函数中恒成立问题.doc

课题：函数中恒成立问题求解策略
知识要点
恒成立问题在高中数学中较为常见，从解题策略来看，主要有以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；数型结合型。
1、一次函数型-----利用单调性求解
给定一次函数y=f(x)=ax+b(),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象（线段）(如下图)可得上述结论等价于

(1) a>0 或（2）a<0 可合并成f(m)>0
f(m)>0 f(n)>0 f(n)>0

同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有f(m)<0
f(n)<0
[例1]对于满足的所有实数a，求使不等式恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于零恒成立问题。
解：原不等式转化为在时恒成立，
设，则f(a)在[-2，2]上恒大于0，故有：
f(-2)>0,
f(2)>0,
即，
解得x>3或x<1,
x>1或x<-1.
∴x<-1或x>3，即
2、二次函数型-----利用判别式，韦达定理及根的分布求解
对于二次函数在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即
f(x)>0恒成立a>0, f(x)<0恒成立a<0
<0; <0
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
[例2]已知定义域为R的函数是奇函数。
（1）求a、b的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围。
解：（1）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即
又由f(1)=-f(-1)知
（2）由（1）知易知f(x)在上为减函数。
又因f(x)是奇函数，从而不等式：等价于
，因f(x)为减函数，由上式推得：
，即对一切有：，从而判别式=4+12k<0k<-.
3、变量分离型-----分离变量，巧妙求解
运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则;若对于f(x)取值范围内任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则
。（其中和分别为f(x)的最大值和最小值）
[例3]设，其中，如果时，f(x)有意义，求a的取值范围。
解：设，则，则恒成立，可转化为
恒成立，则a就大于
的最大值。
由二次函数知识，。
4、数形结合-----直观求解
[例4]对任意实数，不等式|x+1|-|x-2|>ax-3恒成立，求实数a取值范围。
分析：构造函数y=|x+1|-|x-2|,与函数y=ax-3,,对任意实数，不等式|x+1|-|x-2|>ax-3恒成立，即转化为函数y=|x+1|-|x-2|,的图象始终在函数y=ax-3，的图象的上方，画出函数的图象即可求得a的取值范围。
解：y=|x+1|-|x-2|= -3
2x-1
在直角坐标系中画出图象如图所示，函数y=ax-3，的图象是过定点（0，-3）的一条射线，由图象可看出，要使对任意实数，不等式|x+1|-|x-2|>ax-3恒成立，只需0〈a<3，故实数a的取值范围是。