二次函数求实际问题中的最值.doc

二次函数周长最小问题学生自主学习任务单
一、引例
1、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地
走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

2、二次函数周长最小问题的实质是利用 ( )
二、三角形周长最小问题
3、如图，已知抛物线经过点A（-1,0）与
点B(3，0),与y轴交于点C.
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的
周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由.

如图，已知抛物线y=ax2-4x+c经过点A（0，-6）
和B（3，-9）。（1）求出抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
3）点P（m，m） 与点Q均在抛物线上（其中m＞0），
且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；
（3） 在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，
使△QMA的周长最小。

三、四边形周长最小问题
5、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、
C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形
PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；
若不存在，请说明理由

6、 强化练习：
已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，
设B（-1，y）．①如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，
BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
②如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上
另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，
线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？
求出此时点E的坐标．

四、二次函数周长最小问题基本解题方法：
1、 _____________________________________________
2、_____________________________________________
_____________________________________________
3、 ____________________________________________

解：（1）由
已知得解得．
所以，抛物线的解析式为y=x2-x+3．
（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC==5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．