Ⅰ）∵对任意的，恒有 ∴
即恒成立， ∴ ①
∴
又
，∵
∴
所以.
（Ⅱ）

因为，即，因此有
不等式恒成立，即，
∴ ②
由①式得，则，∴
∴ ③
由②③式得，解得，所以的最小值为.
8、设函数，
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．
【解析】（Ⅰ）由题意的定义域为

令，
∴，即的单调减函数区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递增
则，解得：
所以，当时，对恒成立.
9、（2012湖北）设函数，为正整数，为常数，曲线
在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数的最大值；
（3）证明：.
【解析】（1）因为，由点在上，可得，即，
∵ ∴
又∵切线的斜率为 ∴
故，
（2）由（1）知 ∴
令，解得，即在上有唯一零点.
在上，故单调递增；
而在上，，单调递减.
故在上的最大值为.
（3）令，则
在上，，故单调递减；
而在上，，单调递增.
∴在上的最小值为. ∴，
即
令，得，即，所以，
即.
由（2）知，故所证不等式成立.